材料力學(xué)第三章 圓軸扭轉(zhuǎn)_第1頁(yè)
材料力學(xué)第三章 圓軸扭轉(zhuǎn)_第2頁(yè)
材料力學(xué)第三章 圓軸扭轉(zhuǎn)_第3頁(yè)
材料力學(xué)第三章 圓軸扭轉(zhuǎn)_第4頁(yè)
材料力學(xué)第三章 圓軸扭轉(zhuǎn)_第5頁(yè)
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材料力學(xué)4何斌njhebin@2/5/2023第3章圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結(jié)論與討論剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律桿的兩端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線的兩個(gè)力偶,桿的任意兩橫截面將繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng),這種受力與變形形式稱為扭轉(zhuǎn)(torsion)。本章主要分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力以及兩相鄰橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角,同時(shí)介紹圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)方法。工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸請(qǐng)判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)?當(dāng)兩只手用力相等時(shí),擰緊螺母的工具桿將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。請(qǐng)判斷軸受哪些力?將發(fā)生什么變形?工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸第3章圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結(jié)論與討論剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律外加扭力矩、扭矩與扭矩圖作用于構(gòu)件的外扭矩與機(jī)器的轉(zhuǎn)速、功率有關(guān)。在傳動(dòng)軸計(jì)算中,通常給出傳動(dòng)功率P和轉(zhuǎn)速n,則傳動(dòng)軸所受的外加扭力矩Me可用下式計(jì)算:

其中P為功率,單位為千瓦(kW);n為軸的轉(zhuǎn)速,單位為轉(zhuǎn)/分(r/min)。

如果功率P的單位用馬力(1馬力=735.5N?m/s),則外加扭力矩、扭矩與扭矩圖外加扭力矩Me確定后,應(yīng)用截面法可以確定橫截面上的內(nèi)力——扭矩,圓軸兩端受外加扭力矩Me作用時(shí),橫截面上將產(chǎn)生分布剪應(yīng)力,這些剪應(yīng)力將組成對(duì)橫截面中心的合力矩,稱為扭矩(twistmoment),用Mx表示。

nMeMeMxMeMx+nMxMeMx-外加扭力矩、扭矩與扭矩圖如果只在軸的兩個(gè)端截面作用有外力偶矩,則沿軸線方向所有橫截面上的扭矩都是相同的,都等于作用在軸上的外力偶矩。扭矩沿桿軸線方向變化的圖形,稱為扭矩圖(diagramoftorsionmoment)。繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似。當(dāng)在軸的長(zhǎng)度方向上有兩個(gè)以上的外力偶矩作用時(shí),軸各段橫截面上的扭矩將是不相等的,這時(shí)需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。外加扭力矩、扭矩與扭矩圖例題1圓軸受有四個(gè)繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外加力偶,各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中,其中力偶矩的單位為N.m,尺寸單位為mm。試:畫(huà)出圓軸的扭矩圖。

例題1解:1.確定控制面

外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。

2.應(yīng)用截面法,由平衡方程確定各段圓軸內(nèi)的扭矩

。

例題1

3.建立Mx-x坐標(biāo)系,畫(huà)出扭矩圖建立Mx-x坐標(biāo)系,其中x軸平行于圓軸的軸線,Mx軸垂直于圓軸的軸線。將所求得的各段的扭矩值,標(biāo)在Mx-x坐標(biāo)系中,得到相應(yīng)的點(diǎn),過(guò)這些點(diǎn)作x軸的平行線,即得到所需要的扭矩圖。

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖對(duì)應(yīng)拉壓?jiǎn)栴}與軸力圖對(duì)應(yīng)的軸力圖與扭矩圖第4章圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結(jié)論與討論剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律

剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律考察承受剪應(yīng)力作用的微元體,假設(shè)作用在微元左、右面上的剪應(yīng)力為,這兩個(gè)面上的剪應(yīng)力與其作用面積的乘積,形成一對(duì)力,二者組成一力偶。為了平衡這一力偶,微元的上、下面上必然存在剪應(yīng)力ˊ,二者與其作用面積相乘后形成一對(duì)力,組成另一力偶。為保持微元的平衡,這兩個(gè)力偶的力偶矩必須大小相等,方向相反。剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律xyzdxdydz微元能不能平衡?哪些力互相平衡?怎樣才能平衡?根據(jù)力偶平衡理論剪應(yīng)力成對(duì)定理

在兩個(gè)互相垂直的平面上,剪應(yīng)力必然成對(duì)存在,且數(shù)值相等,兩者都垂直于兩個(gè)平面的交線,方向則共同指向或共同背離這一交線,這就是剪應(yīng)力成對(duì)定理(pairingprincipleofshearstresses)。剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律O剪切胡克定律當(dāng)在彈性范圍內(nèi)加載時(shí),剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比:這種線性關(guān)系稱為剪切胡克定律。比例常數(shù)G稱為材料的切變模量。第4章圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結(jié)論與討論剪應(yīng)力互等定理剪切胡克定律

應(yīng)用平衡方法可以確定圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力分量——扭矩,但是不能確定橫截面上各點(diǎn)剪應(yīng)力的大小。為了確定橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力,在確定了扭矩后,還必須知道橫截面上的剪應(yīng)力是怎樣分布的。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)應(yīng)力分布應(yīng)力公式變形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程確定橫截面上剪應(yīng)力的方法與過(guò)程圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式假定:圓軸受扭發(fā)生變形后,其橫截面依然保持平面,兩相鄰橫截面剛性地相互轉(zhuǎn)過(guò)一角度。這一假定稱為平面假定。平面假定平面假定圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式變形協(xié)調(diào)方程若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓筒,根據(jù)上述結(jié)論,在dx長(zhǎng)度上,雖然所有圓柱的兩端面均轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度d,但半徑不等的圓柱上產(chǎn)生的剪應(yīng)變各不相同,半徑越小者剪應(yīng)變?cè)叫?。變形協(xié)調(diào)方程設(shè)到軸線任意遠(yuǎn)處的剪應(yīng)變?yōu)椋ǎ瑒t從圖中可得到如下幾何關(guān)系:

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式物性關(guān)系——剪切胡克定律O剪切胡克定律當(dāng)在彈性范圍內(nèi)加載時(shí),剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比:這種線性關(guān)系稱為剪切胡克定律。比例常數(shù)G稱為材料的切變模量。物性關(guān)系——剪切胡克定律圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式靜力學(xué)方程靜力學(xué)方程式中

GIP—扭轉(zhuǎn)剛度;

IP—橫截面的極慣性矩。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分析與強(qiáng)度設(shè)計(jì)

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式最大剪應(yīng)力Wp——

扭轉(zhuǎn)截面模量。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式空心圓截面極慣性矩與抗扭截面系數(shù)實(shí)心圓截面設(shè)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力小結(jié)

公式的適用范圍:

扭轉(zhuǎn)變形基本公式:

扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式:

最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力:物理與靜力學(xué)三方面

研究方法:從實(shí)驗(yàn)、假設(shè)入手,綜合考慮幾何、圓截面軸;圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

與抗壓桿的強(qiáng)度設(shè)計(jì)相似,為了保證圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)安全可靠地工作,必須將圓軸橫截面上的最大剪應(yīng)力max限制在一定的數(shù)值以下,即:

這一關(guān)系式稱為受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則,或稱圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件。

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式

[

]為許用剪應(yīng)力;

max是指圓軸所有橫截面上最大剪應(yīng)力中的最大者,對(duì)于等截面圓軸,最大剪應(yīng)力發(fā)生在扭矩最大的橫截面上的邊緣各點(diǎn);對(duì)于變截面圓軸,如階梯軸,最大剪應(yīng)力不一定發(fā)生在扭矩最大的截面,這時(shí)需要根據(jù)扭矩Mx和相應(yīng)扭轉(zhuǎn)截面模量WP的數(shù)值綜合考慮才能確定。

受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

例題1已知:P=7.5kW,n=100r/min,最大切應(yīng)力不得超過(guò)40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比=0.5。二軸長(zhǎng)度相同。求:

實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2;確定二軸的重量之比。例題1解:首先根據(jù)軸所傳遞的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩實(shí)心軸空心軸d2=0.5D2=23mm例題1解:確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比空心軸D2=46mmd2=23mm實(shí)心軸d1=45mm在長(zhǎng)度相同的情形下,二軸的重量之比即為橫截面面積之比:例題2在圖示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中,功率從B輪輸入,再通過(guò)錐齒輪將一半傳遞給鉛垂軸C,另一半傳遞給水平軸H。若已知輸入功率P1=14kW,水平軸E和H的轉(zhuǎn)速n1=n2=120r/min,錐齒輪A和D的齒數(shù)分別為z1=36,z2=12,圖中d1=70,d2=50,d3=35.求各軸橫截面上的最大切應(yīng)力.分析:此機(jī)構(gòu)是典型的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),各傳動(dòng)軸均為扭轉(zhuǎn)變形。欲求各傳動(dòng)軸橫截面上的切應(yīng)力,必須求得各軸所受的扭矩,即各軸所受到的外力偶矩。由題意可知,E、H、C軸所傳遞的功率分別為:P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kW.E、H軸轉(zhuǎn)速為120r/min,由傳動(dòng)比可計(jì)算出C軸的轉(zhuǎn)速為:n3=(z1/z2)n1=3n1=360r/min再通過(guò)公式:可以求得各軸所受到的外力矩M1M2M3例題2解:1、求各軸橫截面上的扭矩:E軸:H軸:C軸:2、求各軸橫截面上的最大切應(yīng)力:E軸:H軸:E軸:例題3由兩種不同材料組成的圓軸,里層和外層材料的切變模量分別

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