高中數(shù)學(xué)人教A版第三章三角恒等變換單元測試 高質(zhì)作品

第三章三角恒等變換一、兩角和與差的正弦、余弦與正切公式1．兩角和的余弦公式（簡記C（α+β））：．2．兩角差的余弦公式（簡記C（α－β））：．3．兩角和（差）余弦公式的公式特征：①左加號，右減號；②同名函數(shù)之積的和與差；③α、β叫單角，α±β叫復(fù)角，通過單角的正、余弦求和（差）的余弦值；④“正用”、“逆用”、“變用”．4．兩角和的正弦公式（簡記S（α+β））：．5．兩角差的正弦公式（簡記S（α－β））：．6．兩角和（差）正弦公式的公式特征及用途：①左右運(yùn)算符號相同；②右方是異名函數(shù)之積的和與差，且正弦值在前，余弦值在后．用途：可以由單角的三角函數(shù)值求復(fù)角（和角與差角）的三角函數(shù)值．7．兩角和的正切公式（簡記T（α+β））：．8．兩角差的正切公式（簡記T（α－β））：．9．兩角和（差）正切公式的公式特征及公式變形：①左邊的運(yùn)算符號與右邊分子的運(yùn)算符號相同，右邊分子分母運(yùn)算符號相反；②．公式變形：①；②．例1eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)＝（）．A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)答案：C解析：∵sin47°＝sin（30°＋17°）＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝eq\f(sin30°cos17°＋sin17°cos30°－sin17°cos30°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2)．例2已知sinα＝eq\f(15,17)，cosβ＝－eq\f(5,13)，α∈（eq\f(π,2)，π），β∈（eq\f(π,2)，π），求sin（α＋β），sin（α－β）的值．解：∵sinα＝eq\f(15,17)，α∈（eq\f(π,2)，π），∴cosα＝－eq\r(1－\f(15,17)2)＝－eq\f(8,17)．∵cosβ＝－eq\f(5,13)，β∈（eq\f(π,2)，π），∴sinβ＝eq\r(1－－\f(5,13)2)＝eq\f(12,13)，∴sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(15,17)×（－eq\f(5,13)）＋（－eq\f(8,17)）×eq\f(12,13)＝－eq\f(75＋96,221)＝－eq\f(171,221)，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(15,17)×（－eq\f(5,13)）－（－eq\f(8,17)）×eq\f(12,13)＝eq\f(21,221)．例3求值：（1）（tan10°－eq\r(3)）?eq\f(cos10°,sin50°)；（2）[2sin50°＋sin10°（1＋eq\r(3)tan10°）]?eq\r(2sin280°)．解：（1）（tan10°－eq\r(3)）?eq\f(cos10°,sin50°)＝（tan10°－tan60°）?eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin10°,cos10°)－\f(sin60°,cos60°)))?eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(sin10°·cos60°－cos10°·sin60°,cos10°·cos60°)?eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(sin－50°,cos60°)?eq\f(1,sin50°)＝－2．（2）[2sin50°＋sin10°（1＋eq\r(3)tan10°）]?eq\r(2sin280°)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2sin50°＋sin10°\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)))))?eq\r(2cos210°)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin50°＋2sin10°·\f(cos50°,cos10°)))?eq\r(2)cos10°＝2eq\r(2)（sin50°cos10°＋sin10°?cos50°）＝2eq\r(2)sin60°＝eq\r(6)．例4已知函數(shù)f（x）＝eq\r(3)sin（ωx＋φ）（ω＞0，－eq\f(π,2)≤φ＜eq\f(π,2)）的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π．（1）求ω和φ的值；（2）若f（eq\f(α,2)）＝eq\f(\r(3),4)（eq\f(π,6)＜α＜eq\f(2π,3)），求cos（α＋eq\f(3π,2)）的值．解：（1）因?yàn)閒（x）的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，所以f（x）的最小正周期T＝π，從而ω＝eq\f(2π,T)＝2，又因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，所以2×eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k＝0，±1，±2，…，因－eq\f(π,2)≤φ＜eq\f(π,2)得k＝0，所以φ＝eq\f(π,2)－eq\f(2π,3)＝－eq\f(π,6)．（2）由（1）得f（eq\f(α,2)）＝eq\r(3)sin（2?eq\f(α,2)－eq\f(π,6)）＝eq\f(\r(3),4)．所以sin（α－eq\f(π,6)）＝eq\f(1,4)．由eq\f(π,6)＜α＜eq\f(2π,3)得0＜α－eq\f(π,6)＜eq\f(π,2)．所以cos（α－eq\f(π,6)）＝eq\r(1－sin2α－\f(π,6))＝eq\r(1－\f(1,4)2)＝eq\f(\r(15),4)．因此cos（α＋eq\f(3π,2)）＝sinα＝sin[（α－eq\f(π,6)）＋eq\f(π,6)]＝sin（α－eq\f(π,6)）coseq\f(π,6)＋cos（α－eq\f(π,6)）sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋\r(15),8)．二、二倍角公式二倍角的正弦（簡記S2α）、余弦（簡記C2α）、正切（簡記T2α）公式（升冪公式）：例1eq\f(2sin2α,1＋cos2α)?eq\f(cos2α,cos2α)＝（）．A．tanα B．tan2αC．1 D．eq\f(1,2)答案：B解析：原式＝eq\f(2sin2α,2cos2α)?eq\f(cos2α,cos2α)＝eq\f(sin2α,cos2α)＝tan2α．例2若tanθ＝eq\f(1,3)，則cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ＝________．答案：eq\f(6,5)解析：cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ＝cos2θ＋sinθcosθ＝eq\f(cos2θ＋sinθcosθ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(1＋\f(1,3),1＋\f(1,9))＝eq\f(4,3)×eq\f(9,10)＝eq\f(6,5)．例3已知cosα＝－eq\f(12,13)，α∈（π，eq\f(3π,2)），求sin2α，cos2α，tan2α的值．解：∵cosα＝－eq\f(12,13)，α∈（π，eq\f(3π,2)），∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－－\f(12,13)2)＝－eq\f(5,13)，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×（－eq\f(5,13)）×（－eq\f(12,13)）＝eq\f(120,169)，cos2α＝2cos2α－1＝2×（－eq\f(12,13)）2－1＝eq\f(119,169)，tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(120,119)．例4已知函數(shù)f（x）＝cosx?sin（x＋eq\f(π,3)）－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在閉區(qū)間[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有f（x）＝cosx?（eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx）－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,2)sinx?cosx－eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,4)sin2x－eq\f(\r(3),4)（1＋cos2x）＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,4)sin2x－eq\f(\r(3),4)cos2x＝eq\f(1,2)sin（2x－eq\f(π,3)）．所以f（x）的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π．（2）因?yàn)閒（x）在區(qū)間[－eq\f(π,4)，－eq\f(π,12)]上是減函數(shù)，在區(qū)間[－eq\f(π,12)，eq\f(π,4)]上是增函數(shù)，f（－eq\f(π,4)）＝－eq\f(1,4)，f（－eq\f(π,12)）＝－eq\f(1,2)，f（eq\f(π,4)）＝eq\f(1,4)，所以，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上的最大值為eq\f(1,4)，最小值為－eq\f(1,2)．三、半角公式（這類公式不要求記憶）半角的正弦（簡記）、余弦（簡記）、正切（簡記）公式：．例1cosθ＝－eq\f(1,5)，eq\f(5π,2)＜θ＜3π，則sineq\f(θ,2)＝（）．A．eq\f(\r(10),5) B．－eq\f(\r(10),5)C．eq\f(\r(15),5) D．－eq\f(\r(15),5)答案：D解析：∵eq\f(5π,2)＜θ＜3π，∴eq\f(5π,4)＜eq\f(θ,2)＜eq\f(3π,2)，∴eq\f(θ,2)是第三象限角，∴sineq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1－cosθ,2))＝－eq\r(\f(1＋\f(1,5),2))＝－eq\f(\r(15),5)．例2化簡：eq\f(1＋sinα＋cosαsin\f(α,2)－cos\f(α,2),\r(2＋2cosα))（0＜α＜π）．解：∵0＜α＜π，∴0＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,2)，∴原式＝eq\f(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)sin\f(α,2)－cos\f(α,2),\r(2·2cos2\f(α,2)))＝eq\f(2cos\f(α,2)cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)sin\f(α,2)－cos\f(α,2),2cos\f(α,2))＝sin2eq\f(α,2)－cos2eq\f(α,2)＝－cosα．四、公式的變形與應(yīng)用1．合一變形把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方”的形式．輔助角公式：令，，∴，其中θ為輔助角，．2．三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡、求值、證明中，表達(dá)式往往會出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解．對角進(jìn)行變形，如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②，問：，；③，④，⑤等等．（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)．如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；袨橄?，變異名為同名．（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算、求值、證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有：．（4）冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法．常用降冪公式有：，．降冪并非絕對，有時(shí)需要升冪，如對無理式常用升冪化為有理式，常用升冪公式有：，，．（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用、逆用及變形應(yīng)用．請嘗試完成下列變形，如：；；；；；；；