高中數(shù)學蘇教版第一章三角函數(shù)任意角弧度 2023版第1章2

1.1.2弧度制1.了解弧度制.2.會進行弧度與角度的互化.重點、難點3.掌握弧度制下扇形的弧長公式和面積公式.難點、易錯點[基礎·初探]教材整理1弧度制的概念閱讀教材P7的有關內容，完成下列問題.1.角度制：規(guī)定周角的eq\f(1,360)為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.2.弧度制：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1_rad，用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)大圓中1弧度角比小圓中1弧度角大.()(2)圓心角為1弧度的扇形的弧長都相等.()(3)長度等于半徑的弦所對的圓心角是1弧度.()【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2角度制與弧度制的換算閱讀教材P8的全部內容，完成下列問題.1.角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°2.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應關系角度0°1°30°45°60°90°弧度0eq\f(π,180)eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)角度120°135°150°180°270°360°弧度eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π3.任意角的弧度數(shù)與實數(shù)的對應關系正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(1)eq\f(3π,5)＝________；(2)－eq\f(π,6)＝________；(3)－120°＝________rad；(4)210°＝________rad.【解析】(1)eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°；(2)－eq\f(π,6)＝－eq\f(1,6)×180°＝－30°；(3)－120°＝－120×eq\f(π,180)＝－eq\f(2,3)π；(4)210°＝210×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,6).【答案】(1)108°(2)－30°(3)－eq\f(2π,3)(4)eq\f(7π,6)教材整理3扇形的弧長公式及面積公式閱讀教材P9的全部內容，完成下列問題.1.弧度制下的弧長公式：如圖1-1-7，l是圓心角α所對的弧長，r是半徑，則圓心角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝eq\f(l,r)，弧長l＝|α|r.特別地，當r＝1時，弧長l＝|α|.圖1-1-72.扇形面積公式：在弧度制中，若|α|≤2π，則半徑為r，圓心角為α的扇形的面積為S＝eq\f(|α|,2π)·πr2＝eq\f(1,2)lr.若扇形的圓心角為eq\f(π,6)，半徑r＝1，則該扇形的弧長為________，面積為________.【解析】∵α＝eq\f(π,6)，r＝1，∴弧長l＝α·r＝eq\f(π,6)×1＝eq\f(π,6)，面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(π,6)×1＝eq\f(π,12).【答案】eq\f(π,6)eq\f(π,12)[小組合作型]角度制與弧度制的互化把下列弧度化成角度或角度化成弧度；(1)－450°；(2)eq\f(π,10)；(3)－eq\f(4π,3)；(4)112°30′.【精彩點撥】利用“180°＝π”實現(xiàn)角度與弧度的互化.【自主解答】(1)－450°＝－450×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,2)rad；(2)eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\f(180°,π)＝18°；(3)－eq\f(4π,3)rad＝－eq\f(4π,3)×eq\f(180°,π)＝－240°；(4)112°30′＝°＝×eq\f(π,180)rad＝eq\f(5π,8)rad.[再練一題]1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－eq\f(2π,9).【解】(1)72°＝72×eq\f(π,180)rad＝eq\f(2π,5)rad；(2)－300°＝－300×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,3)rad；(3)2rad＝2×eq\f(180°,π)＝eq\f(360°,π)≈°；(4)－eq\f(2π,9)rad＝－eq\f(2π,9)×eq\f(180°,π)＝－40°.用弧度制表示角的集合用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合(不包括邊界，如圖1-1-8所示).【導學號：48582023】圖1-1-8【精彩點撥】先寫出邊界角的集合，再借助圖形寫區(qū)間角的集合.【自主解答】用弧度制先寫出邊界角，再按逆時針順序寫出區(qū)域角，表示角的集合，單位制要統(tǒng)一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπk∈Z”中，α必須是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°，k∈Z”中，α必須是用角度制表示的角.[再練一題]2.如圖1-1-9，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合(不包括邊界).①②圖1-1-9【解】(1)如題圖①，以OA為終邊的角為eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為－eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以陰影部分內的角的集合為(2)如題圖②，以OA為終邊的角為eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)；以OB為終邊的角為eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z).不妨設右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，所以陰影部分內的角的集合為[探究共研型]扇形的弧長及面積問題探究1公式l＝|α|r中，“α”可以為角度制角嗎？【提示】公式l＝|α|r中，“α”必須為弧度制角.探究2在扇形的弧長l，半徑r，圓心角α，面積S中，已知其中幾個量可求其余量？舉例說明.【提示】已知任意兩個量可求其余兩個量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，進而求S＝eq\f(1,2)lr；又如已知S，α，可利用S＝eq\f(1,2)|α|r2，求r，進而求l＝|α|r.一個扇形的周長為20，則扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形面積最大？【自主解答】設扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l，則l＝αr，依題意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝eq\f(20－2r,r).由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)·eq\f(20－2r,r)·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10).∴當r＝5時，扇形面積最大為S＝25.此時l＝10，α＝2，故當扇形半徑r＝5，圓心角為2rad時，扇形面積最大.靈活運用扇形弧長公式、面積公式列方程組求解是解決此類問題的關鍵，有時運用函數(shù)思想、轉化思想解決扇形中的有關最值問題，將扇形面積表示為半徑的函數(shù)，轉化為r的二次函數(shù)的最值問題.[再練一題]3.已知扇形OAB的圓心角為120°，半徑為6，求扇形的弧長和面積.【解】∵α＝120×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,3).又r＝6，∴弧長l＝αr＝eq\f(2π,3)×6＝4π.面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π.1.將下列各角的弧度(角度)化為角度(弧度)：(1)eq\f(2π,15)＝________；(2)－eq\f(6π,5)＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________.【解析】(1)eq\f(2π,15)＝eq\f(2,15)×180°＝24°.(2)－eq\f(6π,5)＝－eq\f(6,5)×180°＝－216°.(3)920°＝920×eq\f(π,180)＝eq\f(46,9)πrad.(4)－72°＝－72×eq\f(π,180)＝－eq\f(2π,5)rad.【答案】(1)24°(2)－216°(3)eq\f(46,9)πrad(4)－eq\f(2π,5)rad2.半徑長為2的圓中，扇形的圓心角為2弧度，則扇形的面積為________.【解析】S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r2·α＝eq\f(1,2)×4×2＝4.【答案】43.圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而所對的弧長不變，則該弧所對圓心角是原來圓弧所對圓心角的________倍.【解析】設圓最初半徑為r1，圓心角為α1，弧長為l，圓變化后的半徑為r2，圓心角為α2，則α1＝eq\f(l,r1)，α2＝eq\f(l,r2).又r2＝3r1，∴eq\f(α2,α1)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(r1,3r1)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)4.用弧度制表示終邊落在x軸上方的角的集合為______.【解析】若角α的終邊落在x軸的上方，則2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z.【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z))))5.設α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(π,3).(1)將α1，α2用弧度制表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限；(2)將β1，β2用角度制表示出來，并在[－720°，0°)范圍內找出與它們終邊相同的所有角.【導學號：48582023】【解】(1)∵180°＝πrad，∴α1＝－570°＝－570×eq\f(π,180)＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6)，α2＝750°＝750×eq\f(π,180)＝eq\f(25π,6)＝2×2π＋eq\f(π,6).∴α1的終邊在第二象限，α2的終邊在第一象限.(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3π,5)×eq\f(