高中數(shù)學人教A版5證明不等式的基本方法三反證法與放縮法 課時提升作業(yè)八

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)八反證法與放縮法一、選擇題(每小題6分,共18分)1.(2023·泰安高二檢測)證明命題“a,b∈N,如果ab可被5整除,那么a,b至少有一個能被5整除”,則假設(shè)的內(nèi)容是(),b都能被5整除,b都不能被5整除不能被5整除,b有一個不能被5整除【解析】選B.“a,b至少有一個能被5整除”包括“a,b中有且只有一個能被5整除或a,b都能被5整除”,其反面為“a,b都不能被5整除”.【補償訓練】用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個鈍角”時,反設(shè)正確的是()A.三個內(nèi)角中至少有一個鈍角B.三個內(nèi)角中至少有兩個鈍角C.三個內(nèi)角都不是鈍角D.三個內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個鈍角【解析】選B.“至多有一個”即要么一個都沒有,要么有一個,故反設(shè)為“至少有兩個”.2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反證法求證a>0,b>0,c>0時的假設(shè)為()<0,b<0,c<0 ≤0,b>0,c>0,b,c不全是正數(shù) <0【解析】選>0,b>0,c>0的反面是a,b,c不全是正數(shù).3.已知a>0,b>0,設(shè)P=a1+a+b1+b,Q=>Q <Q=Q D.無法確定【解析】選A.因為a>0,b>0,所以P=a1+a+b1+b>a1+a+b+b【補償訓練】已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),公比q≠1,設(shè)P=a3+a>Q <Q=Q D.無法確定【解析】選A.由等比數(shù)列知識得Q=a5·a又P=a3+a92,且a3所以a3+a92二、填空題(每小題6分,共12分)4.(2023·泰安高二檢測)用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,這與三角形的內(nèi)角和為180°矛盾,故結(jié)論錯誤;②所以一個三角形不可能有兩個直角;③假設(shè)△ABC有兩個直角,不妨設(shè)∠A=∠B=90°;上述步驟的正確順序是____________.【解析】由反證法的證題步驟可知,正確順序應(yīng)該是③①②.答案:③①②5.已知a∈R+,則12a,12a+1,【解析】因為a+a+1>a+a=2aa+a+1<a+1+a+1所以2a<a+a+1<2a所以12a>1a答案:12a>1【補償訓練】log23與log34的大小關(guān)系是________.【解析】log23-log34=lg3lg2-lg>l=l>lg所以log23-log34>0,所以log23>log34.答案:log23>log34三、解答題(每小題10分,共30分)6.已知a>0,b>0,且a+b>2.求證:1+ba,【證明】假設(shè)1+ba,則1+ba≥2,因為a>0,b>0,所以1+b≥2a,1+a≥2b.所以2+a+b≥2(a+b),即2≥a+b,這與a+b>2矛盾.故假設(shè)不成立.即1+ba,7.設(shè)n是正整數(shù),求證:12≤1n+1+1n+2【證明】由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得12n≤1n+k<當k=1時,12n≤1n+1<當k=2時,12n≤1n+2<…當k=n時,12n≤1n+n<所以12=n2n≤1n+1+1n+2+…+即原不等式成立.8.已知a≥-1,求證以下三個方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實數(shù)解.【證明】假設(shè)三個方程都沒有實根,則三個方程的判別式都小于0,即:(所以-所以-32一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2023·錦州高二檢測)(1)已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時,可假設(shè)p+q≥2.(2)已知a,b∈R,a+b<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設(shè)至少有一根的絕對值大于等于1.以下結(jié)論正確的是()A.(1)與(2)的假設(shè)都錯誤B.(1)與(2)的假設(shè)都正確C.(1)的假設(shè)正確,(2)的假設(shè)錯誤D.(1)的假設(shè)錯誤,(2)的假設(shè)正確【解析】選D.(1)的假設(shè)應(yīng)為p+q>2,(2)的假設(shè)正確.2.設(shè)x,y,z都是正實數(shù),a=x+1y,b=y+1z,c=z+A.至少有一個不大于2 B.都小于2C.至少有一個不小于2 D.都大于2【解析】選C.因為a+b+c=x+1x+y+1y+z+所以a,b,c三者中至少有一個不小于2.二、填空題(每小題5分,共10分)3.設(shè)M=1210+1210+1+1【解析】因為210+1>210,210+2>210,…,211-1>210,所以M=1210+1210<1210+12答案:M<14.(2023·石家莊高二檢測)某同學準備用反證法證明如下一個問題:函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義,且f(0)=f(1).如果對于不同的x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求證:|f(x1)-f(x2)|<12,那么他的反設(shè)應(yīng)該是________【解析】對任意x1,x2∈[0,1](x1≠x2)都有|f(x1)-f(x2)|<12的反面是存在x1,x2∈[0,1]且x1≠x2有|f(x1)-f(x2)|≥1答案:存在x1,x2∈[0,1]且x1≠x2使|f(x1)-f(x2)|≥1三、解答題(每小題10分,共20分)5.已知0<a<3,0<b<3,0<c<3.求證:a(3-b),b(3-c),c(3-a)不可能都大于92【證明】假設(shè)a(3-b)>92,b(3-c)>92,c(3-a)>因為a,b,c均為小于3的正數(shù).所以a(3-b)>92,b(3-c)>92,從而有a(3-b)+b(3-c)+c(3-a)但是a(3-b)+b(3-c)≤a+(3-b)2+b=9+(a+b+c)-(a+b+c)2=顯然②與①相矛盾,假設(shè)不成立,故命題得證.【補償訓練】已知f(x)=ax+x-2【證明】假設(shè)x0是f(x)=0的負數(shù)根,則x0<0且x0≠-1且ax0=-由0<ax0<1?0<-x0-2x0+1故方程f(x)=0沒有負數(shù)根.6.設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn滿足Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N(1)求a1的值.(2)求數(shù)列{an}的通項公式.(3)證明:對一切正整數(shù)n,有1a1(a1+1)+【解析】(1)令n=1得:S12-(-1)S即S12+S1-6=0,所以(S1+3)(S因為S1>0,所以S1=2,即a1=2.(2)由Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0,因為an>0(n∈N*),Sn>0,從而Sn+3>0,所以Sn=n2+n