高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程2．6曲線與方程 第2章

曲線與方程2.6.1曲線與方程1．了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．理解數(shù)形結(jié)合思想，會(huì)處理一些簡單的曲線與方程問題．(難點(diǎn))3．曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系．(易錯(cuò)點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理曲線的方程方程的曲線閱讀教材P60例1以上的部分，完成下列問題．1．方程與曲線的定義在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解滿足以下關(guān)系：如果曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x，y)＝0的曲線．2．方程與曲線的關(guān)系1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，那么方程f(x，y)＝0就是曲線的方程．()(2)如果f(x，y)＝0是某曲線C的方程，則曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程．()(3)若曲線C上的點(diǎn)滿足方程f(x，y)＝0，則坐標(biāo)不滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)不在曲線C上．()(4)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)為端點(diǎn)的線段的方程．()(5)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy＝1.()【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×2．點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，－m))在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，則m＝________.【解析】據(jù)題意，有eq\f(1,4)m2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或－eq\f(18,5).【答案】2或－eq\f(18,5)3．方程|y|＝|2x|表示的曲線是________．【解析】∵|y|＝|2x|，∴y＝±2x，表示兩條直線．【答案】兩條直線4．已知曲線C的方程為x2－xy＋2y－7＝0，則下列四點(diǎn)中，在曲線C上的點(diǎn)有________(填序號(hào))．①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．【解析】把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)知，只有(－1,2)滿足方程．【答案】①[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]曲線與方程概念的理解(1)判斷點(diǎn)A(－4,3)，B(－3eq\r(2)，－4)，C(eq\r(5)，2eq\r(5))是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上；(2)方程x2(x2－1)＝y(tǒng)2(y2－1)所表示的曲線是C，若點(diǎn)M(m，eq\r(2))與點(diǎn)Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，n))在曲線C上，求m，n的值．【精彩點(diǎn)撥】由曲線與方程的關(guān)系知，只要點(diǎn)M的坐標(biāo)適合曲線的方程，則點(diǎn)M就在方程所表示的曲線上；而若點(diǎn)M為曲線上的點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0，y0)一定適合曲線的方程．【自主解答】(1)把點(diǎn)A(－4,3)的坐標(biāo)代入方程x2＋y2＝25中，滿足方程，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)滿足x≤0，則點(diǎn)A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上；把點(diǎn)B(－3eq\r(2)，－4)的坐標(biāo)代入x2＋y2＝25，因?yàn)?－3eq\r(2))2＋(－4)2＝34≠25，所以點(diǎn)B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上．把點(diǎn)C(eq\r(5)，2eq\r(5))的坐標(biāo)代入x2＋y2＝25，得(eq\r(5))2＋(2eq\r(5))2＝25，滿足方程，但因?yàn)闄M坐標(biāo)eq\r(5)不滿足x≤0的條件，所以點(diǎn)C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上．(2)因?yàn)辄c(diǎn)M(m，eq\r(2))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，n))在曲線C上，所以它們的坐標(biāo)都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝n2(n2－1)，解得m＝±eq\r(2)，n＝±eq\f(1,2)或±eq\f(\r(3),2).1．判斷點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系要從曲線與方程的定義入手．(1)要判斷點(diǎn)是否在方程表示的曲線上，只需檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足方程即可；(2)若所給點(diǎn)在已知曲線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合已知曲線的方程，由此可求點(diǎn)或方程中的參數(shù)．2．判斷方程是否是曲線的方程，要從兩個(gè)方面著手，一是檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否都適合方程，二是檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上．[再練一題]1．若命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，則下列命題正確的是________(填序號(hào))．①方程f(x，y)＝0的曲線是C；②方程f(x，y)＝0的曲線不一定是C；③f(x，y)＝0是曲線C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上．【解析】只有正確地理解曲線與方程的定義，才能準(zhǔn)確作答．易知①③④錯(cuò)誤．【答案】②由方程確定曲線方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲線？【精彩點(diǎn)撥】由曲線的方程研究曲線的特點(diǎn)，類似于用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的圖象，可由方程的特點(diǎn)入手分析．【自主解答】方程的左邊配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0，∴x－1＝0且y＋1＝0，即x＝1，y＝－1.∴方程表示點(diǎn)(1，－1)．曲線的方程是曲線的代數(shù)體現(xiàn)，判斷方程表示什么曲線，可根據(jù)方程的特點(diǎn)利用配方、因式分解等方法對(duì)已知方程變形，轉(zhuǎn)化為我們熟知的曲線方程，在變形時(shí)，應(yīng)保證變形過程的等價(jià)性.[再練一題]2．方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0表示什么曲線？【解】方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x＋y－1＝0))或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.故方程表示直線x＝1和射線x＋y－1＝0(x≥1).點(diǎn)與曲線的關(guān)系及應(yīng)用(1)點(diǎn)P(a＋1，a＋4)在曲線y＝x2＋5x＋3上，則a的值是________．(2)若曲線y2＝xy＋2x＋k通過點(diǎn)(a，－a)，a∈R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．【精彩點(diǎn)撥】(1)利用點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，代入解方程可得；(2)點(diǎn)(a，－a)在曲線上，則點(diǎn)(a，－a)適合方程，把k用a表示出來，利用求值域的方法得k的范圍．【自主解答】(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(a＋1，a＋4)在曲線y＝x2＋5x＋3上，所以a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0，解得a＝－1或－5.(2)∵曲線y2＝xy＋2x＋k通過點(diǎn)(a，－a)，∴a2＝－a2＋2a＋k，∴k＝2a2－2a＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2－eq\f(1,2)，∴k≥－eq\f(1,2)，∴k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).【答案】(1)－1或－5(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))判斷點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的方法如果曲線C的方程是f(x，y)＝0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)．(1)點(diǎn)P(x0，y0)在曲線C：f(x，y)＝0上?f(x0，y0)＝0.(2)點(diǎn)P(x0，y0)不在曲線C：f(x，y)＝0上?f(x0，y0)≠0.[再練一題]3．若點(diǎn)M(m，m)在曲線x－y2＝0上，則m的值為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390055】【解析】∵點(diǎn)M(m，m)在曲線x－y2＝0上，∴m－m2＝0，解得m＝0或m＝1.【答案】0或1[探究共研型]曲線與方程的關(guān)系探究1怎樣理解曲線與方程的概念？【提示】定義中的條件(1)闡明了曲線具有純粹性(或方程具有完備性)，即曲線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)都適合這個(gè)方程而毫無例外；條件(2)闡明了曲線具有完備性(或方程具有純粹性)，即適合條件的點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏．曲線的方程和方程的曲線是兩個(gè)不同的概念，曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系，而方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形．探究2理解曲線的方程與方程的曲線的概念時(shí)應(yīng)注意什么？【提示】(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解．(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，二者缺一不可．方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0的曲線經(jīng)過點(diǎn)A(0，－3)，B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(7,4)))，D(8,0)中的________個(gè)點(diǎn)．【精彩點(diǎn)撥】方程表示兩條直線x－4y－12＝0和x＋2y－8＝0，但應(yīng)注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，即x＋2y>0.【自主解答】由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，得x＋2y>0.∴A(0，－3)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(7,4)))不符合要求；將B(0,4)代入方程檢驗(yàn)，符合要求；將D(8,0)代入方程檢驗(yàn)，符合要求．【答案】2點(diǎn)與實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：C上的點(diǎn)x0，y0fx，y＝0的解，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，因此要判斷點(diǎn)是否在曲線上只需驗(yàn)證該點(diǎn)是否滿足方程即可.[再練一題]4．已知直線l：x＋y＋3＝0，曲線C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，若P(1，－1)，則點(diǎn)P與l，C的關(guān)系是________．【解析】由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P?l；又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，∴點(diǎn)P在曲線C上，即P∈C.【答案】P?l，P∈C[構(gòu)建·體系]1．設(shè)方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命題“坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上”是不正確的，則下面命題中正確的是________(填序號(hào))．①坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0的點(diǎn)都不在曲線C上；②曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足f(x，y)＝0；③坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0的點(diǎn)有些在曲線C上，有些不在曲線C上；④一定有不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0.【解析】因?yàn)槊}“坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上”是不正確的，所以其否定：存在不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0，是正確的，即④正確．【答案】④2．f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的________條件.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390056】【解析】∵f(x0，y0)＝0，可知點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上時(shí)，有f(x0，y0)＝0，∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件．【答案】充要3．若P(2，－3)在曲線x2－ay2＝1上，則a的值為_______________________．【解析】∵P(2，－3)在曲線x2－ay2＝1上，∴4－9a＝1，解得a＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)4．如圖2-6-1中，方程表示圖中曲線的是________．圖2-6-1【解析】∵x2＋y2＝1表示單位圓，故①錯(cuò)；x2－y2＝0表示兩條直線y＝x和y＝－x，故②