理論力學(xué)-第23-24課時

定軸轉(zhuǎn)動和平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院定軸轉(zhuǎn)動和平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院基本知識回顧剛體定軸轉(zhuǎn)動內(nèi)容提要平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院一.基本知識回顧1.轉(zhuǎn)動慣量張量定義問題1.1：慣量張量組元有什么特點(diǎn)？溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院2.慣量張量表示角動量和轉(zhuǎn)動動能基本知識回顧問題1.2：矩陣相乘的規(guī)律是什么？例題1：一個質(zhì)點(diǎn)系由三個有質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)和三個無質(zhì)量的輕桿組成一個剛體。其中，質(zhì)量為4m的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為(a,-a,0)質(zhì)量為3m的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為(-a,a,0)，質(zhì)量為2m的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)(a,a,0)。求關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的慣量張量溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院基本知識回顧解:(1)根據(jù)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣量的定義，得：因此，對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量張量為：思考1.1：轉(zhuǎn)動慣量是否與坐標(biāo)選取有關(guān)？二.剛體定軸轉(zhuǎn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院1.剛體定軸基本公式問題2.1：如何轉(zhuǎn)化為關(guān)于定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)的公式？問題2.2：定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)公式如何？根據(jù)瞬時軸與定點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣量關(guān)系溫州泰順仕陽鎮(zhèn)仕水碇步剛體定軸轉(zhuǎn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院溫州蒼南玉蒼山仙人碇步剛體定軸轉(zhuǎn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題2:人類的腿行走時，使得一個正常身材的人會發(fā)現(xiàn)以一種角秒鐘，走一步的自然擺動的步頻，行走是很舒服的。而試圖以較快或者較慢的步頻行走會感到不舒服。如果忽略了膝關(guān)節(jié)效應(yīng)，請用一種簡單模型來計(jì)算該頻率。解：選取均勻桿模型進(jìn)行估算，則自然步頻率等于桿的固有頻率時（共振）最舒服，如圖：Omglθ取l為1米，則步頻率為1.62秒剛體定軸轉(zhuǎn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院三.平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院1.平面平行運(yùn)動的定義剛體中的任一點(diǎn)始終在平行于某固定平面的平面內(nèi)運(yùn)動。問題3.1：描述平面平行運(yùn)動的物理量有幾個？如何描述？平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院2.平面平行運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)公式平面平行可分解為繞A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動和A點(diǎn)平動yxPPAAy’x’速度表達(dá)式：思考3.1：如何得到速度矢量的分量呢？P點(diǎn)對O點(diǎn)的絕對加速度A點(diǎn)的相對O點(diǎn)加速度P點(diǎn)的相對A點(diǎn)加速度在固定參考系的表示加速度表達(dá)式：平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院剛體角速度不為零，但是在任一時刻恒有一點(diǎn)的速度為零，稱為轉(zhuǎn)動瞬心。轉(zhuǎn)動瞬心：平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院3.平面平行運(yùn)動的動力學(xué)公式Oxyy’x’Cθ平面平行一般分解為繞質(zhì)心C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動和質(zhì)心C點(diǎn)平動在保守力作用下，剛體的機(jī)械能守恒質(zhì)心的平動微分方程:繞質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動微分方程:思考3.2：動能分為那幾個部分？滿足什么規(guī)律？平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院中國臺球神童丁俊暉平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題3：用一水平臺球棒打擊一個半徑為R，質(zhì)量為M的臺球，擊球點(diǎn)在臺球桌面上方高h(yuǎn)處，如圖所示。求使臺球作無滑動滾動的h值等于多少？hR解：設(shè)作用于臺球上的沖力為f,作用時間為Δt，則在打擊前后對質(zhì)心的動量定理和角動量定理，分別為:易得:根據(jù)初始條件，可得:無滑動滾動條件:得:平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題4：一面粗糙另一面光滑的平板，質(zhì)量為M,將光滑的一面放在水平桌面上，木板上放一質(zhì)量為m的球。若板沿著其長度方向突然有一速度V,問經(jīng)過多少時間后,球開始滾動而不滑動？平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院解：小球和平板的情況如圖所示。問題1:平板做什么運(yùn)動？為什么？平板只受到小球給它的摩擦力作用，是阻力。因此它做減速運(yùn)動問題2:小球做什么運(yùn)動？為什么？平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院小球只受到平板給它的摩擦力作用，其運(yùn)動分解為質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，其運(yùn)動方程分別為：思考1:A點(diǎn)的速度用什么公式求解？因此，A點(diǎn)的速度為：思考2：小球在平板上面做純滾動的條件是什么？平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院純滾動表明沒相對滑動，則A點(diǎn)對地面的速度和平板對地面的速度應(yīng)該相等：據(jù)此可以求得達(dá)到純滾動的條件為：因此，時間為：思考3：接下來小球和平板受力情況如何？平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院此時，平板和小球的A點(diǎn)沒相對滑動，沒有滑動摩擦力，因此，平板做勻速運(yùn)動，而小球則做純滾動。問題3:此時,平板勻速運(yùn)動的速度和小球純滾動時的質(zhì)心速度分別為多少？因?yàn)椋旱茫簡栴}4:此時,平板和球構(gòu)成的體系總動量多少？思考4：如果小球的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于平板質(zhì)量，則情況如何？平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院總動量為平板的動量和小球質(zhì)心動量之和：因此：思考5：這意味著什么？小球和平板組成的體系初動量和末動量相等，實(shí)際上該體系在整個過程中因?yàn)椴皇芡饬ψ饔?，體系的動量守恒。例題5：一繞其對稱軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)的硬幣被放置在一個水平面上，如圖所示，當(dāng)它停止滑動后，滾離的速度等于多少？ωxyo解：建立坐標(biāo)如圖，則對質(zhì)心的牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律分別為：初始條件為：溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院平面平行運(yùn)動求解運(yùn)動微分方程，可得：不發(fā)生滑動的約束條件為：因此：求得：此時，質(zhì)心的速度：溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院平面平行運(yùn)動平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題6：如圖所示，將棒的一端置于光滑水平面上，另一端則靠在光滑墻上，且棒與地面的傾斜角為α，如任其自此位置開始下滑，則當(dāng)棒與地面的傾斜角多大時，棒與墻分離？棒的長度為2l.解：剛體作平面平行運(yùn)動，則:棒與墻分離的條件是:平面平行運(yùn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院思考:下面思路如何?得到支持力T