高中數(shù)學人教A版第二章點直線平面之間的位置關系 課后提升作業(yè)十六

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)十六平面與平面垂直的性質(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，點A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是()∥m ⊥m∥β ⊥β【解析】選D.因為m∥α，m∥β，α∩β=l，所以m∥l.因為AB∥l，所以AB∥m.故A一定正確.因為AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m.從而B一定正確.因為A∈α，AB∥l，l?α，所以B∈α.所以AB?β，l?β.所以AB∥β.故C也正確.因為AC⊥l，當點C在平面α內時，AC⊥β成立，當點C不在平面α內時，AC⊥β不成立.故D不一定成立.2.(2023·安徽高考)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A.若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行C.若α，β不平行，則在α內不存在與β平行的直線D.若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面【解析】選D.選項具體分析結論A平面α，β垂直于同一個平面，則α，β相交或平行錯誤B直線m，n平行于同一個平面，則m與n平行、相交、異面錯誤C若α，β不平行，則在α內存在與β平行的直線，如α中平行于α與β交線的直線，則此直線也平行于平面β錯誤D若m，n垂直于同一個平面，則m∥n，其逆否命題即為選項D正確3.(2023·杭州高二檢測)設α，β，γ是三個互不重合的平面，m，n是直線，給出下列命題：①α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ；②若α∥β，m?β，m∥α，則m∥β；③若m，n在γ內的射影互相垂直，則m⊥n；④若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n，其中正確命題的個數(shù)為() B.1 【解析】選B.①：根據(jù)面面垂直的判定可知：①錯誤；②：根據(jù)線面平行的判定可知，②正確；③：如正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB1與AD1在底面A1B1C1D1的射影互相垂直，而AB1與AD1的夾角為4.如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為π4和π6，過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′，B′，則AB∶A′B′∶1∶1∶2∶3【解題指南】利用面面垂直的性質定理找AB與兩平面α，β所成的角，再利用直角三角形的知識表示出AB的值與A′B′的值，進而求出AB∶A′B′的值.【解析】選A.如圖，由已知得AA′⊥平面β，∠ABA′=π6∠BAB′=π4，設AB=a，則BA′=32a，BB′=在Rt△BA′B′中，A′B′=12a，所以ABA'B'【補償訓練】在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是邊長為4的正三角形，PC=4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為()3 B.2 3 7【解析】選B.連接CM，則由題意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM=PC2+CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當CM⊥AB時CM有最小值，此時有CM=4×35.線段AB的兩端在直二面角α-l-β的兩個面內，并與這兩個面都成30°角，則異面直線AB與l所成的角是()° ° ° °【解題指南】過B作l的平行線BC，將直線l與AB所成角轉化為AB與BC所成角.【解析】選B.設AB=a，在平面α內，作AA′⊥l于A′，則AA′⊥β，連A′B，則∠ABA′=30°.在Rt△AA′B中，AB=a，所以AA′=12同理作BB′⊥l于B′，連AB′，則∠BAB′=30°，所以BB′=12a，AB′=3所以A′B′=AB'2過B作BCA′B′.連接A′C，則A′CBB′，連接AC，在Rt△AA′C中，AC=AA'2由BC⊥平面AA′C，所以△ABC為直角三角形，且AC=BC，所以∠ABC=45°，為l與AB所成角.6.(2023·菏澤高一檢測)已知兩條不重合的直線m，n和兩個不重合的平面α，β，有下列命題：①若m⊥n，m⊥α，則n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β；③若m，n是兩條異面直線，m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，則n⊥α.其中正確命題的個數(shù)是() B.2 【解析】選C.①若m⊥n，m⊥α，則n∥α或n?α，故①錯誤；②因為m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊥β，則α∥β，故②正確；③過直線m作平面γ交平面β于直線c，因為m，n是兩條異面直線，所以設n∩c=O；因為m∥β，m?γ，γ∩β=c，所以m∥c；因為m?α，c?α，所以c∥α，因為n?β，c?β，n∩c=O，c∥α，n∥α，所以α∥β，故③正確；④由面面垂直的性質定理：因為α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，所以n⊥α，故④正確.7.如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡是()A.一條線段B.一條直線C.一個圓D.一個圓，但要去掉兩個點【解析】選D.因為平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC，AC?平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因為BC?平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以動點C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點.8.(2023·浙江高考)設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β()A.若l⊥β，則α⊥βB.若α⊥β，則l⊥mC.若l∥β，則α∥βD.若α∥β，則l∥m【解析】選A.選項A中，由平面與平面垂直的判定，故正確；選項B中，當α⊥β時，l，m可以垂直，也可以平行，也可以異面；選項C中，l∥β時，α，β可以相交；選項D中，α∥β時，l，m也可以異面.【補償訓練】設α，β，γ為平面，l，m，n為直線，則能得到m⊥β的一個條件為()A.α⊥β，α∩β=l，m⊥l ⊥α，n⊥β，m⊥αC.α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ D.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α【解析】選B.如圖①知A錯；如圖②知C錯；如圖③，在正方體中，兩側面α與β相交于l，都與底面γ垂直，γ內的直線m⊥α，但m與β不垂直，故D錯；由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，故m⊥β，因此B正確.二、填空題(每小題5分，共10分)9.(2023·桂林高二檢測)如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結論正確的是________.(1)A′C⊥BD.(2)∠BA′C=90°.(3)CA′與平面A′BD所成的角為30°.(4)四面體A′-BCD的體積為16【解析】若A′C⊥BD，又BD⊥CD，則BD⊥平面A′CD，則BD⊥A′D，顯然不可能，故(1)錯誤.因為BA′⊥A′D，BA′⊥CD，故BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正確.因為平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，CA′與平面A′BD所成的角為∠CA′D，因為A′D=CD，所以∠CA′D=π4四面體A′-BCD的體積為V=13S△BDA′·h=13×12因為AB=AD=1，DB=2，所以A′C⊥BD，綜上(2)(4)成立.答案：(2)(4)10.斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，且平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，則A1【解析】取CC1中點M，連A1M因為AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，所以△A1CC1是等邊三角形，四邊形ACC1A1≌四邊形CBB1C所以A1M⊥CC1BM⊥CC1，所以A1M=BM=3又平面ACC1A1⊥平面BCC1B1所以∠A1MB為二面角的平面角，且∠A1MB=90°.所以A1B=6.答案：6三、解答題(每小題10分，共20分)11.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，(1)求證：BD⊥AA1.(2)在棱BC上取一點E，使得AE∥平面DCC1D1，求BE【解題指南】(1)利用面面垂直的性質，證明BD⊥平面AA1C1C(2)點E為BC的中點，即BEEC=1，再證明AE∥DC，利用線面平行的判定，可得AE∥平面DCC1D【解析】(1)在四邊形ABCD中，因為BA=BC，DA=DC，所以BD⊥AC，平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面ACC1A1∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面ACC1A1，又AA1?平面ACC(2)點E為BC的中點，即BEEC下面給予證明：在三角形ABC中，因為AB=AC，且E為BC的中點，所以AE⊥BC，又在四邊形ABCD中，AB=BC=CA=3，DA=DC=1，所以∠ACB=60°，∠ACD=30°，所以DC⊥BC，即平面ABCD中有AE∥DC.因為DC?平面DCC1D1，AE?平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1.12.(2023·重慶高二檢測)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直底面，90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1(1)證明：平面BDC1⊥平面BDC.(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.【解析】(1)設AC=1，因為D為AA1的中點，AC=BC=12AA1所以AC=AD=A1D=A1C1所以DC=DC1=2，又CC1=2，所以DC2+DC12=C所以C1D⊥DC，因為BC⊥AC，BC⊥C1C，AC∩C1所以BC⊥平面A1ACC1，C1D?平面A1ACC1，所以C1D⊥BC，因為DC∩BC=C，所以C1D⊥平面BDC，又C1D?平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.(2)過C1作C1H⊥A1B1于H點，因為平面A1B1C1⊥平面ABB1A平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B所以C1H⊥平面ABB1A1由(1)知，在等腰Rt△A1B1C1中，C1H=2所以VC1-BDA1B1=13·12(A1D+BB1VABC-A1B1所以這兩部分體積的比為1∶1.【能力挑戰(zhàn)題】如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD，(1)證明：平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為63，【解析】(1)因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.因為BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，又BD∩BE=B，故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥