高中數(shù)學北師大版第二章平面向量4平面向量的坐標 2023版第2章4平面向量的坐標

§4平面向量的坐標平面向量的坐標表示平面向量線性運算的坐標表示向量平行的坐標表示1．掌握平面向量的正交分解及其坐標表示．(重點)2．會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算．(重點)3．理解用坐標表示的平面向量共線的條件．(重點)[基礎·初探]教材整理1平面向量的坐標表示閱讀教材P88～P89“”以上部分，完成下列問題．圖2-4-1如圖2-4-1所示，在平面直角坐標系xOy中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一對有序?qū)崝?shù)(x，y)，使得a＝xi＋yj.我們把有序?qū)崝?shù)對(x，y)稱為向量a的(直角)坐標，記作a＝(x，y)．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標一定不同．()(2)向量的坐標就是向量終點的坐標．()(3)在平面直角坐標系中，兩相等向量的坐標相同．()【解析】(1)錯誤．無論向量在何位置其坐標不變．(2)錯誤．向量的坐標是把向量的起點平移到原點時終點的坐標．(3)正確．兩相等向量的坐標相等．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2平面向量的坐標運算及向量平行的坐標表示閱讀教材P89～P91“練習”以上部分，完成下列問題．1．平面向量的坐標運算(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和實數(shù)λ，那么：①a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)；②a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2)；③λa＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0,0)，則eq\o(AB,\S\UP6(→))＝eq\o(OB,\S\UP6(→))－eq\o(OA,\S\UP6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去起點的坐標．2．向量平行的坐標表示(1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，則x1y2－x2y1＝0.若y1≠0且y2≠0，則上式可變形為eq\f(x1,y1)＝eq\f(x2,y2).(2)文字語言描述向量平行的坐標表示①定理若兩個向量(與坐標軸不平行)平行，則它們相應的坐標成比例．②定理若兩個向量相對應的坐標成比例，則它們平行．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1.()(2)向量a＝(1,2)與b＝(－3，－6)共線且同向．()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，則eq\f(x1,y1)＝eq\f(x2,y2).()【解析】(1)正確．a(chǎn)∥b，則a＝λb可得x1y2＝x2y1.(2)錯誤．a(chǎn)＝－3b，a與b共線且反向．(3)錯誤．若y1＝0，y2＝0時表達式無意義．【答案】(1)√(2)×(3)×[小組合作型]平面向量的坐標表示已知邊長為2的正三角形ABC，頂點A在坐標原點，AB邊在x軸上，C在第一象限，D為AC的中點，分別求向量eq\o(AB,\S\UP6(→))，eq\o(AC,\S\UP6(→))，eq\o(BC,\S\UP6(→))，eq\o(BD,\S\UP6(→))的坐標．【精彩點撥】eq\x(表示出各點的坐標)→eq\x(用終點坐標減去始點坐標)→eq\x(得相應向量的坐標)【自主解答】如圖，正三角形ABC的邊長為2，則頂點A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，∴C(1，eq\r(3))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\S\UP6(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝(1－2，eq\r(3)－0)＝(－1，eq\r(3))，eq\o(BD,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2，\f(\r(3),2)－0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2))).1．向量的坐標等于終點的坐標減去始點的相應坐標，只有當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標才等于終點的坐標．2．求向量的坐標一般轉(zhuǎn)化為求點的坐標，解題時常常結(jié)合幾何圖形，利用三角函數(shù)的定義進行計算．[再練一題]1．已知點O是△ABC內(nèi)一點，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，設eq\o(OA,\S\UP6(→))＝a，eq\o(OB,\S\UP6(→))＝b，eq\o(OC,\S\UP6(→))＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量eq\o(AB,\S\UP6(→))，eq\o(BC,\S\UP6(→)).【解】如圖所示，以點O為原點，eq\o(OA,\S\UP6(→))所在射線為x軸的非負半軸，建立平面直角坐標系．∵|eq\o(OB,\S\UP6(→))|＝1，∠AOB＝150°，∴B(－cos30°，sin30°)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).∵|eq\o(OC,\S\UP6(→))|＝3，∴C(－3sin30°，－3cos30°)，即Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,2)\r(3))).又∵A(2,0)，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))－(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)－2，\f(1,2)))，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,2)\r(3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－3,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)\r(3)－\f(1,2))).向量坐標的線性運算已知點A(－1,2)，B(2,8)及eq\o(AC,\S\UP6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\S\UP6(→))，eq\o(DA,\S\UP6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\S\UP6(→)).求點C，D和eq\o(CD,\S\UP6(→))的坐標.【導學號：66470051】【精彩點撥】先求出eq\o(AB,\S\UP6(→))的坐標，然后求eq\o(AC,\S\UP6(→))，eq\o(DA,\S\UP6(→))的坐標，最后求出eq\o(OC,\S\UP6(→))，eq\o(OD,\S\UP6(→))及eq\o(CD,\S\UP6(→))的坐標．【自主解答】∵A(－1,2)，B(2,8)，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，eq\o(AC,\S\UP6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(1,2)，eq\o(DA,\S\UP6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\S\UP6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(1,2)，設O為坐標原點，則eq\o(OC,\S\UP6(→))＝eq\o(OA,\S\UP6(→))＋eq\o(AC,\S\UP6(→))＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，eq\o(OD,\S\UP6(→))＝eq\o(OA,\S\UP6(→))＋eq\o(AD,\S\UP6(→))＝eq\o(OA,\S\UP6(→))－eq\o(DA,\S\UP6(→))＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)，∴C，D的坐標分別為(0,4)和(－2,0)．因此eq\o(CD,\S\UP6(→))＝(－2，－4)．1．向量的坐標形式的線性運算，主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行．2．平面向量線性運算的坐標表示，把平面向量的線性運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算．這樣使向量的線性運算更簡便，其前提是先求出參與運算的向量的坐標．[再練一題]2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設eq\o(AB,\S\UP6(→))＝a，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝b，eq\o(CA,\S\UP6(→))＝c，且eq\o(CM,\S\UP6(→))＝3c，eq\o(CN,\S\UP6(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c的坐標；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標及向量eq\o(MN,\S\UP6(→))的坐標．【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設O為坐標原點，∵eq\o(CM,\S\UP6(→))＝eq\o(OM,\S\UP6(→))－eq\o(OC,\S\UP6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\S\UP6(→))＝3c＋eq\o(OC,\S\UP6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\S\UP6(→))＝eq\o(ON,\S\UP6(→))－eq\o(OC,\S\UP6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\S\UP6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\S\UP6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\S\UP6(→))＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．[探究共研型]向量平行的坐標表示探究1設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若向量a，b共線，則這兩個向量的坐標滿足什么關系？反之成立嗎？【提示】這兩個向量的坐標應滿足x1y2－x2y1＝0，反之成立．即a∥b?x1y2－x2y1＝0.探究2如果兩個非零向量共線，你能通過它們的坐標判斷它們同向還是反向嗎？【提示】當兩個向量的對應坐標同號或同為零時，同向．當兩個向量的對應坐標異號或同為零時，反向．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？【精彩點撥】eq\x(由a，b的坐標)→eq\x(求ka＋b，a－3b坐標)→eq\x(由向量共線的條件列方程組)→eq\x(求k的值)→eq\x(判斷方向)【自主解答】法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq\f(1,3).即當k＝－eq\f(1,3)時，ka＋b與a－3b平行，這時ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)，∵λ＝－eq\f(1,3)＜0，∴ka＋b與a－3b反向．法二：由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．∵ka＋b與a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3).此時ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)．∴當k＝－eq\f(1,3)時，ka＋b與a－3b平行，并且反向．解決向量共線問題時，常常根據(jù)向量平行的坐標表示，將向量間的平行關系轉(zhuǎn)化為坐標間的數(shù)量關系來求解.[再練一題]3．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線？(2)若eq\o(AB,\S\UP6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝a＋mb且A，B，C三點共線，求m的值．【解】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝λeq\o(BC,\S\UP6(→))，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).1．下列各組向量共線的是()A．a(chǎn)1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B．a(chǎn)2＝(2,3)，b2＝(3,2)C．a(chǎn)3＝(1,2)，b3＝(7,14)D．a(chǎn)4＝(－3,2)，b4＝(6,4)【解析】因為b3＝(7,14)＝7(1,2)＝7a3，所以a3與b3共線．【答案】C2．已知a＝(3,5)，b＝(－3,2)，則a＋b＝()A．(8，－1)B．(0,7)C．(7,0)D．(－1,8)【解析】a＋b＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2)＝(0,7)．【答案】B3．已知A(4,1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－\f(3,2)))，若A，B，C共線，則x＝.【導學號：66470052】【解析】因為eq\o(AB,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))，eq\o(AC,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4，－\f(5,2)))，所以eq\f(－3,2)(x－4)＝eq\f(15,2)，解