山西省忻州市門限石中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

山西省忻州市門限石中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)，若，，，則有（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D，在上為減函數(shù)，且時(shí)，時(shí)，，且，，且，且，，在上單調(diào)遞減，，即，故選D.

2.把一副三角板ABC與ABD擺成如圖所示的直二面角D－AB－C，則異面直線DC與AB所成角的正切值為

A．

B．C．

D．不存在

參考答案：B3.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D試題分析：因函數(shù)是奇函數(shù)，故考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)4.若函數(shù)f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定義域和值域都為R，則a的取值范圍是(A).a＝－1或3

(B).a>3或a<－1

(C).a＝－1

(D).－1<a<3參考答案：C5.設(shè)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：A6.已知直線：x+ay+6=0和:（a-2）x+3y+2a=0，則∥的充要條件是a=（

）

A．3

B．1

C．-1

D．3或-1參考答案：C略7.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，則?=（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3參考答案：B【考點(diǎn)】余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】解三角形．【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則變形，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，∴由余弦定理得：cosB=====，即ac=2，則?=﹣cacosB=﹣．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．9.已知數(shù)列滿足（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.設(shè)，，，則（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算將變形為和，根據(jù)真數(shù)相同的對(duì)數(shù)的大小關(guān)系可比較出三個(gè)數(shù)之間的大小.【詳解】；又

本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象比較大小的問題，關(guān)鍵是能利用對(duì)數(shù)運(yùn)算將三個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的形式.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

D2【答案解析】36

解析：由，得，即，所以.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得結(jié)論.12.已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離｜MF｜＝4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=________.參考答案：313.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}滿足A∩B＝{2}，則實(shí)數(shù)a＝

.參考答案：【解析】由答案：14.已知參考答案：略15.某所學(xué)校計(jì)劃招聘男教師名,女教師名,和須滿足約束條件，則該校招聘的教師最多是

名.參考答案：1016.如題15圖所示，過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交C于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別向C的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，已知四邊形的面積分別為15和7，則的面積為

。參考答案：提示：首先證，然后有題意有兩式作積得解這個(gè)方程得

17.右圖是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的k＝

▲

．參考答案：11略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx)+2（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（Ⅰ）由三角函數(shù)化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由x∈結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)逐步計(jì)算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解答】解：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得=?2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函數(shù)f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函數(shù)的最大值和最小值分別為5，2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性及最值，屬中檔題．19.在某次水下科研考察活動(dòng)中，需要潛水員潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，潛水員下潛的平均速度為v（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間的用氧量為（升），在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間，每單位時(shí)間用氧量為0.9（升），返回水面的平均速度為（米/單位時(shí)間），每單位時(shí)間用氧量為1.5（升），記該潛水員在此次考察活動(dòng)中的總用氧量為y（升）．（1）求y關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求當(dāng)下潛速度v取什么值時(shí)，總用氧量最少．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（1）分別計(jì)算潛入水底用時(shí)、用氧量；水底作業(yè)時(shí)用氧量；返回水面用時(shí)、用氧量，即可得到總用氧量的函數(shù)；（2）利用基本不等式可得，時(shí)取等號(hào)，再結(jié)合c≤v≤15（c＞0），即可求得確定下潛速度v，使總的用氧量最少．【解答】解：（1）由題意，下潛用時(shí)（單位時(shí)間），用氧量為（升），水底作業(yè)時(shí)的用氧量為10×0.9=9（升），返回水面用時(shí)（單位時(shí)間），用氧量為（升），∴總用氧量（v＞0）．（2），令y'=0得，在時(shí)，y'＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，在時(shí)，y'＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，∴此時(shí)時(shí)用氧量最少．當(dāng)時(shí)，[c，15]上遞增，此時(shí)v=c時(shí)，總用氧量最少．20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，．

………………2分由，得曲線在原點(diǎn)處的切線方程是．……3分

（Ⅱ）．

………………4分①當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

……5分當(dāng)，．②當(dāng)時(shí)，令，得，，與的情況如下：↘↗↘

故的單調(diào)減區(qū)間是，；單調(diào)增區(qū)間是．………7分③當(dāng)時(shí)，與的情況如下：↗↘↗

所以的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，時(shí)不合題意．

……10分

當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在上存在最大值．設(shè)為的零點(diǎn)，易知，且．從而時(shí)，；時(shí)，．若在上存在最小值，必有，解得．所以時(shí)，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．12分

當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在上存在最小值．若在上存在最大值，必有，解得，或．所以時(shí)，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．

綜上，的取值范圍是．

………………14分21.已知函數(shù)f（x）=是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】分段函數(shù)f（x）=是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則每一段均為增函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)，左段函數(shù)值不大于右段函數(shù)值，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：根據(jù)函數(shù)f（x）=是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，可得：每一段均為增函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)，左端函數(shù)值不大于右端函數(shù)值，所以，解得4≤a＜8．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4，8）．22.空氣質(zhì)量問題，全民關(guān)注，有需求就有研究，某科研團(tuán)隊(duì)根據(jù)工地常用高壓水槍除塵原理，制造了霧霾神器﹣﹣﹣霧炮，雖然霧炮不能徹底解決問題，但是能在一定程度上起到防霾、降塵的作用，經(jīng)過測(cè)試得到霧炮降塵率的頻率分布直方圖：若降塵率達(dá)到18%以上，則認(rèn)定霧炮除塵有效．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)霧炮除塵有效的概率；（2）現(xiàn)把A市規(guī)劃成三個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域投放3臺(tái)霧炮進(jìn)行除塵（霧炮之間工作互不影響），若在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的3臺(tái)霧炮降塵率都低于18%，則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理，求后期投入費(fèi)用的分布列和期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）估計(jì)霧炮除塵有效的概率P=5×0.05+5×0.04+5×0.03+5×0.01．（2）由（1）可得：在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的3臺(tái)霧炮降塵率都低于18%，則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理，因此在一個(gè)區(qū)域內(nèi)需對(duì)該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進(jìn)行治理的概率P==．后期投入?yún)^(qū)域X～B．后期投入費(fèi)用ξ=20X（萬元）．利用P（ξ=20k）=P（X=k）=即可得出．【解答】解：（1