高中數(shù)學蘇教版第二章平面向量向量的應用 蘇教版 向量的應用 教案

教學設計向量的應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設計))教學分析1．在生產(chǎn)和日常生活中，有時會遇到既有大小，又有方向的量，這就為采用向量法解決問題提供方便，向量是既有大小又有方向的量，它既有代數(shù)特征，又有幾何特征，通過向量可以實現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的互相轉化，所以向量是數(shù)形結合的橋梁．這樣向量又為解決幾何問題提供了理論基礎，本節(jié)主要在于讓學生了解向量來源于實際又為解決實際問題及幾何問題提供方便，教學中注意難度的控制，同時還要注意，向量也是解決許多物理問題的有力工具．2．本節(jié)的目的是讓學生加深對向量的認識，更好地體會向量這個工具的優(yōu)越性．對于向量方法，就思路而言，幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致，不同的只是用“向量和向量運算”來代替“數(shù)和數(shù)的運算”．這就是把點、線、面等幾何要素直接歸結為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算結果翻譯成關于點、線、面的相應結果．代數(shù)方法的流程圖可以簡單地表述為：則向量方法的流程圖可以簡單地表述為：這就是本節(jié)給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”，也是本節(jié)的重點．3．研究幾何可以采取不同的方法．這些方法包括：綜合方法——不使用其他工具，對幾何元素及其關系直接進行討論；解析方法——以數(shù)(代數(shù)式)和數(shù)(代數(shù)式)的運算為工具，對幾何元素及其關系進行討論；向量方法——以向量和向量的運算為工具，對幾何元素及其關系進行討論；分析方法——以微積分為工具，對幾何元素及其關系進行討論，等等．前三種方法都是中學數(shù)學中出現(xiàn)的內(nèi)容．有些平面幾何問題，利用向量方法求解比較容易．使用向量方法的要點在于用向量表示線段或點，根據(jù)點與線之間的關系，建立向量等式，再根據(jù)向量的線性相關與無關的性質(zhì)，得出向量的系數(shù)應滿足的方程組，求出方程組的解，從而解決問題．使用向量方法時，要注意向量起點的選取，選取得當可使計算過程大大簡化．①通過抽象、概括，把物理現(xiàn)象轉化為與之相關的向量問題；②認真分析物理現(xiàn)象，深刻把握物理量之間的相互關系；③利用向量知識解決這個向量問題，并獲得這個向量的解；④利用這個結果，對原物理現(xiàn)象作出合理解釋，即用向量知識圓滿解決物理問題．教學中要善于引導學生通過對現(xiàn)實原型的觀察、分析和比較，得出抽象的數(shù)學模型．例如，物理中力的合成與分解是向量的加法運算與向量分解的原型．同時，注重向量模型的運用，引導解決現(xiàn)實中的一些物理和幾何問題．這樣可以充分發(fā)揮現(xiàn)實原型對抽象的數(shù)學概念的支撐作用．三維目標1．通過平行四邊形這個幾何模型，歸納總結出用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”．理解并掌握用向量方法解決平面幾何問題的步驟．明了平面幾何圖形中的有關性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示．2．通過本節(jié)學習，讓學生深刻理解向量在處理有關平面幾何問題中的優(yōu)越性，活躍學生的思維，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，激發(fā)學生的學習積極性，并體會向量在幾何和現(xiàn)實生活中的意義．教學中要求盡量引導學生使用信息技術這個現(xiàn)代化手段．重點難點教學重點：用向量方法解決實際問題的基本方法；向量法解決幾何問題的“三步曲”．教學難點：如何將實際問題化歸為向量問題．課時安排2課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學過程))第1課時導入新課思路1.(直接導入)向量的概念和運算都有著明確的物理背景和幾何背景，當向量和平面坐標系結合后，向量的運算就完全可以轉化為代數(shù)運算．這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方便．本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法．思路2.(情境導入)由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題．下面通過幾個具體實例，說明向量方法在平面幾何中的運用．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))一、向量在幾何中的應用1．證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的條件a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0(b≠0)．2．證明垂直問題，常用向量垂直的條件a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.3．求夾角問題利用夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).4．求線段的長度，可以用向量的線性運算，向量的模|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2)或|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).5．用向量處理其他代數(shù)或幾何問題．二、用向量法解決幾何問題的“三步曲”1．建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；2．通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；3．把運算結果“翻譯”成幾何關系．引導學生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般步驟．由于平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段長度)、夾角問題，而平面向量的運算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題．解決幾何問題時，先用向量表示相應的點、線段、夾角等幾何元素，然后通過向量的運算，特別是數(shù)量積來研究點、線段等元素之間的關系．最后再把運算結果“翻譯”成幾何關系，得到幾何問題的結論．這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”．即：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系．這個“三步曲”用流程圖表示為：eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例))思路1例1課本本節(jié)例2.變式訓練1.如圖1，連結平行四邊形ABCD的頂點B至AD、DC邊的中點E、F，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關系嗎？圖1活動：為了培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想能力，讓學生能動態(tài)地發(fā)現(xiàn)圖形中AR、RT、TC之間的相等關系，教學中可以充分利用多媒體，作出上述圖形，測量AR、RT、TC的長度，讓學生發(fā)現(xiàn)AR＝RT＝TC，拖動平行四邊形的頂點，動態(tài)觀察發(fā)現(xiàn)，AR＝RT＝TC這個規(guī)律不變，因此猜想AR＝RT＝TC.事實上，由于R、T是對角線AC上的兩點，要判斷AR、RT、TC之間的關系，只需分別判斷AR、RT、TC與AC的關系即可．又因為AR、RT、TC、AC共線，所以只需判斷eq\o(AR,\s\up6(→))，eq\o(AT,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))之間的關系即可．探究過程對照用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”很容易地可得到結論．第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；第三步，把運算結果“翻譯”成幾何關系：AR＝RT＝TC.解：如圖1，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AR,\s\up6(→))＝r，eq\o(AT,\s\up6(→))＝t，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.由于eq\o(AR,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以，我們設r＝n(a＋b)，n∈R，又因為eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(ER,\s\up6(→))與eq\o(EB,\s\up6(→))共線，所以我們設eq\o(ER,\s\up6(→))＝meq\o(EB,\s\up6(→))＝m(a－eq\f(1,2)b)．因為eq\o(AR,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(ER,\s\up6(→))，所以r＝eq\f(1,2)b＋m(a－eq\f(1,2)b)．因此n(a＋b)＝eq\f(1,2)b＋m(a－b)，即(n－m)a＋(n＋eq\f(m－1,2))b＝0.由于向量a、b不共線，要使上式為0，必須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－m＝0，,n＋\f(m－1,2)＝0.))解得n＝m＝eq\f(1,3).所以eq\o(AR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).同理eq\o(TC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).于是eq\o(RT,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以AR＝RT＝TC.2.如圖2，AD、BE、CF是△ABC的三條高．求證：AD、BE、CF相交于一點．圖2證明：設BE、CF相交于H，并設eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(AH,\s\up6(→))＝h，則eq\o(BH,\s\up6(→))＝h－b，eq\o(CH,\s\up6(→))＝h－c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c－b.因為eq\o(BH,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CH,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，即(h－b)·c＝(h－c)·b，化簡得h·(c－b)＝0.所以eq\o(AH,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).所以AH與AD共線，即AD、BE、CF相交于一點H.例2課本本節(jié)例3.思路21如圖3，已知在等腰△ABC中，BB′、CC′是兩腰上的中線，且BB′⊥CC′，求頂角A的余弦值．圖3活動：教師可引導學生思考探究，上例利用向量的幾何法簡捷地解決了平面幾何問題．可否利用向量的坐標運算呢？這需要建立平面直角坐標系，找出所需點的坐標．如果能比較方便的建立起平面直角坐標系，如本例中的圖形，很方便建立平面直角坐標系，且圖形中的各個點的坐標也容易寫出，是否利用向量的坐標運算能更快捷地解決問題呢？教師引導學生建系、找點的坐標，然后讓學生獨立完成．解：建立如圖3所示的平面直角坐標系，取A(0，a)，C(c,0)，則B(－c,0)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0，a)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(c，a)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(c,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2c,0)，因為BB′、CC′為兩中線，所以eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(2c,0)＋(c，a)]＝(eq\f(3c,2)，eq\f(a,2))．同理eq\o(CC′,\s\up6(→))＝(－eq\f(3c,2)，eq\f(a,2))．因為BB′⊥CC′，所以－eq\f(9,4)c2＋eq\f(a2,4)＝0，a2＝9c2.所以cosA＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(a2－c2,a2＋c2)＝eq\f(9c2－c2,9c2＋c2)＝eq\f(4,5).變式訓練如圖4，在Rt△ABC中，已知BC＝a.若長為2a的線段PQ以點A為中點，問：eq\o(PQ,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角θ取何值時，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))的值最大？并求出這個最大值．圖4解：方法一：如圖4.∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(AQ,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a2－eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝－a2＋eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－a2＋eq\f(1,2)eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a2＋a2cosθ，故當cosθ＝1，即θ＝0，eq\o(PQ,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的方向相同時，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))最大，其最大值為0.方法二：如圖5.圖5以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在的直線為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．設|AB|＝c，|AC|＝b，則A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a，|BC|＝a.設點P的坐標為(x，y)，則Q(－x，－y)，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－c，y)，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(－x，－y－b)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－c，b)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)．∴eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.∵cosθ＝eq\f(\o(PQ,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(PQ,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(cx－by,a2)，∴cx－by＝a2cosθ.∴eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝－a2＋a2cosθ.故當cosθ＝1，即θ＝0，eq\o(PQ,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的方向相同時，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))最大，其最大值為0.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練))課本本節(jié)練習2、3、4.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結))1．由學生歸納總結本節(jié)學習的數(shù)學知識有哪些：平行四邊形向量加、減法的幾何模型，用向量方法解決平面幾何問題的步驟，即“三步曲”．特別是這“三步曲”，要提醒學生理解領悟它的實質(zhì)，達到熟練掌握的程度．2．本節(jié)都學習了哪些數(shù)學方法：向量法，向量法與幾何法、解析法的比較，將平面幾何問題轉化為向量問題的化歸的思想方法，深切體會向量的工具性這一特點．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本習題3、4、6、7.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設計感想))1．本節(jié)是對研究平面幾何方法的探究與歸納，設計的指導思想是：充分使用多媒體這個現(xiàn)代化手段，引導學生展開觀察、歸納、猜想、論證等一系列思維活動．本節(jié)知識方法容量較大，思維含量較高，教師要把握好火候，恰時恰點的激發(fā)學生的智慧火花．2．由于本節(jié)知識方法在高考大題中得以直接的體現(xiàn)，特別是與其他知識的綜合更是高考的熱點問題，因此在實際授課時注意引導學生關注向量知識、向量方法與本書的三角、后續(xù)的解析幾何內(nèi)容等知識的交匯，提高學生綜合解決問題的能力．3．平面向量的運算包括向量的代數(shù)運算與幾何運算．相比較而言，學生對向量的代數(shù)運算要容易接受一些，但對向量的幾何運算往往感到比較困難，無從下手．向量的幾何運算主要包括向量加減法的幾何運算，向量平行與垂直的條件及定比分點的向量式等，它們在處理平面幾何的有關問題時，往往有其獨到之處，教師可讓學有余力的學生課下繼續(xù)探討，以提高學生的思維發(fā)散能力．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))一、利用向量解決幾何問題的進一步探討用平面向量的幾何運算處理平面幾何問題有其獨到之處，特別是處理線段相等，線線平行，垂直，點共線，線共點等問題，往往簡單明了，少走彎路，同時避免了復雜，煩瑣的運算和推理，可以收到事半功倍的效果．現(xiàn)舉幾例以供教師學生進一步探究使用．1．證明線線平行例1如圖6，在梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別為腰AB，CD的中點．圖6求證：EF∥BC，且|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)(|eq\o(AD,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)．證明：連ED，EC，∵AD∥BC，可設eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ>0)．又E，F(xiàn)是中點，∴eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝0.且eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))，而eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1＋λ,2)eq\o(BC,\s\up6(→)).EF與BC無公共點，∴EF∥BC.又λ>0，∴|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)(|eq\o(BC,\s\up6(→))|＋|λeq\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)(|eq\o(AD,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)．2．證明線線垂直例2如圖7，在△ABC中，由A與B分別向對邊BC與CA作垂線AD與BE，且AD與BE交于H，連結CH，求證：CH⊥AB.圖7證明：由已知AH⊥BC，BH⊥AC，有eq\o(AH,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BH,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))，eq\o(BH,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))，故有(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，且(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，兩式相減，得eq\o(CH,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(CH,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(CH,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，即CH⊥AB.3．證明線共點或點共線例3求證：三角形三邊中線共點，且該點到頂點的距離等于該中線長的eq\f(2,3).解：已知：△ABC的三邊中點分別為D，E，F(xiàn)(如圖8)，圖8求證：AE，BF，CD共點，且eq\f(AG,AE)＝eq\f(BG,BF)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).證明：設AE，BF相交于點G，eq\o(AG,\s\up6(→))＝λ1eq\o(GE,\s\up6(→))，由定比分點的向量式有eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))＋λ1\o(BE,\s\up6(→)),1＋λ1)＝eq\f(1,1＋λ1)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(λ1,21＋λ1)eq\o(BC,\s\up6(→))，又F是AC的中點，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，設eq\o(BG,\s\up6(→))＝λ2eq\o(BF,\s\up6(→))，則eq\f(1,1＋λ1)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(λ1,21＋λ1)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(λ2,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(λ2,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋λ1)＝\f(λ2,2)，,\f(λ1,21＋λ1)＝\f(λ2,2).))∴eq\f(1,1＋λ1)＝eq\f(λ1,21＋λ1)λ1＝2，λ2＝eq\f(2,3)，即eq\f(AG,AE)＝eq\f(BG,BF)＝eq\f(2,3).又eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(\o(CA,\s\up6(→))＋λ1\o(CE,\s\up6(→)),1＋λ1)＝eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(CE,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)·eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴C，G，D共線，且eq\f(AG,AE)＝eq\f(BG,BF)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).二、備用習題1．有一邊長為1的正方形ABCD，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a－b＋c|＝________.2．已知|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，a與b的夾角為45°，則使λb－a與a垂直的λ＝________.3．在等邊△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且|a|＝1，則a·b＋b·c＋c·a＝________.4．已知三個向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，且A，B，C三點共線，則k＝________.5．如圖9所示，已知矩形ABCD，AC是對角線，E是AC的中點，過點E作MN交AD于點M，交BC于點N，試運用向量知識證明AM＝CN.圖96．已知四邊形ABCD滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|2，M為對角線AC的中點．求證：|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MD,\s\up6(→))|.7．求證：如果一個角的兩邊平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補．參考答案：1．23.－eq\f(3,2)4.－2或115解：建立如圖10所示的直角坐標系，設BC＝a，BA＝b，則C(a,0)，A(0，b)，E(eq\f(a,2)，eq\f(b,2))．圖10又設M(x2，b)，N(x1,0)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x2,0)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝(x1－a,0)，∵eq\o(ME,\s\up6(→))∥eq\o(EN,\s\up6(→))，eq\o(ME,\s\up6(→))＝(eq\f(a,2)－x2，－eq\f(b,2))，eq\o(EN,\s\up6(→))＝(x1－eq\f(a,2)，－eq\f(b,2))，∴(eq\f(a,2)－x2)×(－eq\f(b,2))－(x1－eq\f(a,2))×(－eq\f(b,2))＝0.∴x2＝a－x1.∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\r(x\o\al(2,2))＝|x2|＝|a－x1|＝|x1－a|.而|eq\o(CN,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－a2)＝|x1－a|，∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o(CN,\s\up6(→))|，即AM＝CN.6．解：設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，eq\o(DA,\s\up6(→))＝d，∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)．∴a2＋b2＋2a·b＝c2＋d2＋2c·d.①∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|2，∴a2＋b2＝(－d)2＋(－c)2＝c2＋d2.②由①②得a·b＝c·d.∵M是AC的中點，如圖11所示，則eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(d－c)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)，圖11∴|eq\o(MB,\s\up6(→))|2＝eq\o(BM,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(b2＋a2－2a·b)，|eq\o(MD,\s\up6(→))|2＝eq\o(DM,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(d2＋c2－2c·d)．∴|eq\o(MB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(MD,\s\up6(→))|2.∴|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MD,\s\up6(→))|.7．解：已知OA∥O′A′，OB∥O′B′，求證：∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝π.證明：∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，∴可設eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(O′A′,\s\up6(→))(λ∈R，λ≠0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝μeq\o(O′B′,\s\up6(→))(μ∈R，μ≠0)．∴cos∠AOB＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)，cos∠A′O′B′＝eq\f(\o(O′A′,\s\up6(→))·\o(O′B′,\s\up6(→)),|\o(O′A′,\s\up6(→))||\o(O′B′,\s\up6(→))|)＝eq\f(λ\o(OA,\s\up6(→))·μ\o(OB,\s\up6(→)),|λ\o(OA,\s\up6(→))||μ\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(λμ\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|λμ||\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝±eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|).當eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(O′A′,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(O′B′,\s\up6(→))均同向或反向時，取正號，即cos∠AOB＝cos∠A′O′B′.∵∠AOB，∠A′O′B′∈(0，π)，∴∠AOB＝∠A′O′B′.當eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(O′A′,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(O′B′,\s\up6(→))只有一個反向時，取負號，即cos∠AOB＝－cos∠A′O′B′＝cos(π－∠A′O′B′)．∵∠AOB，π－∠A′O′B′∈(0，π)，∴∠AOB＝π－∠A′O′B′.∴∠AOB＋∠A′O′B′＝π.∴命題成立．(設計者：鄭吉星)第2課時導入新課(問題導入)你能舉出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，學生很容易就舉出來．進一步，你能舉出應用向量來分析和解決物理問題的例子嗎？你是怎樣解決的？教師由此引導：向量是有廣泛應用的數(shù)學工具，對向量在物理中的研究，有助于進一步加深對這方面問題的認識．我們可以通過對下面若干問題的研究，體會向量在物理中的重要作用．由此自然的引入新課．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))向量在物理中的應用1．向量的加法與減法在力的分解與合成中的應用．2．向量在速度的分解與合成中的應用．如何用向量法來解決物理問題1．將相關物理量用幾何圖形表示出來．2．將物理問題抽象成數(shù)學模型，轉化為數(shù)學問題．3．最后將數(shù)學問題還原為物理問題．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例))例1課本本節(jié)例1.變式訓練1．在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？活動：這個日常生活問題可以抽象為如圖12所示的數(shù)學模型，引導學生由向量的平行四邊形法則，力的平衡及解直角三角形等知識來思考探究這個數(shù)學問題．這樣物理中用力的現(xiàn)象就轉化為數(shù)學中的向量問題．只要分析清楚F、G、θ三者之間的關系(其中F為F1、F2的合力)，就得到了問題的數(shù)學解釋．圖12在教學中要盡可能地采用多媒體，在信息技術的幫助下讓學生來動態(tài)地觀察|F|，|G|，θ之間在變化過程中所產(chǎn)生的相互影響．由學生獨立完成本例后，與學生共同探究歸納出向量在物理中的應用的解題步驟，也可以由學生自己完成，還可以用信息技術來驗證．用向量解決物理問題的一般步驟是：①問題的轉化，即把物理問題轉化為數(shù)學問題；②模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學模型；③參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學模型的有關解——理論參數(shù)值；④問題的答案，即回到問題的初始狀態(tài)，解釋相關的物理現(xiàn)象．解：不妨設|F1|＝|F2|，由向量的平行四邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道coseq\f(θ,2)＝eq\f(\f(1,2)|G|,|F1|)|F1|＝eq\f(|G|,2cos\f(θ,2)).通過上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)：當θ由0°到180°逐漸變大時，eq\f(θ,2)由0°到90°逐漸變大，coseq\f(θ,2)的值由大逐漸變小，因此|F1|由小逐漸變大，即F1，F(xiàn)2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力．點評：本題是日常生活中經(jīng)常遇到的問題，學生也會有兩人共提一個旅行包以及在單杠上做引體向上運動的經(jīng)驗．本題的關鍵是作出簡單的受力分析圖，啟發(fā)學生將物理現(xiàn)象轉化成模型，從數(shù)學角度進行解釋，這就是本題活動中所完成的事情．教學中要充分利用好這個模型，為解決其他物理問題打下基礎．得到模型后就可以發(fā)現(xiàn)，這是一個很簡單的向量問題，這也是向量工具優(yōu)越性的具體體現(xiàn)．2．某人騎摩托車以20km/h的速度向西行駛，感到風從正南方向吹來，而當其速度變?yōu)?0km/h時，他又感到風從西南方向吹來，求實際的風向和風速．解：如圖13所示．設v1表示20km/h的速度，在無風時，此人感到的風速為－v1，實際的風速為v，那么此人所感到的風速為v＋(－v1)＝v－v1.圖13令eq\o(AB,\s\up6(→))＝－v1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2v1，實際風速為v.∵eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(DB,\s\up6(→))＝v－v1，這就是騎車人感受到的從正南方向吹來的風的速度．∵eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝v－2v1，這就是當車的速度為40km/h時，騎車人感受到的風速．由題意得∠DCA＝45°，DB⊥AB，AB＝BC，∴△DCA為等腰三角形．DA＝DC，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴DA＝DC＝eq\r(2)BC＝20eq\r(2)，∴|v|＝20eq\r(2)km/h，答：實際吹來的風的速度v的大小是20eq\r(2)km/h，v的方向是東南方向.例2在靜水中劃船的速度是每分鐘40，水流的速度是每分鐘20，如果船從岸邊出發(fā)，徑直沿垂直于水流的航線到達對岸，那么船行進的