計算方法-95線性多步法

2023/2/519.5線性多步法單步法計算時只用到前一步的結果，因此只要給定初值，計算就可以進行下去。但是Euler等單步法的精度都較低，龍格-庫塔方法雖然可以得到較高的精度，但這類算法為了提高精度，需要增加一些非節(jié)點處的函數(shù)值的計算，在每一步都需要先預報這些非節(jié)點上的斜率值，計算量比較大?？紤]到計算yi+1之前已得出一系列節(jié)點上的斜率值，能否利用這些已知值來減少計算量呢？這就是線性多步法的設計思想，可以在計算量增加不多的情況下獲得較高的精度。用已知的若干節(jié)點處的y

及y‘值的線性組合來近似y(xn+1)。線性多步法通式可寫為：2023/2/52當

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時，為隱式公式；1=0則為顯式公式。

基于數(shù)值積分的構造法將在上積分，得到只要近似地算出右邊的積分，則可通過近似y(xn+1)。而選用不同近似式Ir，可得到不同的計算公式。2023/2/53構造線性多步法的主要方法：數(shù)值積分法和泰勒展開法。2023/2/54

對積分式分別采用矩形公式和梯形公式可得到歐拉公式和改進歐拉公式，截斷誤差分別為O(h2)和O(h3)。為此，我們自然可以想到，若用更高次的插值多項式來代替f(x,y)，則所得公式的精度會更高。這就是基于數(shù)值積分方法構造線性多步法的起源思想。2023/2/55若積分用節(jié)點作為積分點，則有積分系數(shù)這是顯式格式，q+1階r+1步格式。局部截斷誤差2023/2/56例：建立r=1，q=2的顯式格式r=1，積分區(qū)間為q=2，顯式格式，積分節(jié)點為所以2023/2/57同樣，若以為積分節(jié)點，可以構造r+1步q+1階隱格式2023/2/58例：建立r=2，q=2的隱格式r=2，積分區(qū)間為q=2，隱式格式，積分節(jié)點為所以2023/2/59它的截斷誤差較顯式格式小，通常也具有更好的穩(wěn)定性。2023/2/510

Adams方法是線性多步法的一個代表，它是利用插值多項式進行積分得出來的，這樣構造線性多步法的方法稱為數(shù)值求積法，它是構造線性多步法的一種途徑，另外還有Taylor法。(1)顯式Adams方法2023/2/511r=0，積分區(qū)間為q=1，顯式格式，積分節(jié)點為從簡單情況入手

Adams公式－－r=0

時候的多步法2023/2/512所以二階顯式Adams方法2023/2/513類似方法可通過增加節(jié)點得到更高精度的三階顯式Adams公式r=0，積分區(qū)間為q=2，顯式格式，積分節(jié)點為所以2023/2/514三階顯式Adams方法2023/2/515同理再增加節(jié)點得到四階顯式Adams公式r=0，積分區(qū)間為q=3，顯式格式，積分節(jié)點為所以2023/2/516四階顯式Adams方法2023/2/517其對應的局部截斷誤差為注：一般有，其中Bq與yn+1計算公式中fn,…,fnq

各項的系數(shù)均可查表得到。10123qfnfn1fn2fn3…Bq…………………常用的是q=3

的4階阿當姆斯顯式公式(2)隱式Adams方法2023/2/519隱式格式表明構造定積分的近似公式中包含了節(jié)點xn+1。類似顯式公式的推導過程，可得到不同精度的隱式Adams公式r=0，積分區(qū)間為q=1，顯式格式，積分節(jié)點為二階隱式Adams方法2023/2/520r=0，積分區(qū)間為q=2，顯式格式，積分節(jié)點為三階隱式Adams方法r=0，積分區(qū)間為q=2，顯式格式，積分節(jié)點為四階隱式Adams方法利用q+1

個節(jié)點上的被積函數(shù)值fn+1

,fn,…,fnq+1

構造q

階牛頓前插多項式。與顯式多項式完全類似地可得到一系列隱式公式，并有，其中與fn+1

,fn,…,fnq+1

的系數(shù)亦可查表得到。10123qfn+1fnfn1fn2…Bq…………………~常用的是q=3

的4階阿當姆斯隱式公式較同階顯式穩(wěn)定2023/2/522

基于Taylor展開的構造法（待定系數(shù)法）將上式中的右端各項yn1,…,ynr;fn+1,fn1,…,fnr

分別在

xn點作泰勒展開，與精確解y(xn+1)在

xn點的泰勒展開作比較。通過令同類項系數(shù)相等，得到足以確定待定系數(shù)a0,…,ar;

1,0,…,r

的等式，則可構造出各階線性多步法的公式。2023/2/523例：推導最高階的二步線性多步法二步顯式多步法為左端展開后相同項系數(shù)相等，得到2023/2/524解得因此得階數(shù)最高的二步顯式線性多步法為其局部截斷誤差為是三階方法對應的二步隱式線性多步法為二步隱式多步法為五個可選參數(shù)是四階方法2023/2/5252023/2/526由泰勒展開推導Adams公式

確定式中待定系數(shù)，使公式具有四階精度。由泰勒展開得2023/2/527這里有7個未知量，5個方程，若令求解該方程即得四步四階顯式Adams公式：2023/2/528Adams預估校正公式由于隱式Adams公式需要用迭代法進行求解，比較麻煩，仿照歐拉預估校正公式，常把阿當姆斯顯式及隱式聯(lián)立使用，即構造所謂阿當姆斯預估校正公式。以四階阿當姆斯為例，將顯式和隱式相結合，用顯式公式做預報，再用隱式公式做校正，可構成阿當姆斯預報-校正格式。2023/2/529預報：校正：

這種預報-校正格式是四步法，它在計算yn+1時不但用到前一步的信息yn,y′n

，而且要用到再前面三步的信息yn-1,y′n-2

,y′n-3，因此它不能自行啟動。在實際計算時，可借助于某種單步法，譬如四階龍格—庫塔法提供開始值y1,y2,y3。與同階的龍格庫塔方法相比較，阿達姆斯方法計算量小，公式簡單，程序易于實現(xiàn)。2023/2/5312023/2/532解常微分方程初值問題小結

本章介紹了常微分方程初值問題的基本數(shù)值解法。包括單步法和多步法。單步法主要有歐拉法、改進歐拉法和龍格—庫塔方法。多步法是阿當姆斯法。它們都是基于把一個連續(xù)的定解問題離散化為一個差分方程來求解，是一種步進式的方法。用多步法求常微分方程的數(shù)值解可獲得較高的精度。實際應用時，選擇合適的算法有一定的難度，既要考慮算法的簡易性和計算量，又要考慮截斷誤差和收斂性、穩(wěn)定性。2023/2/533

龍格-庫塔法較為常用，適用于多步方法中作初值計算和函數(shù)f(x,y)較為簡單的場合。四階標準龍格—庫塔法精度高，程序簡單，易于改變步長，比較穩(wěn)定，也是一個常用的方法，但計算量較大。當函數(shù)f(x,y)較為復雜，可用顯式阿當姆斯方法或阿當姆斯預測