隨機(jī)過程在金融中的應(yīng)用5平穩(wěn)過程

第五章平穩(wěn)過程第一節(jié)基本概念第二節(jié)平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)平穩(wěn)正態(tài)過程與正交增量過程第四節(jié)遍歷性定理第一節(jié)基本概念一、嚴(yán)平穩(wěn)過程定義1若對任意n，任意則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程首頁二、嚴(yán)平穩(wěn)過程的特點(diǎn)1二維概率密度僅與時間差有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)。證同理有一維分布函數(shù)也與t無關(guān)，即一維首頁對于二維概率密度，有證二維其中同理二維分布函數(shù)也僅與時間差有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)，即首頁2若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則證（2）相關(guān)函數(shù)僅是時間差的函數(shù)：記（1）均值函數(shù)為常數(shù)：只對連續(xù)型的情況首頁記三、寬平穩(wěn)過程定義2如果它滿足：則稱為寬平穩(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程首頁當(dāng)T為整數(shù)集或注2注1嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程。平穩(wěn)時間序列因?yàn)閲?yán)平穩(wěn)過程不一定是二階矩過程。若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。因?yàn)閷捚椒€(wěn)過程只保證一階矩和二階矩不隨時間推移而改變，這當(dāng)然不能保證其有窮維分布不隨時間而推移。注3利用均值函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)也可討論隨機(jī)過程的平穩(wěn)性。首頁因?yàn)榫岛瘮?shù)協(xié)方差函數(shù)即表示協(xié)方差函數(shù)僅依賴于，而與t無關(guān)，與相關(guān)函數(shù)相同。首頁例1試討論隨機(jī)變量序列的平穩(wěn)性。且均值和方差為解因?yàn)樽⒃诳茖W(xué)和工程中，例1中的過程稱為“白噪聲”，它是實(shí)際中最常用的噪聲模型。首頁試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。例2是在[0，1]上服從均勻分布的隨機(jī)變量，其中T={1，2，…}解的密度函數(shù)為所以注例2中的過程是寬平穩(wěn)的，但不是嚴(yán)平穩(wěn)的返回首頁性質(zhì)1第二節(jié)平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)證性質(zhì)2證由許瓦茲不等式得注首頁性質(zhì)3證性質(zhì)4即對任意的2n個實(shí)數(shù)證首頁對于兩個平穩(wěn)過程，重要的是它們是否平穩(wěn)相關(guān)，因此先給出平穩(wěn)相關(guān)概念。二、互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)定義1平穩(wěn)相關(guān)注兩個平穩(wěn)過程當(dāng)它們的互相關(guān)函數(shù)僅依賴于時，它們才是平穩(wěn)相關(guān)的。首頁證性質(zhì)5

性質(zhì)6證性質(zhì)7證首頁證性質(zhì)8由性質(zhì)7得而有兩個數(shù)的幾何平均值不超過它們的算術(shù)平均值得證性質(zhì)9則和也是平穩(wěn)過程。其相關(guān)函數(shù)為則首頁則積性質(zhì)10也是平穩(wěn)過程其相關(guān)函數(shù)為例1設(shè)有兩個隨機(jī)過程其中U和V是均值都為零、方差都為的不相關(guān)隨機(jī)變量，試討論它們的平穩(wěn)性，并求自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)。首頁因?yàn)榻馑酝瑯涌汕蟮檬醉摲祷厥醉摰谌?jié)平穩(wěn)正態(tài)過程與正交增量過程一、平穩(wěn)正態(tài)過程

定義1則稱為平穩(wěn)正態(tài)過程。注平穩(wěn)正態(tài)過程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。證由于首頁正態(tài)過程的n維特征函數(shù)為由過程的平穩(wěn)性得所以對任一，有首頁即是一個嚴(yán)平穩(wěn)過程。即特征函數(shù)不因時間推移而改變。由特征函數(shù)與分布函數(shù)的唯一確定性，必有這表明的一切有限維分布也不隨時間推移而改變，說明對正態(tài)過程，寬平穩(wěn)過程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程；嚴(yán)平穩(wěn)過程也一定是寬平穩(wěn)過程。首頁則稱為正交增量過程。二、正交增量過程定義2有定理1且則首頁證取其中則有即所以同樣可得故返回首頁第四節(jié)遍歷性定理介紹從一次試驗(yàn)所獲得的一個樣本函數(shù)來決定隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)，從而就可以得到該過程的全部信息，即遍歷性問題。

定義1一、基本概念稱為沿整個時間數(shù)軸上的時間均值；稱為沿整個時間數(shù)軸上的時間相關(guān)函數(shù)首頁定義2若則稱的均值具有遍歷性；則稱的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性如果均值、相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性若則稱具有遍歷性，或者說是遍歷的首頁例1是否具有遍歷性。解首頁故有即此過程是遍歷的。首頁例2研究隨機(jī)過程的遍歷性其中Y為隨機(jī)變量，且解因?yàn)閅為隨機(jī)變量，且存在有限的二階矩，所以由此知是平穩(wěn)過程，由于不是常數(shù)故即不是遍歷的首頁

注遍歷性隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，但平穩(wěn)過程不一定具備遍歷性。引理二、遍歷性定理且則其中首頁證由均方可積條件得所以首頁為應(yīng)用方便，化簡上式令則于是首頁定理1均值遍歷性定理首頁證由引理得從而故首頁注則可表示為定理2自相關(guān)函數(shù)遍歷性定理則相關(guān)函數(shù)具有遍歷性的充要條件為首頁其中證注則首頁三、均值函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式1求相關(guān)函數(shù)常用的兩種方法：2未知的表達(dá)形式時，用統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)求相關(guān)函數(shù)的近似值。在實(shí)際應(yīng)用中，的表達(dá)形式常常不能給出，因此下面介紹第二種方法。如果試驗(yàn)只在時間[0，T]上給出了的一個樣本函數(shù)，則均值和相關(guān)函數(shù)有以下近似估計(jì)式：首頁用上式估計(jì)m與的方法，通常稱為數(shù)字方法，或稱均值與