山西省大同市燕子山礦中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

山西省大同市燕子山礦中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.現(xiàn)有6名同學(xué)去旅游，有5個(gè)不同的旅游景點(diǎn)供選擇，每名同學(xué)可自由選擇去其中的一個(gè)景點(diǎn)，不同選法的種數(shù)是（

）A．56

B．65

C.

D．參考答案：A2.設(shè)數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是A.1

B.2

C.±2

D.4參考答案：B解：設(shè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)為a，a－d，a+d，由題設(shè)知，，得，得，又?jǐn)?shù)列{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，∴d>0，故a=4，d=2，則它的首項(xiàng)是2.3.如果直線直線，且平面，那么與的位置關(guān)系是（）A.相交 B. C. D.或參考答案：D試題分析：如果，則或，故選D．考點(diǎn)：空間中線面的位置關(guān)系．4.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若成等差數(shù)列，則(

)A．7

B．

8

C．16

D．15參考答案：D5.巳知F1，F(xiàn)2是橢圓（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形PF1F2，若邊PF1的中點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率是（）A．﹣1 B．+1 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)邊PF1的中點(diǎn)為Q，連接F2Q，Rt△QF1F2中，算出|QF1|=c且|QF2|=c，根據(jù)橢圓的定義得2a=|QF1|+|QF2|=（1+）c，由此不難算出該橢圓的離心率．【解答】解：由題意，設(shè)邊PF1的中點(diǎn)為Q，連接F2Q在△QF1F2中，∠QF1F2=60°，∠QF2F1=30°Rt△QF1F2中，|F1F2|=2c（橢圓的焦距），∴|QF1|=|F1F2|=c，|QF2|=|F1F2|=c根據(jù)橢圓的定義，得2a=|QF1|+|QF2|=（1+）c∴橢圓的離心率為e===﹣1故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題給出橢圓與以焦距為邊的正三角形交于邊的中點(diǎn)，求該橢圓的離心率，著重考查了解三角形、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．6.設(shè),且,則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.把正整數(shù)按右圖所示的規(guī)律排序，則從2013到2015的箭頭方向依次為（）A．B．

C．

D．參考答案：A略8.設(shè)，則“”是“2x2+x-1>0”的A.充分而不必要條件

B.

必要而不充分條件C.充分必要條件

D.

既不充分也不必要條件參考答案：A略9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】等可能事件的概率．【分析】簡(jiǎn)化模型，只考慮第999次出現(xiàn)的結(jié)果，有兩種結(jié)果，第999次出現(xiàn)正面朝上只有一種結(jié)果，即可求【解答】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，只考慮第999次，有兩種結(jié)果：正面朝上，反面朝上，每中結(jié)果等可能出現(xiàn)，故所求概率為故選D10.如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：D【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】連接B1G，EG，先利用長(zhǎng)方形的特點(diǎn)，證明四邊形A1B1GE為平行四邊形，從而A1E∥B1G，所以∠B1GF即為異面直線A1E與GF所成的角，再在三角形B1GF中，分別計(jì)算三邊的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可得此角的大小【解答】解：如圖：連接B1G，EG∵E，G分別是DD1，CC1的中點(diǎn)，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四邊形A1B1GE為平行四邊形∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即為異面直線A1E與GF所成的角在三角形B1GF中，B1G===FG===B1F===∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴異面直線A1E與GF所成角為90°故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間異面直線所成的角的作法、證法、算法，長(zhǎng)方體的性質(zhì)及其中的數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓7x2+3y2=21上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為．參考答案：2【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】將橢圓方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，b的值，由橢圓的定義可知：橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和2a=2．【解答】解：由題意可知：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，焦點(diǎn)在y軸上，a2=7，b2=3，由c2=a2﹣b2=4，c=2，∴由橢圓的定義可知：橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和2a=2，故答案為：2．12.為了了解高三學(xué)生的身體狀況，抽取了部分男生的體重，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖）．已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1：2：3，第2小組的頻數(shù)為12，則抽取的男生人數(shù)是．參考答案：48【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【分析】根據(jù)前3個(gè)小組的頻率之比為1：2：3，可設(shè)前三組的頻率為x，2x，3x，再根據(jù)所以矩形的面積和為1建立等量關(guān)系，求出x，最后根據(jù)樣本容量等于頻數(shù)除以頻率求出所求．【解答】解：由題意可設(shè)前三組的頻率為x，2x，3x，則6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人數(shù)為故答案為：48．13.設(shè)為單位向量，非零向量，若的夾角為，則的最大值等于．參考答案：考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．分析：利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解答：解：||===，只考慮x＞0，則===，當(dāng)且僅當(dāng)=﹣時(shí)取等號(hào)．∴則的最大值等于．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14.對(duì)任意正整數(shù)，定義的雙階乘如下：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，?，F(xiàn)有四個(gè)命題：①；②；③個(gè)位數(shù)為0；④個(gè)位數(shù)為5。其中正確命題的序號(hào)有______________。參考答案：①③④略15.已知某程序框圖如圖所示，若輸入的x值為–1，則輸出的值為___________。參考答案：16.已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，P為左支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)△PAF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為．參考答案：【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出左焦點(diǎn)H的坐標(biāo)，由雙曲線的定義可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，求得2a+|AH|的值，即可求出△PAF周長(zhǎng)的最小值，同時(shí)求出直線AH的方程，聯(lián)立雙曲線的方程，解方程可得P的坐標(biāo)．【解答】解：∵F是雙曲線的右焦點(diǎn)，∴a=1，b=2，c=3，F(xiàn)（3，0），左焦點(diǎn)為H（﹣3，0），由雙曲線的定義可得|PF|﹣|PH|=2a=2，（P在左支上），又點(diǎn)，|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=2+=2+15=17，∵|AF|==15，∴當(dāng)且僅當(dāng)A，P，H共線時(shí)，△PAF周長(zhǎng)取得最小值為17+15=32．由直線AH：+=1，代入雙曲線，解得x=﹣2，y=2，即有P（﹣2，2），故答案為：（﹣2，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，把|PF|+|PA|化為2a+|PH|+|PA|是解題的關(guān)鍵．17.在ΔABC中,若,則

________參考答案：-6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題12分）已知正方體，求：（1）異面直線與所成的角；（2）求與平面所成的角；（3）求二面角的大小。參考答案：（1）60度（2）45度（3）45度19.已知函數(shù)f（x）=（x﹣a）|x﹣2|，g（x）=2x+x﹣2，其中a∈R．（1）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；（2）如果對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈[0，1]，總存在實(shí)數(shù)n∈[0，2]，使得不等式f（m）≤g（n）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問題；3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】（1）利用絕對(duì)值的定義，去掉絕對(duì)值，將函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，再對(duì)分段函數(shù)的每一段研究它的單調(diào)性，即可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）將問題轉(zhuǎn)化為f（x）在[0，1]上的最大值小于等于g（x）在[0，2]上的最大值，即分別求f（x）在[0，1]上的最大值和g（x）在[0，2]上的最大值．對(duì)于g（x）易判斷出它的單調(diào)性，即可求得g（x）在[0，2]上的最大值；對(duì)于f（x），結(jié)合（1）的結(jié)論，分類討論即可求得f（x）在[0，1]上的最大值．列出不等式，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=（x﹣a）|x﹣2|，∴，①當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是（﹣∞，+∞），f（x）無(wú)減區(qū)間；②當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是（﹣∞，2），，f（x）的遞減區(qū)間是；③當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是，（2，+∞），f（x）的遞減區(qū)間是．（2）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈[0，1]，總存在實(shí)數(shù)n∈[0，2]，使得不等式f（m）≤g（n）成立，∴f（x）在[0，1]上的最大值小于等于g（x）在[0，2]上的最大值，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，g（x）=2x+x﹣2單調(diào)遞增，∴g（x）max=g（2）=4．當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=﹣（x﹣a）（x﹣2）=﹣x2+（2+a）x﹣2a，①當(dāng)，即a≤﹣2時(shí)，f（x）max=f（0）=﹣2a，∴g（x）max≤f（x）max，即﹣2a≤4，解得a≥﹣2，∴a=﹣2；

②當(dāng)，即﹣2＜a≤0時(shí)，f（x）max=，∴g（x）max≤f（x）max，即，解得﹣2≤a≤6，∴﹣2＜a≤0；

③當(dāng)，即a＞0時(shí)，f（x）max=f（1）=1﹣a，∴g（x）max≤f（x）max，即1﹣a≤4，解得a≥﹣3，∴a＞0．綜合①②③，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣2，+∞）．20.（本小題滿分10分）如圖，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝，E是PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求異面直線AD與BE所成角的大小．參考答案：（本小題滿分10分）如圖，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝，E是PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求異面直線AD與BE所成角的大?。C明：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接EO，∵四邊形ABCD為矩形，∴O為AC的中點(diǎn)．∴OE為△PAC的中位線．

∴PA∥OE，而OE平面EDB，PA平面EBD，∴PA∥平面EDB.

……………4分（Ⅱ）方法一：∵AD∥BC，∴就是異面直線AD與BE所成的角或補(bǔ)角.………6分

∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴BC⊥PD.又四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥DC．又因?yàn)镻DDC=D，所以BC⊥平面PDC.

在BCE中，BC＝，EC＝，∴.

即異面直線AD與BE所成角大小為．

……………10分略21.已知x=1是函數(shù)f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一個(gè)極值點(diǎn)，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m與n的關(guān)系表達(dá)式；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）由x=1是函數(shù)f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一個(gè)極值點(diǎn)，求導(dǎo)，則f′（1）=0，求得m與n的關(guān)系表達(dá)式；（II）根據(jù)（I），代入f（x）中，求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0，求得單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0，求得單調(diào)減區(qū)間．【解答】解：（I）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n，因?yàn)閤=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f′（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0，所以n=3m+6．（II）由（I）知，．當(dāng)m＜0時(shí)，有，當(dāng)