山西省忻州市曹張聯(lián)合學(xué)校高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

山西省忻州市曹張聯(lián)合學(xué)校高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)是虛數(shù)單位，則“x=－3”是“復(fù)數(shù)z=（x2+2x－3）+（x－1）i為純數(shù)”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C若復(fù)數(shù)z=（x2+2x－3）+（x－1）i為純虛數(shù)，則，所以“x=－3”是“復(fù)數(shù)z=（x2+2x－3）+（x－1）i為純虛數(shù)”的充要條件。2.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2﹣2x，則函數(shù)g（x）=f（x）+1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)零點(diǎn)的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：若x＜0，﹣x＞0，則f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2﹣2x，x＜0，當(dāng)x≥0時(shí)，由g（x）=f（x）+1=0得x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，得x=1，當(dāng)x＜0時(shí)，由g（x）=f（x）+1=0得﹣x2﹣2x+1=0，即（x2+2x﹣1=0．即（x﹣1）2=2，得x=1+（舍）或x=1﹣，故函數(shù)g（x）=f（x）+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．3.一個(gè)體積為12的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的側(cè)視圖的面積為（）A．6 B．8 C．8 D．12參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】此幾何體是一個(gè)正三棱柱，正視圖即內(nèi)側(cè)面，底面正三角形的高是，由正三角形的性質(zhì)可以求出其邊長(zhǎng)，由于本題中體積已知，故可設(shè)出棱柱的高，利用體積公式建立起關(guān)于高的方程求高，再由正方形的面積公式求側(cè)視圖的面積即可．【解答】解：設(shè)棱柱的高為h，由左視圖知，底面正三角形的高是，由正三角形的性質(zhì)知，其邊長(zhǎng)是4，故底面三角形的面積是=4由于其體積為，故有h×=，得h=3由三視圖的定義知，側(cè)視圖的寬即此三棱柱的高，故側(cè)視圖的寬是3，其面積為3×=故選A4.平行四邊形中，=（1，0），=（2，2），則等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.已知，，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】利用奇偶性的定義可知在為R上的偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)可知在區(qū)間單調(diào)遞增，于是，，即為，由函數(shù)的性質(zhì)可得，，從而等價(jià)轉(zhuǎn)化為，恒成立，不等號(hào)兩側(cè)分別構(gòu)造函數(shù)，求得構(gòu)造的左側(cè)函數(shù)的最大值及右側(cè)函數(shù)的最小值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸镽上的偶函數(shù)，又，，在R上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增．不等式，由偶函數(shù)性質(zhì)可得：，即，由函數(shù)的單調(diào)性可得：，，，恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，；令，，，，故在區(qū)間單調(diào)遞減，，，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法是通過(guò)分類討論、分離變量等方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化過(guò)程中的等價(jià)性.6.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）

A．

B.

Ｃ.１Ｄ.３參考答案：A略7.在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)都加6后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是A.眾數(shù)

B..平均數(shù)

C.中位數(shù)

D.標(biāo)準(zhǔn)差參考答案：D8.將函數(shù)的圖象按向量平移后，得到的圖象，則

（

）

A．=（1，2）

B．=（1，－2）

C．=（－1，2）

D．=（－1，－2）參考答案：D9.若為奇函數(shù)，則的解集為A.

B.

C.

D.參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合運(yùn)用根據(jù)奇函數(shù)特性得即a=1得到，因此這是單調(diào)遞減函數(shù)，故即x>0【點(diǎn)評(píng)】：嚴(yán)格按照定義挖掘已知條件，注意觀察函數(shù)特殊值；本題屬于中檔題10.設(shè)向量，，定義一種向量積：．已知向量，，點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則在區(qū)間上的最大值是A．4

B．2

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某大學(xué)對(duì)1000名學(xué)生的自主招生水平測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本頻率分布直方圖如下圖所示，現(xiàn)規(guī)定不低于70分為合格，則合格人數(shù)是

參考答案：60012.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，，點(diǎn)為內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的最大值等于

參考答案：13.已知經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且，若直線AB被圓所截得的弦長(zhǎng)為4，則p=______.參考答案：或6拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入有，設(shè)，從而①，，②由可得③，聯(lián)立①②③可得，于是直線方程為，即，從而圓心到直線的距離為，又圓的半徑為，弦長(zhǎng)為4，從而有，解得或6。14.若在區(qū)間[0，1]上存在實(shí)數(shù)x使2x（3x+a）＜1成立，則a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，1）考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：2x（3x+a）＜1可化為a＜2﹣x﹣3x，則在區(qū)間[0，1]上存在實(shí)數(shù)x使2x（3x+a）＜1成立，等價(jià)于a＜（2﹣x﹣3x）max，利用函數(shù)的單調(diào)性可求最值．解答： 解：2x（3x+a）＜1可化為a＜2﹣x﹣3x，則在區(qū)間[0，1]上存在實(shí)數(shù)x使2x（3x+a）＜1成立，等價(jià)于a＜（2﹣x﹣3x）max，而2﹣x﹣3x在[0，1]上單調(diào)遞減，∴2﹣x﹣3x的最大值為20﹣0=1，∴a＜1，故a的取值范圍是（﹣∞，1），故答案為：（﹣∞，1）．點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，注意“存在”與“恒成立”問(wèn)題的區(qū)別與聯(lián)系是解題關(guān)鍵．15.在數(shù)列中，，，則參考答案：16.已知n=（2x+1）dx，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n﹣35，n∈N*，則bnSn的最小值為．參考答案：﹣25【考點(diǎn)】定積分；數(shù)列的求和．【分析】由題意，先由微積分基本定理求出an再根據(jù)通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)求出數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，bn=n﹣35，n∈N*，則bnSn=×（n﹣35）=n+1+﹣37≥2×6﹣37=﹣25，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)n+1=，即n=5時(shí)成立，故bnSn的最小值為﹣25．故答案為：﹣2517.如圖邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)分別在軸，軸正半軸上移動(dòng)，則的最大值是

參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常數(shù))是奇函數(shù)，且滿足f(1)＝，f(2)＝．(1)求a、b、c的值；(2)試判斷函數(shù)f(x)在(0，)上的單調(diào)性并說(shuō)明理由；(3)試求函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值．參考答案：(1)∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＋f(x)＝0.即－ax－＋c＋ax＋＋c＝0，∴c＝0.由f(1)＝，f(2)＝，得a＋b＝，2a＋＝，解得a＝2，b＝．∴a＝2，b＝，c＝0.(2)由(1)知，f(x)＝2x＋，∴f′(x)＝2－．當(dāng)x∈(0，)時(shí)，0<2x2<，則>2.∴f′(x)<0.∴函數(shù)f(x)在(0，)上為減函數(shù)．(3)由f′(x)＝2－＝0，x>0，得x＝．∵當(dāng)x>時(shí)，<2，∴f′(x)>0，即函數(shù)f(x)在(，＋∞)上為增函數(shù)．又由(2)知x＝處是函數(shù)的最小值點(diǎn)，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值為f()＝2.19.如圖1，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD為正方形，E為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)．該四棱錐的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．（Ⅰ）求四面體PBFC的體積；（Ⅱ）證明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）證明：平面PFC⊥平面PCD．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（I）利用左視圖可得F為AB的中點(diǎn)，即可得到三角形BFC的面積，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面體PBFC的底面BFC上的高，利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得到；（II）利用三角形的中位線定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性質(zhì)可得AF∥CD，，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得到AE∥FQ，利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（III）利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，從而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性質(zhì)可得AE⊥PD，利用線面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：由左視圖可得F為AB的中點(diǎn)，∴△BFC的面積為．∵PA⊥平面ABCD，∴四面體PBFC的體積為=．（Ⅱ）證明：取PC中點(diǎn)Q，連接EQ，F(xiàn)Q．由正（主）視圖可得E為PD的中點(diǎn)，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四邊形AFQE為平行四邊形，∴AE∥FQ．∵AE?平面PFC，F(xiàn)Q?平面PFC，∴直線AE∥平面PFC．（Ⅲ）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD為正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E為PD中點(diǎn)，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ?平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．【點(diǎn)評(píng)】正確理解三視圖，熟練掌握三角形BFC的面積、三棱錐的體積計(jì)算公式、三角形的中位線定理、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、面面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．20.（12分）某商場(chǎng)為刺激消費(fèi)，擬按以下方案進(jìn)行促銷：顧客每消費(fèi)500元便得到抽獎(jiǎng)券一張，每張抽獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為，若中獎(jiǎng)，商場(chǎng)返回顧客現(xiàn)金100元．某顧客現(xiàn)購(gòu)買價(jià)格為2300的臺(tái)式電腦一臺(tái)，得到獎(jiǎng)券4張.(Ⅰ)設(shè)該顧客抽獎(jiǎng)后中獎(jiǎng)的抽獎(jiǎng)券張數(shù)為，求的分布列；(Ⅱ)設(shè)該顧客購(gòu)買臺(tái)式電腦的實(shí)際支出為（元），用表示，并求的數(shù)學(xué)期望.參考答案：解析：(Ⅰ)的所有可能值為0，1，2，3，4.…………1分，，，.

……4分其分布列為：01234…………6分

(Ⅱ)，

.

…………8分由題意可知，

…………10分元.

…………12分21.已知函數(shù)（）的最小正周期為．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．若在上至少含有個(gè)零點(diǎn)，求的最小值．參考答案：解：（Ⅰ）由題意得

由周期為，得.