山西省太原市太鋼第五十四中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山西省太原市太鋼第五十四中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足：

，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，則的取值范圍為 （

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B略2.在△ABC中，，，則sinC=（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】求出，由余弦定理求得與的關(guān)系，再用正弦定理求解．【詳解】∵，∴．又，，又，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，解題關(guān)鍵正確選用公式，要確定先用哪個(gè)公式，再用哪個(gè)公式．3.函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：C4.已知函數(shù)f（x）=2x﹣b（2≤x≤4，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），則f（x）的值域?yàn)椋ǎ〢．[4，16] B．[2，10] C．[，2] D．[，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】由題意把點(diǎn)（3，1）代入解析式，化簡(jiǎn)后求出b的值，由x的范圍和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2x﹣b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），所以1=23﹣b，則3﹣b=0，解得b=3，則函數(shù)f（x）=2x﹣3，由2≤x≤4得，﹣1≤x﹣3≤1，則2x﹣3≤2，所以f（x）的值域?yàn)閇，2]，故選C．5.若a>l，設(shè)函數(shù)f（x）=ax+x－4的零點(diǎn)為m，函數(shù)g（x）=logax+x－4的零點(diǎn)為n，則的最小值為（

）A．1

B．2

C．4

D．8參考答案：A6.已知函數(shù),,，，（

）.

.

.

.參考答案：C略7.將函數(shù)的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m的最小值是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】函數(shù)解析式提取2變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用平移規(guī)律得到平移后的解析式，根據(jù)所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴m+=kπ+（k∈Z），則m的最小值為．故選B【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．8.已知且若，則[x]+[y]等于（其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)

（

）

A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B

解析：因?yàn)椋?/p>

所以

所以9.設(shè)滿(mǎn)足不等式組，若的最大值為，最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

A.

B.

C.

D.參考答案：B試題分析：一般作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.三個(gè)交點(diǎn),,代入得:考點(diǎn)：線(xiàn)性規(guī)劃,最優(yōu)解10.函數(shù)與的圖象關(guān)于下列那種圖形對(duì)稱(chēng)A

軸

B

軸

C

直線(xiàn)

D

原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在數(shù)列中，，，那么的通項(xiàng)公式是

。參考答案：12.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.參考答案：或【分析】分別在、和三種情況下，利用單調(diào)性得到最大值點(diǎn)，利用最大值構(gòu)造方程求得.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意②當(dāng)時(shí)，為開(kāi)口方向向上，對(duì)稱(chēng)軸為的二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，，解得：③當(dāng)時(shí)，為開(kāi)口方向向下，對(duì)稱(chēng)軸為的二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，，解得：本題正確結(jié)果：或【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)值的問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略二次項(xiàng)系數(shù)是否為零和開(kāi)口方向的討論.13.不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________參考答案：略14.調(diào)查了某地若干戶(hù)家庭的年收x（單位：萬(wàn)元）和年飲食支出y（單位：萬(wàn)元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，井由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線(xiàn)方程．由回歸直線(xiàn)方程可知，家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年飲食支出平均增加萬(wàn)元．參考答案：0.254略15.已知直線(xiàn)與圓交于A，B兩點(diǎn)，若，則a=____.參考答案：【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式與圓的垂徑定理求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離：，由得，解得.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的應(yīng)用.此題也可聯(lián)立圓與直線(xiàn)方程，消元后用弦長(zhǎng)公式求解.16.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么時(shí)，

。

參考答案：略17.定義：區(qū)間[m，n]、(m，n]、[m，n)、(m，n)（n>m）的區(qū)間長(zhǎng)度為；若某個(gè)不等式的解集由若干個(gè)無(wú)交集的區(qū)間的并表示，則各區(qū)間的長(zhǎng)度之和稱(chēng)為解集的總長(zhǎng)度。已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域均為[-3，3]，則不等式解集的總長(zhǎng)度的取值范圍是_________。參考答案：[0，3]∵是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，∴若，使得，則，∴解集的總長(zhǎng)度至多為，例如，。如果函數(shù)的解集總長(zhǎng)度不為0，則解集的總長(zhǎng)度相應(yīng)減少，直至為0?！嘟饧目傞L(zhǎng)度的取值范圍是[0，3]。

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知直線(xiàn)，圓C：.試證明：不論為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)取何值時(shí)，直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，并求出最短弦的長(zhǎng)。參考答案：解：（1）方法1：由∵Δ＞0∴不論為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)。方法2：圓心C（1，－1）到直線(xiàn)的距離，圓C的半徑，而＜0，即＜R，∴不論為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)。方法3：不論為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)總過(guò)點(diǎn)A（0，1），而＜R，∴點(diǎn)A（0，1）在圓C的內(nèi)部，即不論為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)總經(jīng)過(guò)圓C內(nèi)部的定點(diǎn)A?！嗖徽摓楹螌?shí)數(shù)，直線(xiàn)和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)。（2）當(dāng)定點(diǎn)(0,1)為弦的重中點(diǎn)時(shí)，所截得的弦最短，此時(shí)k=-1故k=，此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離d=，弦長(zhǎng)=2=4略19.（16分）已知函數(shù)f（x）=lg，其定義域?yàn)閇﹣9，9]，且在定義域上是奇函數(shù)，a∈R（1）求a的值；（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；（3）若函數(shù)g（x）=|f（x）+1|﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）由奇函數(shù)的定義，得f（﹣x）=﹣f（x），求出a的值；（2）函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷并證明f（x）在定義域上的單調(diào)性即可；（3）考查函數(shù)y=|f（x）+1|的圖象與性質(zhì)，得出g（x）=|f（x）+1|﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|f（x）+1|=m有兩個(gè)互異實(shí)根，?求出滿(mǎn)足條件的m的取值范圍即可．解答： （1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lg是定義域?yàn)閇﹣9，9]上的奇函數(shù)，所以f（﹣x）=﹣f（x），即lg=﹣lg，…（2分）所以=，即a2﹣x2=100﹣x2，則a2=100，得a=10或a=﹣10；當(dāng)a=﹣10時(shí)，f（x）=lg（﹣1）無(wú)意義，所以a=10；…（4分）（注：若用f（0）=0解得a=10，未加以代入檢驗(yàn)扣2分）（2）由（1）知函數(shù)f（x）=lg，該函數(shù)是定義域上的減函數(shù)；…（5分）證明：設(shè)x1、x2為區(qū)間[﹣9，9]上的任意兩個(gè)值，且x1＜x2，則x2﹣x1＞0，…（6分）f（x1）﹣f（x2）=lg﹣lg=lg；…（8分）因?yàn)閇100﹣x1x2+10（x2﹣x1）]﹣[100﹣x1x2+10（x1﹣x2）]=20（x2﹣x1）＞0，所以100﹣x1x2+10（x2﹣x1）＞100﹣x1x2+10（x1﹣x2），又因?yàn)?00﹣x1x2+10（x1﹣x2）=（10+x1）（10﹣x2）＞0，所以100﹣x1x2+10（x2﹣x1）＞100﹣x1x2+10（x1﹣x2）＞0；則＞1，lg＞0，所以f（x1）＞f（x2）；所以函數(shù)f（x）=lg是定義域上的減函數(shù)；

…（10分）（3）|f（x）+1|=，要使g（x）=|f（x）+1|﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|f（x）+1|=m有兩個(gè)互異實(shí)根，…（11分）?當(dāng)﹣9≤x≤時(shí)，y=|f（x）+1|=lg+1在區(qū)間[﹣9，]上單調(diào)減，所以函數(shù)y=|f（x）+1|的值域?yàn)閇0，1+lg19]；…（13分）?當(dāng)≤x≤9時(shí)，y=|f（x）+1|=﹣lg﹣1在區(qū)間[，9]上單調(diào)增，所以函數(shù)y=|f（x）+1|的值域?yàn)閇0，﹣1+lg19]；…（15分）所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0，﹣1+lg19]．…（16分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．20.（12分）函數(shù)內(nèi)取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，且當(dāng)時(shí)，有最大值3；當(dāng)時(shí)，有最小值-3.（1）求此函數(shù)的解析式；（2）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。參考答案：21.（12分）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求AB邊上的高所在直線(xiàn)的方程；（2）求AC邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程．參考答案：（1）∵A（4，0），B（6，6），C（0，2），∴=3，∴AB邊上的高所在直線(xiàn)的斜率k=﹣，∴AB邊上的高所在直線(xiàn)的方程為y﹣2=﹣，整理，得x+3y﹣6=0．（2）∵AC邊的中點(diǎn)為（2，1），∴AC邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，整理，得5x﹣4y﹣5=0．22.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足（n∈N*），a1=1．（1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若記bn為滿(mǎn)足不等式()n＜ak≤()n-1(n∈N*)的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，求關(guān)于n的不等式Sn＜4032的最大正整數(shù)解．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）對(duì)條件式取倒數(shù)，移項(xiàng)即可得出﹣=，故而數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出即可得出an；（2）根據(jù)不等式得出bn，利用錯(cuò)位相減法求出Sn，從而得出Sn＜4032的最大正整數(shù)解．【解答】解：（1）∵，∴﹣=1，即﹣=，又=1，∴{}是以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴=1+（n﹣1）=n+，∴an=．（2）∵（）n＜ak≤（）n﹣1，即（）n＜≤（）n﹣1，∴2n﹣1＜k≤2n+1﹣1，∴bn=2n+1﹣1﹣（2n﹣1