山西省忻州市繁峙縣砂河鎮(zhèn)砂河中學2021年高二數學理模擬試卷含解析

山西省忻州市繁峙縣砂河鎮(zhèn)砂河中學2021年高二數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.同時具有性質“①最小正周期是π”②圖象關于對稱；③在上是增函數的一個函數可以是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】利用所給條件逐條驗證，最小正周期是得出，把②③分別代入選項驗證可得.【詳解】把代入A選項可得，符合；把代入B選項可得，符合；把代入C選項可得，不符合，排除C；把代入D選項可得，不符合，排除D；當時，，此時為減函數；當時，，此時為增函數；故選B.【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質，側重考查直觀想象的核心素養(yǎng).2.一個三位數的百位，十位，個位上的數字依次是a，b，c，當且僅當時稱為“凹數”，若，從這些三位數中任取一個，則它為“凹數”的概率是A. B. C. D.參考答案：C【分析】先分類討論求出所有的三位數，再求其中的凹數的個數，最后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】先求所有的三位數，個位有4種排法，十位有4種排法，百位有4種排法，所以共有個三位數.再求其中的凹數，第一類：凹數中有三個不同的數，把最小的放在中間，共有種，第二類，凹數中有兩個不同的數，將小的放在中間即可，共有種方法，所以共有凹數8+6=14個，由古典概型的概率公式得P=.故答案為：C【點睛】本題主要考查排列組合的運用，考查古典概型的概率，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.3.直線的傾斜角的大小是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.過圓內點 有幾條弦，這幾條弦的長度成等差數列，如果過點的圓的最短的弦長為，最長的弦長為，且公差，那么n的取值集合為（

）

（A）.

（B）.

（C）.

（D）.參考答案：A略5.設是橢圓上一動點，是橢圓的兩個焦點，則的最大值為[來A.3

B.4

C.5

D.16參考答案：B6.下列說法中正確的是（）A.先把高二年級的2000名學生編號：1到2000，再從編號為1到50的學生中隨機抽取1名學生，其編號為m，然后抽取編號為m+50，m+100，m+150，……的學生，這種抽樣方法是分層抽樣法.B.線性回歸直線不一定過樣本中心.C.若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數r的值越接近于1.D.若一組數據2,4,a,8的平均數是5，則該組數據的方差也是5.參考答案：D7.若函數滿足,且，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.函數y=sin(2x+)的圖象可看成是把函數y=sin2x的圖象做以下平移得到（

）

A.向右平移

B.向左平移

C.向右平移

D.向左平移

參考答案：B略9.下列說法正確的是（）A．若直線a與平面α內無數條直線平行，則a∥αB．經過兩條異面直線中的一條，有一個平面與另一條直線平行C．平行于同一平面的兩條直線平行D．直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】A，若直線a與平面α內無數條直線平行，則可能a?α；B．平移其中一條異面直線使兩異面直線相交兩條異面直線可確定一個平面，而這條直線與平面中的一條直線平行；C，行于同一平面的兩條直線位置關系不能確定；D，直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c可能是異面直線；【解答】解：對于A，若直線a與平面α內無數條直線平行，則可能a?α，故錯；對于B．平移其中一條異面直線使兩異面直線相交兩條異面直線可確定一個平面，而這條直線與平面中的一條直線平行，故正確；對于C，平行于于同一平面的兩條直線位置關系不能確定，故錯；對于D，直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c可能是異面直線，故錯；故選：B10.下列命題中，正確的命題個數(

)①用相關系數r來判斷兩個變量的相關性時，r越接近0，說明兩個變量有較強的相關性；②將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差恒不變；③設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，則P(－1＜ξ≤0)＝－p；④回歸直線一定過樣本點的中心．A．1個B．2個

C．3個

D．4個參考答案：C①錯誤，r越接近0，說明兩個變量有較弱的相關性；②正確，據公式易知，將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差不變，一般地，E(aξ＋b)＝aEξ＋b，D(aξ＋b)＝a2Dξ(a，b為常數)；③正確，據正態(tài)分布的對稱性易得P(－1＜ξ≤0)＝；④正確，回歸直線一定過樣本點的中心，這個作為一個性質考生應理解并熟記它．綜上可知共有3個正確命題，故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知y=f（x）是奇函數，當x∈（0，2）時，f（x）=alnx﹣ax+1，當x∈（﹣2，0）時，函數f（x）的最小值為1，則a=

．參考答案：2【考點】3L：函數奇偶性的性質．【分析】由奇函數f（x）的圖象關于原點對稱，由題意可得當x∈（0，2）時，f（x）的最大值為﹣1，求得當x∈（0，2）時，f（x）的導數和單調區(qū)間，確定a＞0，f（1）為最大值﹣1，解方程可得a的值．【解答】解：y=f（x）是奇函數，可得f（x）的圖象關于原點對稱，由當x∈（﹣2，0）時，函數f（x）的最小值為1，可得當x∈（0，2）時，f（x）的最大值為﹣1．由f（x）=alnx﹣ax+1的導數為f′（x）=﹣a=，由函數在（0，2）上取得最大值，可得a＞0，f（x）在（1，2）遞減，在（0，1）遞增．最大值為f（1）=1﹣a=﹣1，解得a=2，故答案為：2．12.“”是“”成立的

條件.（從“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中選擇一個正確的填寫）參考答案：充分不必要13.若雙曲線右支上一點P到右焦點的距離為8，則點P到左焦點的距離是.參考答案：16因點P在右支上，點P到左焦點的距離－8＝8，所以點P到左焦點的距離＝16.14.觀察下列等式：+=1+++=12+++++=39…則當m＜n且m，n∈N時，=（最后結果用m，n表示）參考答案：n2﹣m2【考點】F1：歸納推理．【分析】通過觀察，第一個式子為m=0，n=1．第二個式子為m=2，n=4．第三個式子為m=5，n=8，然后根據結果值和m，n的關系進行歸納得到結論．【解答】解：當m=0，n=1時，為第一個式子+=1，此時1=12﹣0，當m=2，n=4時，為第二個式子+++=12，此時12=42﹣22當m=5，n=8時，為第三個式子+++++=39，此時39，=82﹣52由歸納推理可知，=n2﹣m2．故答案為：n2﹣m215.經過點，的雙曲線方程是___________________.

參考答案：略16.已知函數f（x），無論t取何值，函數f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）總是不單調.則a的取值范圍是_____.參考答案：【分析】對于函數求導，可知或時，，一定存在增區(qū)間，若無論t取何值，函數f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）總是不單調.，則不能為增函數求解.【詳解】對于函數，當或時，，當時，，所以一定存在增區(qū)間，若無論t取何值，函數f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）總是不單調.，則不能為增函數，所以，解得.故答案為：【點睛】本題主要考查導數與函數的單調性和分段函數的單調性問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.17.△ABC中，,b,c分別為∠A、∠B、∠C的對邊.如果,b,c成等差數列,∠B=30°,△ABC的面積為，那么b=

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列中，,．（1）求證：數列為等差數列；（2）求數列的通項公式；（3）設，數列的前項和，求證：．參考答案：證明：（1）由得：且，所以數列是以1為首項，以2為公差的等差數列，（2）由（1）得:,故；（3）由得：，∴從而：則略19.已知的展開式的二項式系數的和比(3x－1)n的展開式的二項式系數和大992.求的展開式中，(1)二項式系數最大的項；(2)系數的絕對值最大的項．參考答案：略20.(12分)已知函數的圖象過點和．(1)求函數的解析式；(2)記，，是數列的前n項和，求滿足的值．參考答案：(1)由題意得：

解得：，；(2)，

∵為等差數列∴

由得

∴

∵∴21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，過AD的平面分別交PB，PC于M，N兩點．（Ⅰ）求證：MN∥BC；（Ⅱ）若M，N分別為PB，PC的中點，①求證：PB⊥DN；②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（I）推導出BC∥AD，從而BC∥平面ADNM，由此能證明MN∥BC．（II）①推導出PB⊥MA，DA⊥AB，從而DA⊥PA．再由PB⊥DA，得PB⊥平面ADNM，由此能證明PB⊥DN．②以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz利用向量法能求出二面角P﹣DN﹣A的余弦值．【解答】（本小題滿分14分）證明：（I）因為底面ABCD為直角梯形，所以BC∥AD．因為BC?平面ADNM，AD?平面ADNM，所以BC∥平面ADNM．…因為BC?平面PBC，平面PBC∩平面ADNM=MN，所以MN∥BC．…（II）①因為M，N分別為PB，PC的中點，PA=AB，所以PB⊥MA．…因為∠BAD=90°，所以DA⊥AB．因為PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA．因為PA∩AB=A，所以DA⊥平面PAB．所以PB⊥DA．…因為AM∩DA=A，所以PB⊥平面ADNM，因為DN?平面ADNM，所以PB⊥DN．…解：②如圖，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz．…則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．…由（II）知，PB⊥平面ADNM，所以平面ADNM的法向量為=（﹣2，0，2）．…設平面PDN的法向量為=（x，y，z），因為，，所以．令z=2，則y=2，x=1．所以=（1，2，2），所以cos＜＞===．所以二面角P﹣DN﹣A的余弦值為．…22.（本小題共12分）已知