高中數(shù)學(xué)人教B版第一章解三角形 同課異構(gòu)

第一章第2課時基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．在某測量中，A在B的北偏東55°，則B在A的eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542137)(D)A．北偏西35° B．北偏東55°C．北偏東35° D．南偏西55°[解析]根據(jù)題意和方向角的概念畫出草圖，如圖所示．α＝55°，則β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.2．在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542138)(A)A．eq\f(400,3)m B．eq\f(400\r(3),3)mC．200eq\r(3)m D．200[解析]如圖，設(shè)AB為山高，CD為塔高，則AB＝200，∠ADM＝30°，∠ACB＝60°∴BC＝eq\f(200,tan60°)＝eq\f(200\r(3),3)，AM＝DMtan30°＝BCtan30°＝eq\f(200,3).∴CD＝AB－AM＝eq\f(400,3).3．要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，則電視塔的高度為eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542139)(D)A．10eq\r(2)m B．20C．20eq\r(3)m D．40[解析]設(shè)AB＝xm，則BC＝xm，BD＝eq\r(3)xm，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)．4．一艘客船上午9︰30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30°，之后它以每小時32nmile的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10︰00到達(dá)B處，此時測得船與燈塔S相距8eq\r(2)nmile，則燈塔S在B處的eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542140)(C)A．北偏東75° B．南偏東15°C．北偏東75°或南偏東15° D．以上方位都不對[解析]畫出示意圖如圖，客船半小時行駛路程為32×eq\f(1,2)＝16nmile，∴AB＝16，又BS＝8eq\r(2)，∠BAS＝30°，由正弦定理，得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(16,sin∠ASB)，∴sin∠ASB＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ASB＝45°或135°，當(dāng)∠ASB＝45°時，∠B′BS＝75°，當(dāng)∠ASB＝135°時，∠AB′S＝15°，故選C．5．如果在測量中，某渠道斜坡的坡度為eq\f(3,4)，設(shè)α為坡角，那么cosα等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542141)(B)A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)[解析]由題意，得tanα＝eq\f(3,4)，∴eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(9,16)，即eq\f(1－cos2α,cos2α)＝eq\f(9,16)，∵α為銳角，∴cosα＝eq\f(4,5).6．已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542142)(B)A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°[解析]如圖，由題意知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝50°，∴α＝60°－50°＝10°.二、填空題7．一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2km/h，則經(jīng)過eq\r(3)h，該船實際航程為\x(導(dǎo)學(xué)號27542143)[解析]如圖，水流速和船速的合速度為v，在△OAB中：OB2＝OA2＋AB2－2OA·AB·cos60°，∴OB＝v＝2eq\即船的實際速度為2eq\r(3)km/h，則經(jīng)過eq\r(3)h，其路程為2eq\r(3)×eq\r(3)＝6km.8．如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝\x(導(dǎo)學(xué)號27542144)[解析]在Rt△ABC中，由于∠CAB＝45°，BC＝100所以AC＝100eq\在△MAC中，∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理，得eq\f(AC,sin∠AMC)＝eq\f(MA,sin∠MCA)，于是MA＝eq\f(100\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝100eq\r(3)(m)．在Rt△MNA中，∠MAN＝60°，于是MN＝MA·sin∠MAN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150，即山高M(jìn)N＝150m.三、解答題9．如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC＝0.1km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B、D的距離(計算結(jié)果精確到0.01km，eq\r(2)≈，eq\r(6)≈.eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542145)[解析]在△ADC中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA，在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，即AB＝eq\f(ACsin60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)，因此，BD＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)≈.故B、D的距離約為0.33km.能力提升一、選擇題1．在地面上點D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點20m，則建筑物高度為eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542146)(C)A．20m B．30mC．40m D．60m[解析]設(shè)O為塔頂在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq\r(3).在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40，故選C．2．飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測得正前下方地面目標(biāo)C的俯角為30°，向前飛行10000m到達(dá)B處，此時測得正前下方目標(biāo)C的俯角為75°，這時飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542147)(A)A．2500(eq\r(3)－1)m B．5000eq\r(2)mC．4000m D．4000eq\r(2)[解析]示意圖如圖，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，∴∠ACB＝45°，AB＝10000.由正弦定理，得eq\f(10000,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，又cos75°＝eq\f(BD,BC)，∴BD＝eq\f(10000·sin30°,sin45°)·cos75°＝2500(eq\r(3)－1)(m)．二、填空題3．某海島周圍38nmile有暗礁，一輪船由西向東航行，初測此島在北偏東60°方向，航行30nmile后測得此島在東北方向，若不改變航向，則此船無觸礁的危險(填“有”或“無”).eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542148)[解析]如圖所示，由題意在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(30sin30°,sin15°)＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))．在Rt△BDC中，CD＝eq\f(\r(2),2)BC＝15(eq\r(3)＋1)>38.∴此船無觸礁的危險．4．如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜率為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B后，又測得C對于山坡的斜率為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ＝eq\r(3)－\x(導(dǎo)學(xué)號27542149)[解析]在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin15°)＝eq\f(100,sin30°)，∴BC＝50(eq\r(6)－eq\r(2))．在△BCD中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，∴sin∠BDC＝eq\f(50\r(6)－2×\f(\r(2),2),50)＝eq\r(3)－1.∴在Rt△ADE中cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝eq\r(3)－1.三、解答題5．在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)．據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O(如圖所示)的東偏南θ(cosθ＝eq\f(\r(2),10))方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動．臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大．問幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？eq\x(導(dǎo)學(xué)號[解析]如圖所示，設(shè)在時刻t(h)臺風(fēng)中心為Q，此時臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為(10t＋60)km.若在時刻t城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則OQ≤10t＋60.由余弦定理，得OQ2＝PQ2＋PO2－2·PQ·PO·cos∠OPQ，由于PO＝300，PQ＝20t，∴cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°＝eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\r(1－\f(2,102))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4,5)，故OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×eq\f(4,5)＝202t2－9600t＋3002，因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2，即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24.答：12h后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲．6.一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊1號機(jī)器人由點A開始做勻速直線運動，到達(dá)點B時，發(fā)現(xiàn)足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A作勻速直線滾動．如圖所示，已知AB＝4eq\r(2)m，AD＝17m，∠BAC＝45°.若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，則該機(jī)器人最快可在何處截住足球？eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542151)[解析]設(shè)該機(jī)器人最快可在C點處截住足球，點C在線段AD上，設(shè)DC＝xm，由題意得CD＝2xm，所以AC＝(17－2x)m.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，即x2＝(4eq\r(2))2＋(17－2x)2－2×4eq\r(2)×(17－2x)·cos45°，解得x＝5或x＝eq\f(37,3)，當(dāng)x＝5時，AC＝7當(dāng)x＝eq\f(37,3)時，AC＝－eq\f(23,3)m，不合題意，舍去．所以AC＝7故該機(jī)器人最快可在線段AD上距離點A7m的C7．在地面上某處，測得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由此處向塔?0m，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再向塔走10eq\r(3)m，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，試求角θ的度數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號27542152)[分析]如圖所示，求角θ，必須把角θ、2θ、4θ和邊長30、10eq\r(3)盡量集中在一個三角形中，利用方程求解．[解析]解法一：∵∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ，∴∠BPA＝θ，∴BP＝AB＝30.又∵∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ，∴∠BPC＝2θ，∴CP＝BC＝10eq\r(3).在△BPC中，根據(jù)正弦定理，得eq\f(PC,sin2θ)＝eq\f(PB,sinπ－4θ)，即eq\f(10\r(3),sin2θ)＝eq\f(30,sin4θ)，∴eq\f(2sin2θcos2θ,sin2θ)＝eq\f(30,10\r(3)).由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝eq\f(\r(3),2).∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.解法二：在△BPC中，根據(jù)余弦定理，得PC2＝PB2