山西省忻州市繁峙縣砂河鎮(zhèn)砂河中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

山西省忻州市繁峙縣砂河鎮(zhèn)砂河中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.同時(shí)具有性質(zhì)“①最小正周期是π”②圖象關(guān)于對(duì)稱；③在上是增函數(shù)的一個(gè)函數(shù)可以是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】利用所給條件逐條驗(yàn)證，最小正周期是得出，把②③分別代入選項(xiàng)驗(yàn)證可得.【詳解】把代入A選項(xiàng)可得，符合；把代入B選項(xiàng)可得，符合；把代入C選項(xiàng)可得，不符合，排除C；把代入D選項(xiàng)可得，不符合，排除D；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)；故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).2.一個(gè)三位數(shù)的百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次是a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)稱為“凹數(shù)”，若，從這些三位數(shù)中任取一個(gè)，則它為“凹數(shù)”的概率是A. B. C. D.參考答案：C【分析】先分類討論求出所有的三位數(shù)，再求其中的凹數(shù)的個(gè)數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】先求所有的三位數(shù)，個(gè)位有4種排法，十位有4種排法，百位有4種排法，所以共有個(gè)三位數(shù).再求其中的凹數(shù)，第一類：凹數(shù)中有三個(gè)不同的數(shù)，把最小的放在中間，共有種，第二類，凹數(shù)中有兩個(gè)不同的數(shù)，將小的放在中間即可，共有種方法，所以共有凹數(shù)8+6=14個(gè)，由古典概型的概率公式得P=.故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的運(yùn)用，考查古典概型的概率，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.3.直線的傾斜角的大小是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.過圓內(nèi)點(diǎn) 有幾條弦，這幾條弦的長度成等差數(shù)列，如果過點(diǎn)的圓的最短的弦長為，最長的弦長為，且公差，那么n的取值集合為（

）

（A）.

（B）.

（C）.

（D）.參考答案：A略5.設(shè)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最大值為[來A.3

B.4

C.5

D.16參考答案：B6.下列說法中正確的是（）A.先把高二年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào)：1到2000，再從編號(hào)為1到50的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號(hào)為m，然后抽取編號(hào)為m+50，m+100，m+150，……的學(xué)生，這種抽樣方法是分層抽樣法.B.線性回歸直線不一定過樣本中心.C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1.D.若一組數(shù)據(jù)2,4,a,8的平均數(shù)是5，則該組數(shù)據(jù)的方差也是5.參考答案：D7.若函數(shù)滿足,且，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.函數(shù)y=sin(2x+)的圖象可看成是把函數(shù)y=sin2x的圖象做以下平移得到（

）

A.向右平移

B.向左平移

C.向右平移

D.向左平移

參考答案：B略9.下列說法正確的是（）A．若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥αB．經(jīng)過兩條異面直線中的一條，有一個(gè)平面與另一條直線平行C．平行于同一平面的兩條直線平行D．直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】A，若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則可能a?α；B．平移其中一條異面直線使兩異面直線相交兩條異面直線可確定一個(gè)平面，而這條直線與平面中的一條直線平行；C，行于同一平面的兩條直線位置關(guān)系不能確定；D，直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c可能是異面直線；【解答】解：對(duì)于A，若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則可能a?α，故錯(cuò)；對(duì)于B．平移其中一條異面直線使兩異面直線相交兩條異面直線可確定一個(gè)平面，而這條直線與平面中的一條直線平行，故正確；對(duì)于C，平行于于同一平面的兩條直線位置關(guān)系不能確定，故錯(cuò)；對(duì)于D，直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c可能是異面直線，故錯(cuò)；故選：B10.下列命題中，正確的命題個(gè)數(shù)(

)①用相關(guān)系數(shù)r來判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性時(shí)，r越接近0，說明兩個(gè)變量有較強(qiáng)的相關(guān)性；②將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變；③設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，則P(－1＜ξ≤0)＝－p；④回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心．A．1個(gè)B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：C①錯(cuò)誤，r越接近0，說明兩個(gè)變量有較弱的相關(guān)性；②正確，據(jù)公式易知，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，一般地，E(aξ＋b)＝aEξ＋b，D(aξ＋b)＝a2Dξ(a，b為常數(shù))；③正確，據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性易得P(－1＜ξ≤0)＝；④正確，回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心，這個(gè)作為一個(gè)性質(zhì)考生應(yīng)理解并熟記它．綜上可知共有3個(gè)正確命題，故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=alnx﹣ax+1，當(dāng)x∈（﹣2，0）時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為1，則a=

．參考答案：2【考點(diǎn)】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】由奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由題意可得當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）的最大值為﹣1，求得當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，確定a＞0，f（1）為最大值﹣1，解方程可得a的值．【解答】解：y=f（x）是奇函數(shù)，可得f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由當(dāng)x∈（﹣2，0）時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為1，可得當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）的最大值為﹣1．由f（x）=alnx﹣ax+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=﹣a=，由函數(shù)在（0，2）上取得最大值，可得a＞0，f（x）在（1，2）遞減，在（0，1）遞增．最大值為f（1）=1﹣a=﹣1，解得a=2，故答案為：2．12.“”是“”成立的

條件.（從“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中選擇一個(gè)正確的填寫）參考答案：充分不必要13.若雙曲線右支上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為8，則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是.參考答案：16因點(diǎn)P在右支上，點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離－8＝8，所以點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離＝16.14.觀察下列等式：+=1+++=12+++++=39…則當(dāng)m＜n且m，n∈N時(shí)，=（最后結(jié)果用m，n表示）參考答案：n2﹣m2【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】通過觀察，第一個(gè)式子為m=0，n=1．第二個(gè)式子為m=2，n=4．第三個(gè)式子為m=5，n=8，然后根據(jù)結(jié)果值和m，n的關(guān)系進(jìn)行歸納得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)m=0，n=1時(shí)，為第一個(gè)式子+=1，此時(shí)1=12﹣0，當(dāng)m=2，n=4時(shí)，為第二個(gè)式子+++=12，此時(shí)12=42﹣22當(dāng)m=5，n=8時(shí)，為第三個(gè)式子+++++=39，此時(shí)39，=82﹣52由歸納推理可知，=n2﹣m2．故答案為：n2﹣m215.經(jīng)過點(diǎn)，的雙曲線方程是___________________.

參考答案：略16.已知函數(shù)f（x），無論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）總是不單調(diào).則a的取值范圍是_____.參考答案：【分析】對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，可知或時(shí)，，一定存在增區(qū)間，若無論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）總是不單調(diào).，則不能為增函數(shù)求解.【詳解】對(duì)于函數(shù)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以一定存在增區(qū)間，若無論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）總是不單調(diào).，則不能為增函數(shù)，所以，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和分段函數(shù)的單調(diào)性問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.17.△ABC中，,b,c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.如果,b,c成等差數(shù)列,∠B=30°,△ABC的面積為，那么b=

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列中，,．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．參考答案：證明：（1）由得：且，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，（2）由（1）得:,故；（3）由得：，∴從而：則略19.已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和比(3x－1)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.求的展開式中，(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)．參考答案：略20.(12分)已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)和．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求滿足的值．參考答案：(1)由題意得：

解得：，；(2)，

∵為等差數(shù)列∴

由得

∴

∵∴21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，過AD的平面分別交PB，PC于M，N兩點(diǎn)．（Ⅰ）求證：MN∥BC；（Ⅱ）若M，N分別為PB，PC的中點(diǎn)，①求證：PB⊥DN；②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（I）推導(dǎo)出BC∥AD，從而BC∥平面ADNM，由此能證明MN∥BC．（II）①推導(dǎo)出PB⊥MA，DA⊥AB，從而DA⊥PA．再由PB⊥DA，得PB⊥平面ADNM，由此能證明PB⊥DN．②以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz利用向量法能求出二面角P﹣DN﹣A的余弦值．【解答】（本小題滿分14分）證明：（I）因?yàn)榈酌鍭BCD為直角梯形，所以BC∥AD．因?yàn)锽C?平面ADNM，AD?平面ADNM，所以BC∥平面ADNM．…因?yàn)锽C?平面PBC，平面PBC∩平面ADNM=MN，所以MN∥BC．…（II）①因?yàn)镸，N分別為PB，PC的中點(diǎn)，PA=AB，所以PB⊥MA．…因?yàn)椤螧AD=90°，所以DA⊥AB．因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以DA⊥PA．因?yàn)镻A∩AB=A，所以DA⊥平面PAB．所以PB⊥DA．…因?yàn)锳M∩DA=A，所以PB⊥平面ADNM，因?yàn)镈N?平面ADNM，所以PB⊥DN．…解：②如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．…則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．…由（II）知，PB⊥平面ADNM，所以平面ADNM的法向量為=（﹣2，0，2）．…設(shè)平面PDN的法向量為=（x，y，z），因?yàn)?，，所以．令z=2，則y=2，x=1．所以=（1，2，2），所以cos＜＞===．所以二面角P﹣DN﹣A的余弦值為．…22.（本小題共12分）已知