高中數(shù)學人教A版1第三章導數(shù)及其應用 公開課

第三章3.4一、選擇題(每小題5分，共20分)1．用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成一個鐵盒．則所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的小正方形的邊長為()A．6cm B．8cmC．10cm D．12cm解析：設剪去的小正方形邊長為xcm，則V＝x·(48－2x)2＝4x(24－x)2，∴V′(x)＝4(24－x)2＋8x·(24－x)(－1)，令V′(x)＝0可以得x＝8.答案：B2．某商品在最近30天的價格f(t)與時間t(天)的函數(shù)關系是f(t)＝t＋10(0<t≤30，t∈N＋)，銷售量g(t)與時間t(天)的函數(shù)關系是g(t)＝－t＋35(0<t≤30，t∈N＋)，則這種商品的銷售金額的最大值為()A．406 B．506C．200 D．500解析：令F(t)＝f(t)g(t)＝(t＋10)(－t＋35)＝－t2＋25t＋350＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(25,2)))2＋eq\f(2025,4).∴t＝12或13時，F(xiàn)(t)max＝506.答案：B3．以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內接矩形的面積的最大值為()A．10 B．15C．25 D．50解析：如圖所示，設∠NOB＝θ，則矩形的面積是S＝5sinθ·2·5cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.答案：C4．某公司生產某種產品，固定成本為20000元，每生產一單位產品，成本增加100元，已知總收益R與年產量x的關系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，,80000x>400，))則總利潤最大時，每年生產的產品單位數(shù)是()A．100 B．200C．250 D．300解析：總成本C＝20000＋100x，則總利潤為P＝R－C＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－200000≤x≤400，,60000－100xx>400，))P′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x0≤x≤400，,－100x>400.))令P′＝0，當0≤x≤400時，得x＝300；當x>400時，P′<0恒成立，易知當x＝300時，總利潤最大．答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．體積為定值V0的正三棱柱，當它的底面邊長為________時，正三棱柱的表面積最?。馕觯涸O底面的邊長為a，高為h，則V0＝eq\f(\r(3),4)a2h，∴h＝eq\f(4V0,\r(3)a2)，S＝eq\f(\r(3),4)a2×2＋3ah＝eq\f(\r(3),2)a2＋3a·eq\f(4V0,\r(3)a2)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(8V0,a)))，∴S′＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(8V0,a2)))，由S′＝0得a＝eq\r(3,4V0)，所以當?shù)酌娴倪呴L為a＝eq\r(3,4V0)時，正三棱柱的表面積最?。鸢福篹q\r(3,4V0)6．某公司生產一種產品，固定成本為20000元，每生產一單位的產品，成本增加100元，若總收入R與年產x的關系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x(0≤x≤390)，則當總利潤最大時，每年生產的產品單位數(shù)是________．解析：由題意可得總利潤P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000(0≤x≤390)．∵P′(x)＝－eq\f(1,300)x2＋300，令P′(x)＝0，得x＝300.當0≤x<300時，P′(x)>0，當300<x≤390時，P′(x)<0，所以當x＝300時，P(x)最大．答案：300三、解答題(每小題10分，共20分)7．某工廠生產某種產品，已知該產品的月生產量x(噸)與產品的價格p(元/噸)之間的關系式為：p＝24200－eq\f(1,5)x2，且生產x噸的成本為R＝50000＋200x(元)．問該廠每月生產多少噸產品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？(利潤＝收入－成本)解析：每月生產x噸產品時的利潤為f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24200－\f(1,5)x2))x－(50000＋200x)＝－eq\f(1,5)x3＋24000x－50000(x≥0)f′(x)＝－eq\f(3,5)x2＋24000，令f′(x)＝0解得：x＝200或x＝－200(舍去)．因為f(x)在[0，＋∞)內只有一個點x＝200使得f′(x)＝0，故它就是最大值點，且最大值為：f(200)＝－eq\f(1,5)×(200)3＋24000×200－50000＝3150000(元)答：每月生產200噸產品時利潤達到最大，最大利潤為315萬元．8．用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四個角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°，再焊接而成，如圖，問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？解析：設容器的高為xcm，容器的體積為V(x)cm3.則V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)．V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．當0<x<10時，V′(x)>0，V(x)是增函數(shù)；當10<x<24時，V′(x)<0，V(x)是減函數(shù)．因此，在定義域(0,24)內，只有當x＝10時函數(shù)V(x)取得最大值，其最大值為V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3)．故當容器的高為10cm時，容器的容積最大，最大容積是19600cm3.9．(10分)某報社印刷廠印刷報紙時，一頁版面圖文應占Scm2，應留上、下邊寬都是acm，左、右邊寬均為bcm的空白．若只考慮節(jié)約用紙，一頁報紙的長、寬各應為多少？解析：如下圖，設圖文所占區(qū)域的長為xcm(x>0)，則寬為eq\f(S,x)cm.設紙的利用率為k，于是k＝eq\f(S,x＋2b\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,x)＋2a)))＝eq\f(xS,x＋2b2ax＋S)(x>0)，則k′＝eq\f(2SbS－ax2,x＋2b2S＋2ax2)，令k′＝0，即bS－ax2＝0，解得x＝eq\r(\f(bS,a))或x＝－eq\r(\f(bS,a))(舍)．當0<x<eq\r(\f(bS,a))時，k′>0，k單調遞增，當x>eq\r(\f(bS,a))時，k′<0，k單調遞減，所以當x＝eq\r(\f(bS,a))時，k取得最