高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列 同課異構(gòu)

第二章第2課時(shí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2023·全國Ⅱ理，4)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742432)(B)A．21 B．42C．63 D．84[解析]設(shè)等比數(shù)列公比為q，則a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因?yàn)閍1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42，故選B．2．(2023·東北三省四市聯(lián)考)等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a7＝5，則數(shù)列{lgan}的前10項(xiàng)和等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742433)(D)A．2 B．lg50C．10 D．5[解析]由等比數(shù)列性質(zhì)知a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝10，故lga1＋lga2＋…＋lga10＝lg(a1a2…a3．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742434)(B)A．210 B．220C．216 D．215[解析]設(shè)A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5C＝a3a6a9…a30，則A、B公比為q10＝210，由條件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.4．設(shè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)依次為eq\r(3)，eq\r(3,3)，eq\r(6,3)，則它的第四項(xiàng)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742435)(A)A．1 B．eq\r(8,3)C．eq\r(9,3) D．eq\r(12,15)[解析]a4＝a3q＝a3·eq\f(a2,a1)＝eq\r(6,3)×eq\f(\r(3,3),\r(3))＝eq\f(3\f(1,6)×3\f(1,3),3\f(1,2))＝1.5．(2023·華南師范大學(xué)附屬中學(xué))在等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7.若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742436)(C)A．2 B．4C．8 D．16[解析]在等比數(shù)列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4.在等差數(shù)列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．一個(gè)等比數(shù)列前三項(xiàng)的積為2，最后三項(xiàng)的積為4，且所有項(xiàng)的積為64，則該數(shù)列有eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742437)(B)A．13項(xiàng) B．12項(xiàng)C．11項(xiàng) D．10項(xiàng)[解析]設(shè)前三項(xiàng)分別為a1，a1q，a1q2，后三項(xiàng)分別為a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三項(xiàng)之積aeq\o\al(3,1)q3＝2，后三項(xiàng)之積aeq\o\al(3,1)q3n－6＝4.兩式相乘得，aeq\o\al(6,1)q3(n－1)＝8，即aeq\o\al(2,1)qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝aeq\o\al(n,1)qeq\f(nn－1,2)＝64，即(aeq\o\al(2,1)qn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.二、填空題7．設(shè){an}為等比數(shù)列，an>0，q＝2，a1·a2·a3·…·a30＝230，則a3a6a9·…·a30＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742438)[解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a2·…·a30＝(a2·a5·…·a28)＝(eq\f(a3·a6·a9·…·a30,210))3＝230.故a3a6a9·…·a308．(2023·浙江理，13)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝1，S5＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742439)[解析]由于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4,a2＝2a1＋1))，解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋eq\f(1,2)＝3(Sn＋eq\f(1,2))，所以{Sn＋eq\f(1,2)}是以eq\f(3,2)為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以Sn＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)×3n－1，即Sn＝eq\f(3n－1,2)，所以S5＝121.三、解答題9．(2023·全國卷Ⅲ文，17)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742440)(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．[解析](1)由題意可得a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,4).(2)由aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).故{an}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，因此an＝eq\f(1,2n－1).10．等差數(shù)列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}前20項(xiàng)的和\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742441)[解析]設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.由a3，a6，a10成等比數(shù)列得，a3a10＝aeq\o\al(2,6)，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0，或d＝1.當(dāng)d＝0時(shí)，S20＝20a4當(dāng)d＝1時(shí)，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，因此，S20＝20a1＋eq\f(20×19,2)d＝20×7＋190＝330.能力提升一、選擇題11．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，則a，b，ceq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742442)(A)A．成等差數(shù)列不成等比數(shù)列B．成等比數(shù)列不成等差數(shù)列C．成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D．既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列[解析]解法一：a＝log23，b＝log26＝log23＋1，c＝log212＝log23＋2.∴b－a＝c－b.解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴12．在數(shù)列{an}中，a1＝2，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＋1＝an＋2；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＋1＝2an－1，則a12等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742443)(C)A．32 B．34C．66 D．64[解析]依題意，a1，a3，a5，a7，a9，a11構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故選C．13．若方程x2－5x＋m＝0與x2－10x＋n＝0的四個(gè)根適當(dāng)排列后，恰好組成一個(gè)首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，則eq\f(m,n)的值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742444)(D)A．4 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)[解析]由題意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根則m＝4，另一根為4，設(shè)x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，則x3＋x4＝10，這四個(gè)數(shù)的排列順序只能為1、x3、4、x4，公比為2、x3＝2、x4＝8、n＝16、eq\f(m,n)＝eq\f(1,4)；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根為9，則n＝9，設(shè)x2－5x＋m＝0之兩根為x1、x2則x1＋x2＝5，無論什么順序均不合題意．二、填空題14．在3和一個(gè)未知數(shù)間填上一個(gè)數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項(xiàng)減去6則成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是3或\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742445)[解析]設(shè)此三數(shù)為3、a、b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3＋b,a－62＝3b))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15,b＝27)).∴這個(gè)未知數(shù)為3或27.15．(2023·浙江文，10)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝eq\f(2,3)，d＝－\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742446)[解析]由題可得，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，故有3a1＋2d＝0，又因?yàn)?a1＋a2＝1，即3a1＋d＝1，所以d＝－1，a1＝eq\f(2,3).三、解答題16．(2023·鄭州市質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742447)(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求使(n－8)bn≥nk對(duì)任意n∈N*恒成立的實(shí)數(shù)k[解析](1)由Sn＝2an－2可得a1＝2，因?yàn)镾n＝2an－2，所以，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1,即：eq\f(an,an－1)＝2.數(shù)列{an}是以a1＝2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以，an＝2n(n∈N*)．(2)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).(n－8)bn≥nk對(duì)任意n∈N*恒成立，等價(jià)于eq\f(n－8n＋1,2)≥k對(duì)n∈N*恒成立；設(shè)cn＝eq\f(1,2)(n－8)(n＋1)，則當(dāng)n＝3或4時(shí)，cn取得最小值為－10，所以k≤－10.17．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742448)(1)求a1及an；(2