高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程單元測試 公開課獎

第二章2一、選擇題1．設(shè)F1、F2為定點(diǎn)，|F1F2|＝6，動點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝6，則動點(diǎn)M的軌跡是eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780342)()A．橢圓 B．直線C．圓 D．線段[答案]D[解析]∵|MF1|＋|MF2|＝6，|F1F2∴|MF1|＋|MF2|＝|F1F2∴點(diǎn)M的軌跡是線段F1F22．(2023·黑龍江哈師大附中高二期中測試)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過兩點(diǎn)(4,0)、(0,2)的橢圓方程為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780343)()\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1[答案]D[解析]解法一：驗證排除：將點(diǎn)(4,0)代入驗證可排除A、B、C，故選D.解法二：設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16m＝1,4n＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,16),n＝\f(1,4)))，故選D.3．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的點(diǎn)M到該橢圓一個焦點(diǎn)F的距離為2，N是MF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么線段ON的長是eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780344)()A．2 B．4C．8 D．eq\f(3,2)[答案]B[解析]設(shè)橢圓左焦點(diǎn)F，右焦點(diǎn)F1，∵2a＝10，|MF|＝2，∴|MF1|＝8，∵N為MF中點(diǎn)，O為FF1中點(diǎn)，∴|ON|＝eq\f(1,2)|MF1|＝4.4．(2023·福建八縣一中高二期末測試)“1<m<2”是“方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780345)()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1>0,3－m>0,3－m>m－1))，∴1<m<2，故選C.5．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為18，且兩個焦點(diǎn)恰好將長軸三等分的橢圓的方程是eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780346)()\f(x2,81)＋eq\f(y2,45)＝1 B．eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,9)＝1\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1 D．eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1[答案]C[解析]橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為18知a＝9，∵兩個焦點(diǎn)將長軸長三等分，∴2c＝eq\f(1,3)(2a)＝6，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72，故選C.6．直線2x＋by＋3＝0過橢圓10x2＋y2＝10的一個焦點(diǎn)，則b的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780347)()A．－1 B．eq\f(1,2)C．－1或1 D．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)[答案]C[解析]橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＋eq\f(y2,10)＝1，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±3)，當(dāng)直線過焦點(diǎn)(0,3)時，b＝－1；當(dāng)直線過焦點(diǎn)(0，－3)時，b＝1.二、填空題7．(2023·江蘇泰州市姜堰區(qū)高二期中測試)橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是\x(導(dǎo)學(xué)號33780348)[答案](－1,0)、(1,0)[解析]∵a2＝5，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝1，∴橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(－1,0)、(1,0)．8．已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓與x軸的一個交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為3和1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\x(導(dǎo)學(xué)號33780349)[答案]eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析]由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3,a－c＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,c＝1)).故b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.三、解答題9．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)，a＝3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780350)[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)其方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由橢圓過點(diǎn)P(3,0)，知eq\f(9,a2)＋eq\f(0,b2)＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)其方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由橢圓過點(diǎn)P(3,0)，知eq\f(0,a2)＋eq\f(9,b2)＝1，又a＝3b，聯(lián)立解得a2＝81，b2＝9，故橢圓的方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋y2＝1.10．已知點(diǎn)A(－eq\f(1,2)，0)，B是圓F：(x－eq\f(1,2))2＋y2＝4(F為圓心)上一動點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，求動點(diǎn)P的軌跡方程.eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780351)[解析]如圖所示，由題意知，|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，∴動點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，∴a＝1，c＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,4).∴動點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋eq\f(y2,\f(3,4))＝1，即x2＋eq\f(4,3)y2＝1.一、選擇題1．已知方程eq\f(x2,|m|－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780352)()A．m<2 B．1<m<2C．m<－1或1<m<2 D．m<－1或1<m<eq\f(3,2)[答案]D[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m|－1>0，,2－m>0，,2－m>|m|－1.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1或m<－1，,m<2，,m<\f(3,2).))∴1<m<eq\f(3,2)或m<－1，故選D.2．若△ABC的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)為A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周長為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780353)()\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)[答案]D[解析]∵|AB|＝8，△ABC的周長為18，∴|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故點(diǎn)C軌跡為橢圓且兩焦點(diǎn)為A、B，又因為C點(diǎn)的縱坐標(biāo)不能為零，所以選D.3．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別是F1、F2，P是橢圓上的一個動點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動點(diǎn)Q的軌跡是eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780354)()A．圓 B．橢圓C．射線 D．直線[答案]A[解析]∵|PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a∴|PQ|＋|PF1|＝2a又∵F1、P、Q三點(diǎn)共線，∴|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|，∴|F1Q|＝2a即Q在以F1為圓心，以2a為半徑的圓上4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(0，－2)和C(0,2)，頂點(diǎn)B在橢圓eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,8)＝1上，則eq\f(sinA＋sinC,sinB)的值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780355)()\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4[答案]A[解析]由橢圓定義得|BA|＋|BC|＝4eq\r(3)，又∵eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(|BC|＋|BA|,|AC|)＝eq\f(4\r(3),4)＝eq\r(3)，故選A.二、填空題5．已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(－1,0)、F2(1,0)，P是橢圓上的一點(diǎn)，若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項，則該橢圓的方程是\x(導(dǎo)學(xué)號33780356)[答案]eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析]由題意得2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2∴4c＝2a，∵c＝1，∴∴b2＝a2－c2＝3，故橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.6．如圖，把橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的長軸AB分成8等份，過每個分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P7七個點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝\x(導(dǎo)學(xué)號33780357)[答案]35[解析]設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F′，由橢圓的對稱性知，|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋eq\f(1,2)(|P4F|＋|P4F′三、解答題7．求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780358)(1)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)M(3,2)；(2)a︰c＝13︰5，且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.[解析](1)由焦距是4可得c＝2，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，(0,2)．由橢圓的定義知，2a＝eq\r(32＋2＋22)＋eq\r(32＋2－22)＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(2)由題意知，2a＝26，即a＝13，又eq\f(a,c)＝eq\f(13,5)，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因為焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1或eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.8．已知F1、F2是橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，求△F1PF2的面積.eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780359)