概率論和數(shù)理分析第七章

第七章假設(shè)檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)推斷的另一類重要問(wèn)題是假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.

在總體的分布函數(shù)類型已知，但參數(shù)未知或分布函數(shù)完全未知的情況下，為了推斷總體的某些未知特性，需要提出某些關(guān)于總體的假設(shè)。例如，提出總體服從二項(xiàng)分布的假設(shè)，或者，對(duì)于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)期望等于的假設(shè)等，然后根據(jù)樣本所提供的信息去檢驗(yàn)所作的假設(shè)是否合理.經(jīng)檢驗(yàn)后，若假設(shè)合理，就接受這個(gè)假設(shè)，否則就拒絕這個(gè)假設(shè).這種首先提出假設(shè)，然后由樣本信息來(lái)決策是否接受假設(shè)的過(guò)程稱為假設(shè)檢驗(yàn).本章主要內(nèi)容

第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)概述第二節(jié)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)第三節(jié)兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)相等的假設(shè)檢驗(yàn)重點(diǎn)介紹第一節(jié)和第二節(jié)一、三種典型問(wèn)題:已知總體的樣本資料,要求推斷①該總體的均值是否等于某值?②兩總體的方差是否相等?③該總體的分布是否為某種分布?0.4970.5060.5180.5240.4480,5110.5100.5150.512問(wèn)這天包裝機(jī)的工作是否正常?問(wèn)題1

某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖,額定標(biāo)準(zhǔn)為每袋凈重0.5公斤.設(shè)包裝機(jī)稱得的糖重服從正態(tài)分布,并知起標(biāo)準(zhǔn)差=0.015(公斤).某天開(kāi)工后,為檢驗(yàn)包裝機(jī)的工作是否正常,速記抽取它包裝的糖9袋,稱得凈重為:

第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)概述總體的均值是否等于額定值0.5？問(wèn)題2在甲乙兩臺(tái)機(jī)床上加工同一種零件的外圓(公差要求相同),現(xiàn)從它們加工的產(chǎn)品中各抽取8件,測(cè)得其外徑如下:甲:10.28,10.34,10.45,10.29,10.247,10.30乙:10.30,10.34,10.36,10.24,10.38,10.48,問(wèn)它們的加工質(zhì)量有無(wú)差別?設(shè)X、Y分別表示甲乙機(jī)床加工零件的外徑，問(wèn)題為檢驗(yàn)假設(shè)H0:“E(X)=E(Y)”嗎?即兩總體期望相等嗎？問(wèn)題3

如測(cè)得總體X的一組樣本值(x1,x2,…xn),

問(wèn)X是否服從N(,2)?即檢驗(yàn)假設(shè)H0:“X~N(,2)”是否成立假設(shè)檢驗(yàn):從樣本出發(fā),判斷一種假設(shè)“H0”是否成立的問(wèn)題稱為假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.問(wèn)題1、2是參數(shù)檢驗(yàn),問(wèn)題3是分布檢驗(yàn)

所以假設(shè)檢驗(yàn)按檢驗(yàn)對(duì)象分類可分為參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)（我們只講參數(shù)檢驗(yàn)）假設(shè)檢驗(yàn)就是對(duì)總體X作某種假設(shè)，然后依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，判定假設(shè)“H0”是否成立的推斷方法。假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法：類似于反證法，但是帶有概率性質(zhì)，具體說(shuō)就是為了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)是否成立，先假定這個(gè)假設(shè)成立，在此前提之下進(jìn)行推導(dǎo)，看會(huì)得到什么結(jié)果，如果導(dǎo)致了一個(gè)不合理現(xiàn)象的出現(xiàn)，則表明假定該假設(shè)成立不正確，即原假設(shè)不能成立，此時(shí)，拒絕這個(gè)假設(shè)；如果沒(méi)有導(dǎo)致不合理現(xiàn)象的出現(xiàn)，則接受這個(gè)假設(shè)，其中“不合理想象”的標(biāo)準(zhǔn)是：小概率原理

可以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中小概率事件不會(huì)發(fā)生.在假設(shè)成立的前提下，如果小概率事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，則實(shí)屬反常，有理由懷疑假設(shè)不成立.引例1

某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖，額定標(biāo)準(zhǔn)為每袋凈重0.5公斤。設(shè)實(shí)際袋重服從正態(tài)分布，且=0.015。某天開(kāi)工后，隨機(jī)抽取9袋，稱得凈重為

0.497,0.560,0.518,0.524,0.489,0.511,0.510,0.515,0.512.

問(wèn)包裝機(jī)的工作是否正常?

二、問(wèn)題的引出思考：怎樣算是“包裝機(jī)的工作正?！?？總體的均值是否等于0.5？平均袋重應(yīng)當(dāng)穩(wěn)定在額定標(biāo)準(zhǔn)！當(dāng)H0為真時(shí)如果過(guò)分大,則有理由懷疑H0的正確性，從而拒絕H0分析記包裝機(jī)所包裝的糖的重量為X,則假設(shè)H0：=0=0.5

，代入樣本值，計(jì)算可得小概率事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此，我們有理由認(rèn)為，假設(shè)H0不真，而拒絕之。有理由認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常。{|U|≥1.96}是一個(gè)概率很小的事件！比如取=0.05，就有當(dāng)H0為真時(shí)從而拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為包裝機(jī)的工作不正常。臨界值點(diǎn)解:假設(shè)H0：=0=0.5，記H1：≠0=0.5，由于X～N(0，2),故檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)于給定的=0.05，檢驗(yàn)水平有P{|U|>z/2=1.96}=0.05拒絕域?qū)嶋H計(jì)算得原假設(shè)備擇假設(shè)當(dāng)H0為真時(shí)，說(shuō)明接受域和拒絕域/2/2接受域拒絕域拒絕域原假設(shè):是接受檢驗(yàn)的假設(shè),記作H0備擇假設(shè):當(dāng)原假設(shè)被否定時(shí)生效的另一種假設(shè),記作H1.也叫對(duì)立假設(shè)注意:原假設(shè)和備擇假設(shè)是相互對(duì)立的.原假設(shè)和備擇假設(shè)統(tǒng)稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè).例如,關(guān)于總體平均值的假設(shè)有三種:①H0:=0

H1:≠0

②H0:=0

H1:<0

③H0:=0

H1:>0

第一種類型的假設(shè)檢驗(yàn)稱為雙邊檢驗(yàn),第二種為左邊檢驗(yàn)、第三種為右邊檢驗(yàn).假設(shè)檢驗(yàn)按拒絕域分類可分為雙邊檢驗(yàn)、左邊檢驗(yàn)和右邊檢驗(yàn)三、假設(shè)檢驗(yàn)方法分析:1、假設(shè)檢驗(yàn)的一般方法:“棄真”錯(cuò)誤概率：兩種易犯的錯(cuò)誤P{拒絕H0|H0為真}=P{U落入拒絕域|H0為真}=

?！凹{偽”錯(cuò)誤概率：P{接受H0|H0為假}=P{U沒(méi)落入拒絕域|H0為假}大小沒(méi)法確定??！事實(shí):n一定時(shí),其一減小必導(dǎo)致另一個(gè)的增大;n充分大時(shí),

二者可同時(shí)減小.顯著性檢驗(yàn):只控制“棄真”錯(cuò)誤概率,而不考慮“納偽”錯(cuò)誤概率的檢驗(yàn).顯著性檢驗(yàn)水平:顯著性檢驗(yàn)中“棄真”錯(cuò)誤概率的控制水平.四、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟:⑴提出假設(shè)：提出原假設(shè)H0.及備擇假設(shè)H1⑵選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量必須包含待檢驗(yàn)的參數(shù)，且在原假設(shè)成立的條件下知其分布.⑶確定拒絕域：根據(jù)顯著性水平,即所允許犯第一類錯(cuò)誤的概率,求出拒絕域或臨界點(diǎn),并注意是單邊檢驗(yàn)還是雙邊檢驗(yàn).⑷做出判決：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值,將實(shí)測(cè)值與拒絕域?qū)φ?若實(shí)測(cè)值落入拒絕域,則否定原假設(shè),否則接受原假設(shè).一、均值μ的假設(shè)檢驗(yàn)二、方差σ2的假設(shè)檢驗(yàn)2.方差σ2未知的情況1.方差σ2已知的情況第二節(jié)單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)1、單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)例2一種燃料的辛烷等級(jí)服從正態(tài)分布，其平均等級(jí),標(biāo)準(zhǔn)差,現(xiàn)抽取25桶新油，算得平均等級(jí)為97.7，假定標(biāo)準(zhǔn)差與原來(lái)一樣，問(wèn)新油的辛烷平均等級(jí)是否比原燃料的辛烷平均等級(jí)偏低?解

按題意需在水平下檢驗(yàn)假設(shè)：因已知，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

拒絕域（參閱表7-1）為,即拒絕域?yàn)橛?jì)算統(tǒng)計(jì)值作出統(tǒng)計(jì)結(jié)論

故落在拒絕域，所以應(yīng)拒絕，接受H1即認(rèn)為新油的辛烷平均等級(jí)在給定水平下比原燃料的辛烷平均等級(jí)偏低例3

某工廠所產(chǎn)某種產(chǎn)品的壽命X～Ｎ(,2),在正常情況0=40,0=2.技術(shù)革新后隨機(jī)取產(chǎn)品25件,測(cè)得壽命均值為40.75.設(shè)革新后方差沒(méi)變,問(wèn)革新后產(chǎn)品質(zhì)量是否較以前有顯著提高(=0.05)？分析：故假設(shè)H0

:=0=40；H1:>0=40由于只考慮質(zhì)量是否提高,所以是單邊檢驗(yàn).因已知，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

拒絕域（參閱表7-1）為,即拒絕域?yàn)橛?jì)算統(tǒng)計(jì)值所以拒絕H0,而接受H1；也就是說(shuō),技術(shù)革新后,產(chǎn)品的壽命在水平=0.05下有了顯著提高。與正態(tài)總體期望的假設(shè)檢驗(yàn)類似，在水平

下，方差檢驗(yàn)也有以下三種類型：①

，②，③，

二、單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

不論總體的期望是否已知，當(dāng)為真時(shí)，均選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量雙邊檢驗(yàn)情形由于:

故方差的雙邊檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)橛疫厵z驗(yàn)和左邊檢驗(yàn)的拒絕域分別是如下圖7所示：檢驗(yàn)法.因檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從分布，故此類檢驗(yàn)法稱為解：厘米，現(xiàn)隨機(jī)抽取了5個(gè)部件，測(cè)得它們的例4某公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的直徑服從正態(tài)分布.公司稱它的標(biāo)準(zhǔn)差問(wèn)（1）我們能認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差確實(shí)為厘米嗎？（2）我們能否認(rèn)為？直徑為：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.取選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量因是雙邊檢驗(yàn)，故拒絕域?yàn)閷?duì)于本題:得拒絕域?yàn)橛?jì)算K的數(shù)值落入拒絕域了，故拒絕即認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差不是

厘米例4某公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的直徑服從正態(tài)分布.公司稱它的標(biāo)準(zhǔn)差厘米，現(xiàn)隨機(jī)抽取了5個(gè)部件，測(cè)得它們的問(wèn)（1）我們能認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差確實(shí)為厘米嗎？（2）我們能否認(rèn)為？直徑為：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.取選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量因是右邊檢驗(yàn)，故拒絕域?yàn)椴榉植急?故拒絕域?yàn)橛?jì)算K的數(shù)值落入拒絕域了，故拒絕即認(rèn)為發(fā)動(dòng)機(jī)部件直徑的方差超過(guò)一、均值差μ1-μ2的假設(shè)檢驗(yàn)二、總體方差比12∕22的檢驗(yàn)2.總體方差σ21,σ22未知的情況1.總體方差σ21,σ22已知的情況第三節(jié)兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)相等的假設(shè)檢驗(yàn)一、兩總體X與Y的均值差1-2的檢驗(yàn)（H0：1=2）兩總體X與Y的方差12、22已知時(shí)，用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量——U檢驗(yàn)法。兩總體X與Y的方差12、22未知，但12=22=

2，用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量——T檢驗(yàn)法。無(wú)論兩總體X與Y的均值1、2是否已知，均用

二、兩總體X與Y方差比12∕22的檢驗(yàn)

（H0：12∕

22=1）作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

——F—檢驗(yàn)法。以上這些統(tǒng)計(jì)量,你是否已經(jīng)記熟?練習(xí)

一臺(tái)車床生產(chǎn)某一型號(hào)的滾珠.已知滾珠的直徑服從正態(tài)分布,規(guī)定直徑的標(biāo)準(zhǔn)值為1(cm),均方差不能超過(guò)0.02(cm).現(xiàn)從這臺(tái)車床生產(chǎn)的滾珠中抽出9個(gè),測(cè)得其直徑為:0.994，1.014，1.02，0.95，1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，問(wèn)這臺(tái)車床工作是否正常？(取檢驗(yàn)水平=0.05)分析：（2）對(duì)期望的假設(shè)檢驗(yàn)，單邊還是雙邊?（3）對(duì)方差的檢驗(yàn)假設(shè)，單邊還是雙邊?（1）要判斷工作是否正常，需檢驗(yàn)什么？備擇假設(shè)H1應(yīng)取作什么？檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量用哪一個(gè)？備擇假設(shè)H1應(yīng)取作什么？檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量用哪一個(gè)？設(shè)滾珠的直徑為X，計(jì)算其樣本均值為x=0.998，

樣本均方差為s=0.026。設(shè)滾珠的直徑為X，計(jì)算其樣本均值為x=0.998，

樣本均方差為s=0.026。（1）先在水平=0.05下檢驗(yàn)假設(shè)

H0：=0=1H1：≠0=1。

取統(tǒng)計(jì)量則T～t（9-1）由P{|T|>t0.025}=0.05，查t分布表得:t0.025(8)=2.306，即拒絕域?yàn)?－,－2.306)∪(2.306，+)，=0.23<2.306故接受H0。解:而|T|的數(shù)值:（2）再在水平=0.05下檢驗(yàn)假設(shè)

H0：2≤02=0.022,H1：2>02

=0.022取統(tǒng)計(jì)量：則Y～2（8）由P{Y>20.05}=0.05,查2分布表得:20.05(8)=15.507,從而拒絕域?yàn)?15.507,+)而Y的數(shù)值y=(8?0.022)0.0262=9.69<15.507,故接受H0。綜合（1）和（2）可以認(rèn)為車床工作正常。1、單個(gè)正態(tài)總體均值的總體方差2已知時(shí)，總體方差2未知時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量—U檢驗(yàn)法—T檢驗(yàn)法①H0:=0

H1:≠0②H0:=0

H1:>0

③H0:=0

H1:<0

拒絕域①H0:=0

H1:≠0②H0:=0

H1:>0

③H0:=0

H1:<0

拒絕域本次課小結(jié)檢驗(yàn)樞軸量—2檢驗(yàn)法①H0:2=02

H