山西省大同市同煤集團實驗中學2022年高三數(shù)學理期末試卷含解析

山西省大同市同煤集團實驗中學2022年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知圓，直線，圓C上任意一點A到直線的距離小于2的概率為__________.A． B． C． D．參考答案：A2.如圖，給出的是的值的一個程序框圖，框內應填入的條件是（）A．i≤99 B．i＜99 C．i≥99 D．i＞99參考答案：A【考點】程序框圖．【分析】由已知中該程序的功能是計算的值，由循環(huán)變量的初值為1，步長為2，則最后一次進入循環(huán)的終值為99，即小于等于99的數(shù)滿足循環(huán)條件，大于99的數(shù)不滿足循環(huán)條件，由此易給出條件中填寫的語句．【解答】解：∵該程序的功能是計算的值，由循環(huán)變量的初值為1，步長為2，則最后一次進入循環(huán)的終值為99，即小于等于99的數(shù)滿足循環(huán)條件，大于99的數(shù)不滿足循環(huán)條件，故判斷框中應該填的條件是：i≤99故選A．3.若滿足則下列不等式恒成立的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球體積為（） A． B． C．32π D．8π參考答案：B【考點】球的體積和表面積；簡單空間圖形的三視圖． 【分析】由已知的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，其外接球相當于一個長，寬，高分別為，，2的長方體的外接球，計算出球的半徑，代入球的體積公式，可得答案． 【解答】解：由已知的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐， 其外接球相當于一個長，寬，高分別為，，2的長方體的外接球， 故外接球的半徑R==， 故球的體積V==， 故選B． 【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀． 5.函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D6.“0＜a＜b”是“”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；指數(shù)函數(shù)單調性的應用．【專題】證明題．【分析】根據(jù)底數(shù)大于0小于1的指數(shù)函數(shù)在R上為減函數(shù)，先判斷“0＜a＜b”?“”的真假，與“”?“0＜a＜b”的真假，然后根據(jù)充要條件的定義得到結論．解：當“0＜a＜b”時，“”成立，故“0＜a＜b”是“”的充分條件；當“”時，“a＜b”成立，但“0＜a＜b”不一定成立，故“0＜a＜b”是“”的不必要條件故“0＜a＜b”是“”充分不必要條件故選A【點評】本題考查的知識點是充要條件的定義及指數(shù)函數(shù)的單調性，其中根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性，判斷“0＜a＜b”?“”的真假，與“”?“0＜a＜b”的真假，是解答本題的關鍵．7.已知函數(shù)滿足：都是偶函數(shù)，當時，則下列說法錯誤的是（

）A、函數(shù)在區(qū)間[3，4]上單調遞減；B、函數(shù)沒有對稱中心；C、方程在上一定有偶數(shù)個解；D、函數(shù)存在極值點，且；參考答案：D略8.若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是A．4

B．5C．6

D．7參考答案：A9.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”問此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里參考答案：C【考點】函數(shù)模型的選擇與應用．【分析】由題意可知，每天走的路程里數(shù)構成以為公比的等比數(shù)列，由S6=378求得首項，再由等比數(shù)列的通項公式求得該人第4天和第5天共走的路程【解答】解：記每天走的路程里數(shù)為{an}，可知{an}是公比q=的等比數(shù)列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故選：C．10.已知點為△所在平面上的一點，且，其中為實數(shù)，若點落在△的內部，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在正方體..中，點P是上底面A1B1C1D1內一動點，則三棱錐P﹣ABC的正（主）視圖與側（左）視圖的面積的比值為

．參考答案：1【考點】簡單空間圖形的三視圖．【分析】由題意確定P在主視圖中的射影到AB在平面CDD1C1上的射影的距離，P的射影在左視圖中到AC在平面BCC1B1三度射影的距離，即可求出主視圖與左視圖的面積的比值．【解答】解：由題意可知，P在主視圖中的射影是在C1D1上，AB在主視圖中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距離是正方體的棱長；P在左視圖中，的射影是在B1C1上，在左視圖中AC在平面BCC1B1三度射影是BC，P的射影到BC的距離是正方體的棱長，所以三棱錐P﹣ABC的主視圖與左視圖的面積的比值為：=1．故答案為1．12.已知，，，則_____參考答案：【分析】利用誘導公式化簡可得，根據(jù)角所處的范圍和同角三角函數(shù)關系可求得和；根據(jù)，利用兩角和差余弦公式可求得，根據(jù)可求得結果.【詳解】

，則

，又

本題正確結果：【點睛】本題考查利用三角恒等變換公式求解角度的問題，涉及到誘導公式的應用、同角三角函數(shù)值的求解、兩角和差余弦公式的應用等知識；關鍵是能夠通過構造的方式，將所求角用已知角表示出來.13.如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的表面積是，體積為．參考答案：．【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；數(shù)形結合；數(shù)形結合法；立體幾何．【分析】幾何體為側放的五棱柱，底面為主視圖中的五邊形，高為4．【解答】解：由三視圖可知幾何體為側放的五棱柱，底面為正視圖形狀，高為4，∴幾何體的表面積為（2+4+4+2+2）×4+（42﹣）×2=76+8．幾何體的體積為（42﹣）×4=56．故答案為．【點評】本題考查了常見幾何體的結構特征，表面積，體積計算，屬于基礎題．14.已知集合,對它的非空子集A,先將A中的每個元素分別乘以,再求和(如A={1,3,6},可求得和為),則對M的所有非空子集,這些和的總和是_________________.

參考答案：答案：9615.設為數(shù)列的前項和，若不等式對任意等差數(shù)列及任意正整數(shù)都成立，則實數(shù)的最大值為

．參考答案：16.已知實數(shù)滿足，則的最小值為

．參考答案：17.在中，，，，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.幾個月前，成都街頭開始興起“mobike”、“ofo”等共享單車，這樣的共享單車為很多市民解決了最后一公里的出行難題，然而，這種模式也遇到了一些讓人尷尬的問題，比如亂停亂放，或將共享單車占為“私有”等．為此，某機構就是否支持發(fā)展共享單車隨機調查了50人，他們年齡的分布及支持發(fā)展共享單車的人數(shù)統(tǒng)計如表：年齡[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）受訪人數(shù)56159105支持發(fā)展共享單車人數(shù)4512973（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關系；

年齡低于35歲年齡不低于35歲合計支持

不支持

合計

（2）若對年齡在上存在極值，求a的取值范圍，并判斷極值的正負．參考答案：【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（1）由題意可知a≤﹣xlnx﹣x2在，若g（x）在上存在極值，則或，分類討論，分別構造輔助函數(shù)，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的關系，即可求得a的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在；（2）g（x）==+﹣，x∈，求導g′（x）=+﹣=，設h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，當1≤x＜e時，h′（x）＞0，當e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，顯然h（1）＞h（e2），若g（x）在上存在極值，則或，當，即1＜a＜時，則必定存在x1，x2∈，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，當x變化時，h（x），g′（x），g（x）的變化如表，x（1，x1）x1（x1，x2）x2（x1，e2）h（x）﹣0+0﹣g′（x）﹣0+0﹣g（x）↓極小值↓極小值↓當1＜a＜時，g（x）在上的極值為g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，設φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，則φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上單調遞增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，當且僅當x=1時，取等號；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，當1＜a＜，g（x）在上的極值g（x2）＞g（x1）＞0，當，即0＜a≤1時，則必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上單調遞增，在（x3，e2]上單調遞減，此時，g（x）在上的極大值時g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，當0＜a≤1時，g（x）在上存在極值，且極值都為正數(shù)，綜上可知：當0＜a＜時，g（x）在上存在極值，且極值都為正數(shù)，19.（本小題滿分12分）如圖，為正三角形，平面，，為的中點，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．參考答案：（Ⅰ）證明：作的中點，連結．

在中，，又據(jù)題意知，．

∴，∴四邊形為平行四邊形．

∴，又平面，平面．

∴平面．……4分（Ⅱ）∵，∴平面．

在正中，，∴三線兩兩垂直．

分別以為軸，建系如圖．

則，，．

∴，．

設平面的一個法向量為，

則，即，令，則．

∴平面的一個法向量為．

又平面的一個法向量為．

∴．

∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值．…………8分20.已知拋物線的焦點為F，A為C上位于第一象限的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D．(1)若當點A的橫坐標為3，且為等邊三角形，求C的方程；(2)對于(1)中求出的拋物線C，若點，記點B關于x軸的對稱點為E，AE交x軸于點P，且，求證：點P的坐標為，并求點P到直線AB的距離d的取值范圍．參考答案：(1)；(2)證明見解析，【分析】（1）由拋物線焦半徑公式知，根據(jù)等邊三角形特點可知，從而得到點坐標；利用中點坐標公式求得中點；根據(jù)可構造方程求得，從而得到所求方程；（2）設直線的方程為：，，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的形式；利用三點共線，根據(jù)向量共線坐標表示可得，代入韋達定理整理得到點坐標；利用為等腰直角三角形可求得，從而構造出方程求得，根據(jù)韋達定理的形式可確定的取值范圍；利用點到直線距離公式可將問題轉化為關于的函數(shù)值域的求解問題；利用函數(shù)單調性求得所求的范圍即可.【詳解】（1）由題意知：，等邊三角形

中點為：由為等邊三角形知：，即軸

，解得：的方程為：（2）設直線的方程為：，，，則由得：

設，則，三點共線

即

為等腰直角三角形

即

，可得：

，又

令，，則在上單調遞減

【點睛】本題考查直線與拋物線綜合應用的問題，涉及到拋物線方程的求解、點到直線距離公式的應用、拋物線中取值范圍類問題的求解等知識；求解取值范圍類問題的常用方法是利用變量表示出所求量，將問題轉化為函數(shù)值域的求解問題；本題易錯點是缺少對于范圍的求解，造成取值范圍缺少上限.21.已知函數(shù)．（1）若，解關于的方程；（2）求函數(shù)在[1,e]上的最大值；（3）若存在m，對任意的恒有，試確定a的所有可能值．參考答案：（1）當時，，顯然，所以是方程的一個根．………………2分又因為，且當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，從而，所以是方程的唯一根．

………………4分（2）因為，①當時，恒有，所以在上單調遞增，所以；②當時，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，若，即，；若，即，；若，即，．綜上所述，在上的最大值為………10分（3）因為對任意的恒有，所以，（?。┰O，則，顯然在單調遞增，所以，①當時，恒有，所以在恒成立，所以在單調遞增，所以，所以符合題意；②當時，有，所以，使得，從而當時，，即在上單調遞減，所以，不符合題意；③當時，在恒成立，所以在單調遞減，所以，不符合題意.綜上，恒成立時，.……………………13分（ⅱ）設，則，在單調遞增（建議閱卷忽略，講評要求