高中物理粵教版第三章萬有引力定律及其應(yīng)用 第3章章末分層突破

章末分層突破[自我校對]①地心說②日心說③Geq\f(m1m2,r2)④2πeq\r(\f(r3,GM))⑤eq\r(\f(GM,r))⑥eq\r(\f(GM,r3))⑦eq\f(GM,r2)⑧km/s⑨km/s⑩km/s萬有引力與重力的關(guān)系1.萬有引力和重力的關(guān)系實(shí)際上，地面上物體所受的萬有引力F可以分解為物體所受的重力mg和隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動的向心力F′.其中F＝Geq\f(Mm,R2)，F(xiàn)′＝mrω2，質(zhì)量為m的物體在地面上的萬有引力F大小不變，且F?F′.(1)當(dāng)物體在赤道上時，F(xiàn)、mg、F′三力同向．此時滿足F′＋mg＝F，物體的重力最小，方向指向地心．(2)當(dāng)物體在兩極點(diǎn)時，F(xiàn)′＝0，F(xiàn)＝mg＝Geq\f(Mm,R2).(3)當(dāng)物體在地球的其他位置時，三力方向不同，F(xiàn)＞mg，重力略小于萬有引力，重力的方向不指向地心．(4)當(dāng)忽略地球自轉(zhuǎn)時，重力等于萬有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2).(5)對于繞地球運(yùn)行的近地衛(wèi)星，所受的萬有引力可認(rèn)為等于衛(wèi)星的重力．2．赤道上物體的向心加速度和衛(wèi)星的向心加速度的區(qū)別圖3-1放在赤道地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力是地球?qū)ξ矬w的引力和地面支持力的合力提供的；而環(huán)繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星所需的向心力完全由地球?qū)πl(wèi)星的引力提供(如圖3-1)．兩個向心力的數(shù)值相差很大(如質(zhì)量為1kg的物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力只有N，而它所受地球引力約為N，近地衛(wèi)星上每千克的物體所需的向心力是N)，對應(yīng)的兩個向心加速度的計(jì)算方法也不同，赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度a1＝ω2R＝(eq\f(2π,T))2R，式中T為地球自轉(zhuǎn)周期，R為地球半徑；衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的向心加速度a2＝GM/r2，式中M為地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星與地心的距離．某星球“一天”的時間是T1＝6h，用彈簧測力計(jì)在星球的“赤道”上比在“兩極”處測同一物體的重力時讀數(shù)小10%，設(shè)想該星球自轉(zhuǎn)的角速度加快，使赤道上的物體自動飄起來，這時星球的“一天”是多少小時？【解析】“一天”的含義是指該星球自轉(zhuǎn)的周期設(shè)該物體在星球的“赤道”上時重力為G1，在兩極處的重力為G2.在“赤道”處：Geq\f(Mm,R2)－G1＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R ①在“兩極”處：Geq\f(Mm,R2)＝G2 ②G2－G1＝G2·10% ③由①②③式得Geq\f(Mm,R2)·10%＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R ④赤道上的物體自動飄起來也就是萬有引力全部提供自轉(zhuǎn)向心力，設(shè)星球自轉(zhuǎn)的周期為T2時，即Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))R ⑤由④⑤兩式可得T2＝eq\f(\r(10),10)T1≈h.【答案】h天體運(yùn)動的規(guī)律“一”、“二”、“三”分析處理天體運(yùn)動問題，要抓住“一個模型”、應(yīng)用“兩個思路”、區(qū)分“三個不同”．1．一個模型無論是自然天體(如行星、月球等)，還是人造天體(如人造衛(wèi)星、空間站等)，只要天體的運(yùn)動軌跡為圓形，就可將其簡化為質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動．2．兩個思路(1)所有做圓周運(yùn)動的天體，所需的向心力都來自萬有引力．因此，向心力等于萬有引力，據(jù)此所列方程是研究天體運(yùn)動的基本關(guān)系式，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man(2)不考慮地球或天體自轉(zhuǎn)影響時，物體在地球或天體表面受到的萬有引力約等于物體的重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg變形得GM＝gR2，此式通常稱為“黃金代換式”．3．三個不同(1)不同公式中r的含義不同．在萬有引力定律公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(F＝G\f(m1m2,r2)))中，r的含義是兩質(zhì)點(diǎn)間的距離；在向心力公式(F＝meq\f(v2,r)＝mω2r)中，r的含義是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌道半徑．當(dāng)一個天體繞另一個天體做勻速圓周運(yùn)動時，兩式中的r相等．(2)運(yùn)行速度、發(fā)射速度和宇宙速度的含義不同．三種速度的比較，如下表所示比較項(xiàng)概念大小影響因素運(yùn)行速度衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動的速度v＝eq\r(\f(GM,r))軌道半徑r越大，v越小發(fā)射速度在地面上發(fā)射衛(wèi)星的速度大于或等于km/s衛(wèi)星的發(fā)射高度越高，發(fā)射速度越大宇宙速度實(shí)現(xiàn)某種效果所需的最小衛(wèi)星發(fā)射速度km/skm/skm/s不同衛(wèi)星發(fā)射要求不同(3)衛(wèi)星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度a′的含義不同．①繞地球做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星的向心加速度a，由Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，其中r為衛(wèi)星的軌道半徑．②若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度為g＝eq\f(GM,R2)，其中R為地球的半徑．③地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度a′＝ω2Rcosθ，其中ω、R分別是地球的自轉(zhuǎn)角速度和半徑，θ是物體所在位置的緯度值．(多選)已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球同步衛(wèi)星質(zhì)量為m，引力常量為G，有關(guān)同步衛(wèi)星，下列表述正確的是()A．衛(wèi)星距地面的高度為eq\r(3,\f(GMT2,4π2))B．衛(wèi)星的運(yùn)行速度小于第一宇宙速度C．衛(wèi)星運(yùn)行時受到的向心力大小為Geq\f(Mm,R2)D．衛(wèi)星運(yùn)行的向心加速度小于地球表面的重力加速度【解析】對同步衛(wèi)星有萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)，所以h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R，A錯誤；第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，B正確；同步衛(wèi)星運(yùn)動的向心力等于萬有引力，應(yīng)為F＝eq\f(GMm,R＋h2)，C錯誤；同步衛(wèi)星的向心加速度為a同＝eq\f(GM,R＋h2)，地球表面的重力加速度a表＝eq\f(GM,R2)，知a表>a同，D正確．【答案】BD雙星問題1.雙星眾多的天體中如果有兩顆恒星，它們靠得較近，在萬有引力作用下繞著它們連線上的某一點(diǎn)共同轉(zhuǎn)動，這樣的兩顆恒星稱為雙星．2．雙星問題特點(diǎn)如圖3-2所示為質(zhì)量分別是m1和m2的兩顆相距較近的恒星．它們間的距離為L.此雙星問題的特點(diǎn)是：圖3-2(1)兩星的運(yùn)行軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點(diǎn)；(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供；(3)兩星的運(yùn)動周期、角速度相同；(4)兩星的運(yùn)動半徑之和等于它們間的距離，即r1＋r2＝L.3．雙星問題的處理方法雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運(yùn)動的向心力，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，由此得出：(1)m1r1＝m2r2，即某恒星的運(yùn)動半徑與其質(zhì)量成反比．(2)由于ω＝eq\f(2π,T)，r1＋r2＝L，所以兩恒星的質(zhì)量之和m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2).宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動而不會因萬有引力的作用吸引到一起．(1)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量的反比．(2)設(shè)兩者的質(zhì)量分別為m1和m2，兩者相距L，試寫出它們角速度的表達(dá)式．【解析】(1)證明：兩天體繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的角速度ω一定相同．它們做勻速圓周運(yùn)動的向心力由它們之間的萬有引力提供，所以兩天體與它們的圓心總是在一條直線上．設(shè)兩者的圓心為O點(diǎn)，軌道半徑分別為R1和R2，如圖所示．對兩天體，由萬有引力定律可分別列出Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2R1 ①Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2R2 ②所以eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，所以eq\f(v1,v2)＝eq\f(R1ω,R2ω)＝eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，即它們的軌道半徑、線速度之比都等于質(zhì)量的反比．(2)由①②兩式相加得Geq\f(m1＋m2,L2)＝ω2(R1＋R2) ③因?yàn)镽1＋R2＝L，所以ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3)).【答案】(1)見解析(2)ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))1．關(guān)于行星運(yùn)動的規(guī)律，下列說法符合史實(shí)的是()A．開普勒在牛頓定律的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了行星運(yùn)動的規(guī)律B．開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動的規(guī)律C．開普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運(yùn)動的原因D．開普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律【解析】開普勒在前人觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動的規(guī)律，與牛頓定律無聯(lián)系，選項(xiàng)A錯誤，選項(xiàng)B正確；開普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動的規(guī)律，但沒有找出行星按照這些規(guī)律運(yùn)動的原因，選項(xiàng)C錯誤；牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，選項(xiàng)D錯誤．【答案】B2．利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通訊．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的倍．假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為()【導(dǎo)學(xué)號：35390053】A．1h B．4hC．8h D．16h【解析】萬有引力提供向心力，對同步衛(wèi)星有：eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，整理得GM＝eq\f(4π2r3,T2)當(dāng)r＝地時，T＝24h若地球的自轉(zhuǎn)周期變小，軌道半徑最小為2R地三顆同步衛(wèi)星A、B、C如圖所示分布則有eq\f(4π2地3,T2)＝eq\f(4π22R地3,T′2)解得T′≈eq\f(T,6)＝4h，選項(xiàng)B正確．【答案】B3．若在某行星和地球上相對于各自水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運(yùn)動的距離之比為2∶eq\r(7).已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R，由此可知，該行星的半徑約為()\f(1,2)R \f(7,2)RC．2R \f(\r(7),2)R【解析】物體平拋時水平方向滿足x＝v0t，所以eq\f(t1,t2)＝eq\f(x1,x2)＝eq\f(2,\r(7))；豎直方向由h＝eq\f(1,2)gt2得g＝eq\f(2h,t2)，因此eq\f(g1,g2)＝eq\f(t\o\al(2,2),t\o\al(2,1))＝eq\f(7,4).在星球表面物體所受的重力等于萬有引力，由g＝eq\f(GM,R2)得eq\f(R1,R2)＝eq\r(\f(M1g2,M2g1))＝2，又因?yàn)镽2＝R，所以R1＝2R，故選C.【答案】C4．(多選)如圖3-3所示，兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動，用R、T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動能、與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積．下列關(guān)系式正確的有()圖3-3A．TA＞TB B．EkA＞EkBC．SA＝SB \f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))＝eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B))【解析】已知不同高度處的衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動，RA＞RB.根據(jù)eq\f(R3,T2)＝k知，TA＞TB，選項(xiàng)A、D正確；由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)知，運(yùn)動速率v＝eq\r(\f(GM,R))，由RA＞RB，得vA＜vB，則EkA＜EkB，選項(xiàng)B錯誤；根據(jù)開普勒第二定律知，同一衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動，與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積相等，對于不同衛(wèi)星，SA不一定等于SB，選項(xiàng)C錯誤．【答案】AD5．我國即將發(fā)射“天宮二號”空間實(shí)驗(yàn)室，之后發(fā)射“神舟十一號”飛船與“天宮二號”對接．假設(shè)“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動，為了實(shí)現(xiàn)飛船與空間實(shí)驗(yàn)室的對接，下列措施可行的是()圖3-4A．使飛船與空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上運(yùn)行，然后飛船加速追上空間實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)對接B．使飛船與空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上運(yùn)行，然后空間實(shí)驗(yàn)室減速等待飛船實(shí)現(xiàn)對接C．飛船先在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實(shí)驗(yàn)室，兩者速度接近時實(shí)現(xiàn)對接D．飛船先在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實(shí)驗(yàn)室，兩者速度接近時實(shí)現(xiàn)對接【解析】飛船在同一軌道上加速追趕空間實(shí)驗(yàn)室時，速度增大，所需向心力大于萬有引力，飛船將做離心運(yùn)動，不能實(shí)現(xiàn)與空間實(shí)驗(yàn)室的對接，選項(xiàng)A錯誤；同理，空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上減速等待飛船時，速度減小，所需向心力小于萬有引力，空間實(shí)驗(yàn)室做近心運(yùn)動，也不能實(shí)現(xiàn)對接，選項(xiàng)B錯誤；當(dāng)飛船在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上加速時，飛船做離心運(yùn)動，逐漸靠近空間實(shí)驗(yàn)室，可實(shí)現(xiàn)對接，選項(xiàng)C正確；當(dāng)飛船在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上減速時，飛船將做近心運(yùn)動，遠(yuǎn)離空間實(shí)驗(yàn)室，不能實(shí)現(xiàn)對接，選項(xiàng)D錯誤．【答案】C我還有這些不足：(1)