高中數(shù)學(xué)人教A版第三章直線與方程直線的傾斜角與斜率 復(fù)件教學(xué)實(shí)例

“直線與方程”的起始課——直線的傾斜角與斜率（第1課時）教學(xué)設(shè)計教材分析公認(rèn)的幾何學(xué)的確立于公元300多年前，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得著作《原本》創(chuàng)造性地用公理法對當(dāng)時所了解的數(shù)學(xué)知識作了總結(jié)，16世紀(jì)后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文，力學(xué)，航海等方面都對幾何學(xué)提出了新的需要，17世紀(jì)法國兩位數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)造性地借助坐標(biāo)將幾何與代數(shù)結(jié)合起來，創(chuàng)立了解析幾何，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個新的發(fā)展時期，也就是變量數(shù)學(xué)時期?！吨本€與方程》選自人教A版普通高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材必修2第三章，拉開了高中階段學(xué)習(xí)平面解析幾何的帷幕，本章突出“坐標(biāo)法”的核心地位，強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”的思想。第一節(jié)，建立平面直角坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究確定直線的幾何要素——點(diǎn)與斜率；第二節(jié)，根據(jù)確定直線的幾何要素，探求直線方程的幾種形式，建立了直線的代數(shù)表示；第三節(jié)，通過方程研究兩條直線的交點(diǎn)，并由此判斷兩條直線的位置關(guān)系，通過點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程，導(dǎo)出兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，兩條平行直線間的距離等。本章的學(xué)習(xí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)解析幾何有關(guān)知識（圓的方程、圓錐曲線方程、坐標(biāo)系與參數(shù)方程）做了必要的鋪墊。直線的傾斜角與斜率是直線與方程的起始課，傾斜角是幾何概念，它主要起過渡作用，是聯(lián)系新舊知識的紐帶，研究斜率，直線的平行，垂直的解析表示等問題時都要用這個概念；斜率概念，不僅其建立過程很好地體現(xiàn)了解析法，而且它在建立直線方程，通過直線方程研究幾何問題時也起核心作用，根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為教學(xué)重點(diǎn)：體會解析幾何研究問題的基本思想和方法；經(jīng)歷幾何（傾斜角）問題代數(shù)（斜率）化的過程，代數(shù)表示（斜率）到幾何直觀（直線的傾斜程度）的過程。學(xué)情診斷分析（1）學(xué)生之前已學(xué)習(xí)過函數(shù)的解析式與平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)圖像，有了從數(shù)到形的認(rèn)識，學(xué)生知道借助圖形認(rèn)識函數(shù)的性質(zhì)，這是坐標(biāo)法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。（2）學(xué)生在初中平面幾何的思維模式下，即以公理為基礎(chǔ)用從形的角度觀察、度量幾何元素間的關(guān)系，對從代數(shù)角度借助坐標(biāo)、方程來解決幾何問題感到不自然，在“幾何直觀代數(shù)表示幾何直觀”的轉(zhuǎn)化上會有一定的困難。（3）直線方程的學(xué)習(xí)安排在三角函數(shù)之前，由于對正切函數(shù)不熟悉，角的正切值只停留在直角三角形中來求，因此，傾斜角的正切值等于斜率，這一概念還不能直接引入。根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為員教學(xué)難點(diǎn)：傾斜角概念的形成及直線的斜率與它的傾斜角之間的關(guān)系。3．教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置（1）通過觀察圖片、對解析幾何史的講述，了解解析幾何研究問題的基本思想和方法，對本章知識結(jié)構(gòu)有初步了解。（2）理解直線的傾斜角的定義，能準(zhǔn)確指出直線的傾斜角.（3）理解斜率的定義及與傾斜角的關(guān)系，能通過直線的傾斜角或直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的斜率。4．教學(xué)策略分析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是簡單的“告訴”，而應(yīng)是學(xué)生個性化的“體驗(yàn)”。本節(jié)課采用的是“引導(dǎo)探究式”，即通過提問形式，引導(dǎo)學(xué)生積極參與問題的探索，交流，歸納的過程，本節(jié)課以問題為載體，以知識為核心，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，進(jìn)入學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。在知識方面，從初中已學(xué)過的兩點(diǎn)確定一條直線引出直線的傾斜角，由對傾斜角的分析得出斜率的定義和相關(guān)公式；在思想方法方面，借助于坐標(biāo)系，經(jīng)歷幾何（傾斜角）問題代數(shù)（斜率）化的過程，代數(shù)表示（斜率）到幾何直觀（直線的傾斜程度）的過程，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。本節(jié)課是本章的起始課，知識引入上難度較大，特采用多媒體輔助教學(xué)教學(xué)流程：初識全章初識全章新知探究動態(tài)生成有效建構(gòu)二、課堂實(shí)錄（一）創(chuàng)設(shè)情境，初識全章[出示幻燈片]生活中處處都有美，美的建筑，美的圖案，有立體的，有平面的，無不體現(xiàn)幾何的美，幾何學(xué)的確立源自公元300多年前歐幾里得的《原本》，它是從形的角度研究幾何的美，16世紀(jì)后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文，力學(xué)，航海等方面都有對幾何學(xué)提出了新的需要，17世紀(jì)法國兩位數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)造性地借助坐標(biāo)將幾何（形）與（數(shù)）代數(shù)結(jié)合起來，創(chuàng)立了解析幾何，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個新的發(fā)展時期，也就是變量數(shù)學(xué)時期。解析幾何解決問的思想和方法圖示：圖形圖形點(diǎn)直角坐標(biāo)系坐標(biāo)方程幾何代數(shù)坐標(biāo)法數(shù)形結(jié)合本章知識結(jié)構(gòu)：從幾何直觀到代數(shù)表示（建立直線的方程）傾斜角斜率傾斜角斜率直線二元一次方程直線二元一次方程一般式一般式兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式從代數(shù)表示到幾何直觀（通過方程研究幾何性質(zhì)和度量）平行和垂平行和垂直的判定相交平行（一個交點(diǎn)）（無交點(diǎn)）距離兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行線間的距離兩直線的位置關(guān)系本章將借助于坐標(biāo)系從三個方面（即直線的傾斜角與斜率，直線的方程，直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式）來研究最簡單的幾何圖形——直線[評析]通過對本章整體分析和解析幾發(fā)展史的講述，激發(fā)學(xué)生對知識的探究熱情和興趣（二）問題引導(dǎo)，探究新知1．引入傾斜角問題1：確定平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線需要哪些幾何要素？活動1：（得出傾斜角的定義）師：對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線L,它的位置由哪些條件確定？生：兩點(diǎn)確定一條直線[出示幻燈片]師：觀察圖形，過一點(diǎn)P可以作無數(shù)條直線，這些直線的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)分別是什么？生：共同點(diǎn)是都過點(diǎn)P，不同點(diǎn)是（可能有三種回答①方向不同②傾斜程度不同③傾斜角不同）師：由圖形可看出，過一點(diǎn)有無數(shù)條直線，要確定其中某一條直線還需要給出其傾斜程度定義：（板述）當(dāng)直線l與x軸相交時：我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向所成的角叫做直線l的傾斜角。活動2：（得出傾斜角的范圍）同桌相互合作在草稿紙上建一個直角坐標(biāo)系，（取一個點(diǎn)）用鉛筆模擬成一條直線師：（1）每條直線是否有唯一的傾斜角，反之，傾斜角相同的直線是否唯一確定？（2）傾斜角的范圍是多少？生1：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，我們?nèi)?0作為直線的傾斜角；傾斜角相同的直線是一組平行線，只知道傾斜角不能確定直線生2：傾斜角的范圍是[00，1800）師：同學(xué)們觀察得非常準(zhǔn)確，根據(jù)同學(xué)們的回答我對傾斜角作如下總結(jié)：[出示幻燈片]每條直線都有唯一的傾斜角，傾斜角是幾何直觀（形）的刻畫直線的傾斜程度的；傾斜角的范圍是[00，1800）；確定一條直線有兩種方式，且兩種方式是一致的。（兩個點(diǎn)也可以確定直線的傾斜程度與傾斜角確定直線的傾斜程度是一致的）[評析]由平面幾何知識引出直線的傾斜角，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，對傾斜角的自主探索發(fā)現(xiàn)尊重了學(xué)生學(xué)知識的“生成權(quán)”。斜率概念的構(gòu)建問題2：直線的傾斜程度與傾斜角有什么關(guān)系？活動1：（得出直線的傾斜程度（斜率）為傾斜角的正切值）師：日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量是什么？生：可能有兩種回答（①坡度②斜率）[出示幻燈片]師：哪個蹺蹺板的坡度（斜率）大？為什么？坡度與什么有關(guān)？生：可能有兩種回答（①蹺起越高則坡度越大②高度/前進(jìn)度大的坡度大③坡度比越大則坡度越大）師：坡度只與蹺起的高度有關(guān)嗎？[出示幻燈片]生：與高度/前進(jìn)度有關(guān)即與坡度比有關(guān)。師：哪是斜坡的傾斜角？傾斜角與坡度比有什么關(guān)系？[出示幻燈片]生：傾斜角的正切值與坡度比相等師：同學(xué)們回答的非常好，高度/前進(jìn)度即坡度比等于傾斜角的正切值，我們稱它為斜率，用小寫字母κ表示即κ=tanα（α是傾斜角）（板述）斜率的定義：把一條直線傾斜角α（α≠900）的正切值叫做這條直線的斜率。即κ=tanα活動2：（得出隨傾斜角的變化，斜率的符號怎樣變化）（幾何畫板演示）老師借助幾何畫板演示或?qū)W生親自操作師：我們發(fā)現(xiàn)，直線的斜率有時為正數(shù)，有時為負(fù)數(shù)，它的符號和直線的傾斜角具有怎樣的關(guān)系呢？生：直線的斜率為正時：00＜α＜900直線的斜率為負(fù)時：900＜α＜1800直線的斜率為零時：α=00α=900時斜率不存在。師：當(dāng)傾斜角α=900時直線沒有傾斜，所以斜率不存在。故κ=tanα（α≠900）（板述）任何直線都有唯一的傾斜角，但傾斜角α=900時斜率不存在。[評析]選擇傾斜角的正切函數(shù)作為直線的斜率涉及覆蓋了眾多的知識與技能，體現(xiàn)的是思維的廣闊性。為了突破教學(xué)難點(diǎn)，從日常生活實(shí)際出發(fā)，借助信息技術(shù)工具演示，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的串聯(lián)和呼應(yīng)，同時體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。斜率公式的推導(dǎo)問題3：斜率的值與直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系師：有了斜率的定義，我們不僅可以由圖形觀察直線的斜率，還可以計算出直線的斜率。請同學(xué)們指出OA,OB,AB的傾斜角（的值）為多少度？并求出其斜率。[出示幻燈片]y4224B（-3，3）A（3，3）xOy4224B（-3，3）A（3，3）xO生：直線OA的傾斜角為450，斜率為1,直線OB的傾斜角為1350，斜率為-1,直線AB的傾斜角為00斜率為0。師：我們知道兩點(diǎn)可以確定一條直線，現(xiàn)在A(3,3),B(-3,3),O(0,0)能否用A，O兩點(diǎn)的坐標(biāo)計算直線的斜率呢？直線直線呢?與前面求得的是否一致?學(xué)生相互之間討論交流后展示生：，，方案二：學(xué)生可能出現(xiàn)以下情況生：設(shè)C(3,0),Rt△ACO中,設(shè)D(-3,0),Rt△BCO中因?yàn)橹本€AB與x軸平行所以傾斜角為00斜率為0。師：以上方法用到點(diǎn)的坐標(biāo)，答案正確，我們從求直線OA的斜率過程中可以得到，再應(yīng)用到，中都成立。師：如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，求直線的斜率呢?生:活動：（幾何畫板演示證明）一方面計算，另一方面計算，展示無論怎樣變總有=師：在上述演示下，請回答課本第85頁“思考”欄目的幾個問題生：（1）成立，因?yàn)榉肿訛?，分母不為0（2）與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)（3）不適合，因?yàn)榉帜笧?。師：同學(xué)們的分析非常好，根據(jù)同學(xué)們的分析我來歸納一下公式=是利用直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)通過代數(shù)（數(shù)）的辦法計算得到直線的斜率，體現(xiàn)了從幾何直觀（形）到代數(shù)表示（數(shù)）這一解析幾何解決問題的方式，也與幾何公理“兩點(diǎn)確定一條直線”一致。雖然與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)但兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序要一致。公式中也與傾斜角α=900時斜率不存在一致。[評析]讓學(xué)生在互動交流中探討，在對“幾何畫板”的實(shí)踐中得到證實(shí)，體會知識的探索過程，提高學(xué)習(xí)的熱情（三）典例分析，動態(tài)生成例：[出示幻燈片]師生活動：教師引導(dǎo)并要求學(xué)生畫圖師：因?yàn)橹本€經(jīng)過原點(diǎn)，還需要什么條件就可以畫圖了？生：另外一個點(diǎn)師：請同學(xué)們畫出符合要求的直線[評析]通過例題的講解，學(xué)生的動手體驗(yàn)，讓傾斜角與斜率在應(yīng)用中生成，提高學(xué)生對傾斜角與斜率的理性認(rèn)識，體會數(shù)形結(jié)合思想。（四）歸納小結(jié)，有效建構(gòu)師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？可以從知識、方法、思想等方面談一談。生：………師:同學(xué)們歸納得非常好,我們還可以用框圖的形式加以歸納:[出示幻燈片]知識結(jié)構(gòu):確定平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線的幾何要素確定平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線的幾何要素點(diǎn)和傾斜角兩個不同的點(diǎn)=數(shù)學(xué)思想::直線的傾斜角直線的傾斜角直線的斜率幾何代數(shù)代數(shù)化數(shù)形結(jié)合[評析]讓學(xué)談收獲是加深對本節(jié)知識的理解,形成自覺內(nèi)化的意示（五）課后檢測，鞏固提升（1）教材第86頁練習(xí)1、2、3、4題（2）教材第89頁習(xí)題組第4、5題作業(yè)說明：作業(yè)（1）是基礎(chǔ)題，作用為鞏固斜率的定義式和公式，要求做在課本上；作業(yè)（2）是提高題，作用是應(yīng)用斜率知識來解決問題，要求做在作業(yè)本上。[評析]學(xué)生獨(dú)立思考完成作業(yè)的過程是將知識進(jìn)一步鞏固的過程直線與方程直線與方程斜率公式：——直線的傾斜角與斜率傾斜角：例2：當(dāng)直線l與x軸相交時：我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向所成的角叫做直線l的傾斜角。當(dāng)直線l與x軸平行或重合時：我們規(guī)定它的傾斜角為00。斜率：把一條直線傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即κ=tanα（α≠900）三、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)識到新課程標(biāo)準(zhǔn)下的課堂教學(xué)“效在課堂，功在課外”，要想在課堂上達(dá)到滿意的效果，必須在課外進(jìn)行大量的準(zhǔn)備。本節(jié)課作為本章乃至整個解析幾何的起始課，在思維方式及解決問題的思想方法上需要老師的引導(dǎo)，在知識內(nèi)容上需要從解析幾何的發(fā)展史、已學(xué)過的知識和日常生活問題進(jìn)行引入。從而達(dá)到思想方法的“滲透”，