高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念函數(shù)及其表示 公開課

4．函數(shù)的概念唐雪梅學(xué)習(xí)目標(biāo)1．體會函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，理解函數(shù)的概念．2．了解構(gòu)成函數(shù)的要素有定義域、對應(yīng)法則、值域，會求一些簡單的定義域和值域．3．能用區(qū)間正確表示一個數(shù)集（包括運算）．一、夯實基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1．函數(shù)的概念設(shè)、是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合到時集合的一個函數(shù)．記作：，．其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．2．區(qū)間的概念及表示（1）區(qū)間定義及表示設(shè)，是兩個實數(shù)，而且．定義名稱符合數(shù)軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間（2）無窮概念及無窮區(qū)間表示定義符號3．題型分析（1）函數(shù)的概念；（2）函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)法則及值域．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．下列從集合到集合的對應(yīng)，不是函數(shù)的是__________．（1），，對應(yīng)關(guān)系；（2），，對應(yīng)關(guān)系；（3），，對應(yīng)關(guān)系由解出的；（4），，對應(yīng)關(guān)系．2．下列函數(shù)中哪個函數(shù)與函數(shù)是同一函數(shù)（）．A． B． C． D．3．下列所給圖象中，能作為函數(shù)圖象的只能是（）．4．函數(shù)，的值域是（）．A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則__________；__________．二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．初中，我們是這樣定義函數(shù)的：在某變化過程中，有兩個變量，，如果對于變量4的每一個允許取值，按照某種對應(yīng)方式，都有唯一的取值與之對應(yīng)，則稱是的函數(shù)．請思考初中關(guān)于定義與高中關(guān)于函數(shù)的定義有什么區(qū)別和聯(lián)系？2．（1）若，試找出一個集合，使得是從到的函數(shù)，這個的集合是唯一的嗎？（2）已知一個函數(shù)的解析式為，它的值域為，這樣的函數(shù)有多少個？試寫出其中兩個函數(shù)．3．（1）符號，表示某一函數(shù)？則該函數(shù)可否用，表示？（2）函數(shù)有哪些要素？如何判斷兩個函數(shù)是否為相同的函數(shù)？4．函數(shù)的自變量的取值范圍為，關(guān)于其定義域的寫法，下列哪些是規(guī)范的？①定義域為； ②定義域為； ③定義域為④定義域為； ⑤定義域為；5．（1）說出你對“區(qū)間”理解．（2）“區(qū)間一定是非空數(shù)集”這句話對嗎？（3）集合能寫成區(qū)間形式嗎？案例分析1．給出下列從集合到集合的對應(yīng)：（1），，，，；（2），，，；（3），；（4），；（5），，為奇數(shù)時，；為偶數(shù)時，．則從集合到集合的對應(yīng)是函數(shù)的有__________（寫上相應(yīng)的序號即可）．【解析】（1）（2）（3）（4）是函數(shù)，（3）不是函數(shù)．2．已知函數(shù)與分別由下表給出，那么__________．__________．__________．__________．1234234112342143【解析】；2；3；4．3．求函數(shù)的定義域．【解析】要使函數(shù)解析有意義，當(dāng)且僅當(dāng)，所以函數(shù)定義域為：．4．畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象解決下列問題：（1）求函數(shù)，的值域；（2）求函數(shù)，的值域．（3）若函數(shù)的定義域為，值域為，求的取值范圍．【解析】（1）畫出二次函數(shù)在上的圖象，時，；時，，容易看出函數(shù)的值域為．（2）畫出二次函數(shù)在上的圖象，時，；時，，容易看出函數(shù)的值域為．（3）畫出二次函數(shù)圖象，其頂點坐標(biāo)為，時，或3，容易看出當(dāng)且僅當(dāng)，，，值域為，故的取值范圍是．三、能力提升能力闖關(guān)1．已知函數(shù)，，那么集合中所含元素的個數(shù)是（）．A．0個 B．1個 C．0或1個 D．0或1或無數(shù)個2．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”．那么，函數(shù)解析式為，值域為的同族函數(shù)有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．求下列函數(shù)的值域:（1），；（2），；（3），；拓展遷移1．已知函數(shù)的定義域為，試研究的值域中有多少個整數(shù)，為什么？2．對于定義域為函數(shù)，若存在實數(shù)，使得，則稱是函數(shù)的一個不動點．若二次函數(shù)存在不動點，求實數(shù)的取值范圍．挑戰(zhàn)極限1．（1）（2023陜西）定義在上的函數(shù)，對任意的實數(shù)，滿足，，求的值．（2）設(shè)是定義在上的函數(shù)，且滿足，，求的值．課程小結(jié)1．客觀世界充滿著函數(shù)問題，無論是物體運動，還是經(jīng)濟(jì)生活，無論是生命科學(xué)，還是航天科學(xué)都有大量的函數(shù)問題等待我們?nèi)パ芯?，學(xué)好函數(shù)知識對于學(xué)好高中數(shù)學(xué)極為重要，而正確理解函數(shù)概念和符號是學(xué)好函數(shù)知識的基礎(chǔ)，應(yīng)高度重視這一點．2．判斷兩個函數(shù)是否相同，主要是看函數(shù)的三要素：定義域，對應(yīng)法則，值域．3．根據(jù)解析式，確定函數(shù)的定義域，可根據(jù)下列提示處理：（1）如果是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合．（2）如果是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子女大于或等于零的實數(shù)的集合．（3）如果是由幾個部分的數(shù)學(xué)式構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合（即求各集合的交集）．求函數(shù)的定義域就是根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的條件，列出自變量應(yīng)滿足的不等式或不等式組，解不等式或不等式組就得到所求函數(shù)的定義域．4．已學(xué)過的函數(shù)的定義域和值域：（1）一次函數(shù)，定義域：；值域：；（2）反比例函，定義域：，值域：；（3）二次函數(shù)，定義域：；值域：當(dāng)時，為；當(dāng)時，為．5．研究函數(shù)值域，最基本的方法是通過函數(shù)圖象來觀察函數(shù)值變化范圍．想一想任何兩個集合之間都可能建立函數(shù)關(guān)系嗎？

4．函數(shù)的概念基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．（1）（2）（3）．2．．3．．4．．5．；自主探究【解析】區(qū)別：初中函數(shù)的定義強調(diào)函數(shù)是變量與變量之間的對應(yīng)關(guān)系，而高中函數(shù)的定義則強調(diào)函數(shù)是數(shù)集與數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系．初中的函數(shù)概念側(cè)重函數(shù)解析式研究（即變量與變量之間的確定關(guān)系），而高中的函數(shù)概念側(cè)重研究兩個數(shù)集元素之間的對應(yīng)關(guān)系．函數(shù)可以沒有解析式．高中研究函數(shù)時，不僅關(guān)注函數(shù)對應(yīng)法則（函數(shù)解析式本質(zhì)上是函數(shù)對應(yīng)法則一種表現(xiàn)形式）．還關(guān)注函數(shù)定義域，如函數(shù)．2．【解析】（1）（答案不唯一，的非空子集都符合題意）．（2）無數(shù)個，例如：；．3．【解析】（1）可以，表示某一函數(shù)，變量是一種符號，沒有固定的限制，我們只是通常用來表示變量．（2）函數(shù)有三個要素：定義域、對應(yīng)法則、值域．函數(shù)的值域是由函數(shù)定義域及對應(yīng)法則決定的，因此兩個函數(shù)是同一函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)法則相同，定義域也相同．當(dāng)然如果值域不相同，則兩個函數(shù)一定不是同一函數(shù)．4．【解析】④⑤正確，定義域是自變量取值的集合．5．【解析】（1）區(qū)間是一種特殊的數(shù)集，根據(jù)端點是否被包含，區(qū)間可以分成四類，設(shè)是兩個實數(shù)，且，我們規(guī)定：①開區(qū)間：；②閉區(qū)間：；③半開半閉區(qū)間：；④含有無窮大的區(qū)間：；；；．實數(shù)集也可以用區(qū)間表示為，“”讀作“無窮大”，“”讀作“負(fù)無窮大”，“”讀作“正無窮大”．從上述規(guī)定可以看出：區(qū)間是一種特殊的數(shù)集，這種特殊性表現(xiàn)在：（1）數(shù)集中的數(shù)是連續(xù)變化的，不會發(fā)生中斷情形；（2）數(shù)集中的數(shù)一定有無窮個，不會只有一個或有限個元素，不會是空集．區(qū)間在寫法上是按數(shù)軸的方向書寫，左小右大，無窮大可理解為一個無限的過程，不是一個具體的實數(shù)，所以無窮大這一側(cè)一律寫成開區(qū)間．（2）根據(jù)區(qū)間的定義，“區(qū)間一定是非空數(shù)集”這句話是錯的．（3）不一定能寫成區(qū)間形式，只有當(dāng)時，才有．例如是空集，它不能寫成區(qū)間的形式．能力闖關(guān)1．．【解析】垂直于軸的直線與函數(shù)的圖象最多只有一個交點．2．．【解析】由．得．由，得，所以函數(shù)的定義域可以是，，，故值域為的同族函數(shù)共有個．3．【解析】（1）函數(shù)圖象如圖（1），，所以所求函數(shù)值域為．（2）函數(shù)圖象如右圖（2），，所以所求函數(shù)值域為．（3）∵，∴所求函數(shù)值域為．拓展遷移