高中數(shù)學(xué)高考三輪沖刺 高質(zhì)作品

德陽市高中2023屆“三診”考試數(shù)學(xué)試卷（文史類）說明： 1.本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1-2頁(yè)，第Ⅱ卷3-4頁(yè)．考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效．考試結(jié)束后，將答題卡交回． 2.本試卷滿分150分，120分鐘完卷．第Ⅰ卷（選擇題共50分）參考公式： 如果事件、互斥，那么 球的表面積公式：（其中表示球的半徑） 球的體積公式：（其中表示球的半徑）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為 A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)運(yùn)算．2.若全集，，則集合可以是 A．B．C． D．【答案】A【解析】由，，可知．【考點(diǎn)】集合的補(bǔ)集運(yùn)算．3.兩條不重合的直線、和平面，則“，”是“”的 A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，故滿足充分性；但，不一定滿足都與垂直．【考點(diǎn)】空間中的線面關(guān)系．4.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而同一學(xué)段男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的方法是 A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣 C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣【答案】C【解析】因?yàn)楦鲗W(xué)段視力情況差異較大，故采用按學(xué)段分層抽樣．【考點(diǎn)】分層抽樣．5.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過圓的圓心且準(zhǔn)線和軸垂直的拋物線方程為 A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線與軸垂直，故可設(shè)拋物線方程為，因?yàn)閳A心在拋物線上，所以，故拋物線方程為．【考點(diǎn)】拋物線的方程．6.設(shè)函數(shù)的圖象上的點(diǎn)處的切線的斜率為，若，則函數(shù)的圖象大致為【答案】A【解析】由，得，故，該函數(shù)為奇函數(shù)，故排除B、C，又在且時(shí)，，排除D．【考點(diǎn)】函數(shù)圖象與函數(shù)的性質(zhì)．7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值是 A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】；；；；；輸出．【考點(diǎn)】程序框圖．8.設(shè)，滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)（，）的最大值為6，則的最小值為 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】分析可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取得最大值，故，即．所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，即的最小值為1．【考點(diǎn)】線性規(guī)劃及均值不等式．9.在△中，、、分別為角、、所對(duì)應(yīng)的三角形的邊長(zhǎng)，若，則 A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得．因?yàn)?、不共線，所以整理得所以．【考點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算及余弦定理．10.已知函數(shù)，函數(shù)，，則下列判斷不正確的是 A．若，則有一個(gè)零點(diǎn) B．若，則有兩個(gè)零點(diǎn)C．若，則有四個(gè)零點(diǎn) D．若，則有三個(gè)零點(diǎn)【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示．令，得，，解得，所以時(shí)，該方程有兩個(gè)根，不妨設(shè)為、，且，由，得，由函數(shù)的圖象可知，有一個(gè)根，最多有兩根，故關(guān)于的方程最多有3個(gè)根，即最多有三個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤．【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與函數(shù)的零點(diǎn)．第Ⅱ卷（非選擇題100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)后橫線上．11.點(diǎn)為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨即取一點(diǎn)，則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為．【答案】【解析】到圓上點(diǎn)距離小于1的點(diǎn)所在弧長(zhǎng)為2，故其概率為．【考點(diǎn)】幾何概型．12.表面積為的球，其內(nèi)接長(zhǎng)方體的高為14，且底面是正方形，則此長(zhǎng)方體的表面積為．【答案】【解析】由題意設(shè)球的半徑為，則，解得．設(shè)長(zhǎng)方體底面正方形的邊長(zhǎng)為，則，解得，故長(zhǎng)方體的表面積為．【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與球的組合體問題．13.設(shè)角、是銳角，若，則．【答案】【解析】由，展開得，整理得，故．因?yàn)椤⑹卿J角，所以，故．【考點(diǎn)】?jī)山呛偷恼泄剑?4.已知雙曲線（，）的焦點(diǎn)分別是、，焦距為，雙曲線上存在一點(diǎn)，使直線與圓相切于的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是．【答案】【解析】如圖，在直角三角形中，，，故，故，．由，可得，故，故．【考點(diǎn)】雙曲線的離心率．15.函數(shù)的圖象很象網(wǎng)絡(luò)流行的“囧”字的內(nèi)部，我們不妨把它稱為“囧函數(shù)”，現(xiàn)有以下命題，其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②的最小值為；③對(duì)于定義域內(nèi)任意兩正數(shù)、，若，則；④的導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)；⑤對(duì)于上的任意實(shí)數(shù)，，恒有【答案】①④【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但，故該函數(shù)不是奇函數(shù)，即的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①對(duì)；因?yàn)?，且，所以或，故無最小值，故②錯(cuò)；，因?yàn)?，所以，故函?shù)在和為減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故③錯(cuò)誤；由，解得，即的導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，故④正確；設(shè)，則該函數(shù)為凹函數(shù)，故，從而，故⑤錯(cuò)誤．【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)．三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.（本小題滿分12分） 某電視臺(tái)在一次對(duì)收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計(jì)20至40歲401858大于40歲152742總計(jì)5545100（1）用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名？（2）在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40的概率．【答案】（1）3；（2）【解析】試題分析：（1）分層抽樣又叫比例抽樣，先求出抽樣比，然后求出大于40歲的觀眾應(yīng)抽取人數(shù)；（2）抽取的5人中大于40歲的有3人，在20至40歲的有2人，分別求出任取2名的所有情況和恰有1名年齡在20至40之間的情況，作比即可．試題解析：（1）從題中所給條件可以看出收看新聞節(jié)目的共45人，隨機(jī)抽取5人，則抽樣比為，故大于40歲的觀眾應(yīng)抽?。ㄈ耍?）抽取的5名觀眾中大于40歲的有3人，在20至40歲的有2人，記大于40歲人為，，，20至40歲的人為，，則從5人中抽取2人的基本事件有，，，，，，，，，共10個(gè)，其中恰有1人為20歲至40歲的有6個(gè)．故所求概率為．17.（本小題滿分12分） 已知函數(shù)（）的最小正周期為．（1）求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．【答案】（1）；；（2），【解析】試題分析：（1）先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為“一角一函數(shù)”，然后根據(jù)最小正周期為，即可求出函數(shù)解析式，進(jìn)而求出函數(shù)的對(duì)稱軸與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)，即可求出，通過的區(qū)間，即可求出的范圍為，進(jìn)而求出在此區(qū)間上的最小值和最大值．試題解析：．由于函數(shù)的最小正周期為，故．故函數(shù)．（1）令（），得：，令，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）．由于，則，故當(dāng)，即時(shí)函數(shù)取得最大值；當(dāng)，即時(shí)函數(shù)取得最小值．18.（本小題滿分12分） 一個(gè)多面體的直觀圖即三視圖如圖所示（其中、分別是、的中點(diǎn)）．（1）求證：平面；（2）求多面體的體積．【答案】（1）（略）；（2）【解析】試題分析：（1）連接，可知為△的中位線，故，從而即可證明平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，即可證明⊥平面，從而可知即為多面體的高．試題解析：由三視圖可知：，，∠．（1）證明：連接、，則為△中位線，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）解：取的中點(diǎn)．∵，∴⊥．在直三棱柱中，平面⊥平面，平面平面．∴⊥平面．∴多面體是以為高，以矩形為底面的棱錐．在△中，，，∴棱錐的體積為．19.（本小題滿分12分） 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且，數(shù)列的前項(xiàng)和（）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，其中，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論；（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）【解析】試題分析：（1）易得，然后根據(jù)已知前項(xiàng)和求通項(xiàng)的方法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出、，然后作差討論即可；（3）通過，求出的的通項(xiàng)公式，然后利用乘公比錯(cuò)位相減法即可求出．試題解析：（1）∵的圖象過原點(diǎn)，∴．∴．當(dāng)時(shí)，．又∵適合，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式（）．（2），，，…，組成以0為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，∴．，，，…，組成以18為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴．故．∴對(duì)于正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（3）由，得（）．∴ ，，兩式相減得：，∴．20.（本小題滿分13分） 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上，若右焦點(diǎn)到直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是過原點(diǎn)的直線，不垂直于軸的直線與垂直相交于點(diǎn)、于橢圓相交于、兩點(diǎn)，．是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）直線不存在【解析】試題分析：（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，且為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，故；根據(jù)右焦點(diǎn)到直線的距離為，可求出，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）根據(jù)，可得，再根據(jù)，即可得，從而轉(zhuǎn)化為，然后聯(lián)立方程求出兩根關(guān)系代入上式即可得出矛盾，故直線不存在．試題解析：（1）設(shè)右焦點(diǎn)為，則由點(diǎn)到直線的距離公式，得，∴，又，∴，故橢圓的方程為．（2）設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，假設(shè)使成立的直線存在．設(shè)的方程為，由與垂直相交于點(diǎn)且，得，即．∵，，∴．即．將代入橢圓方程，得．由此可得：④⑤，將④⑤代入上式并化簡(jiǎn)得⑥將代入⑥并化簡(jiǎn)得，矛盾．∴直線不存在．21.（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，，其中且．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若時(shí)，函數(shù)有極值，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是否存在實(shí)數(shù)，使在上為減函數(shù)，若存在，求的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）和；（2）；（3）存在，且【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，利用即可求出的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由時(shí)，函數(shù)有極值，即可求出，即可求出，然后根據(jù)函數(shù)圖象平移即可求出對(duì)稱中心坐標(biāo)；（3）因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以在和上為減函數(shù)，且在上的最小值不小于上的最大值．試題解析：（1）的定義域?yàn)椋?dāng)，．設(shè)，即，所以或，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和．（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，所以，且，即．所以．的圖象可由的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到，而的圖象關(guān)