數(shù)學(xué)物理方程-2-熱傳導(dǎo)方程-1-2

數(shù)學(xué)物理方程第二章熱傳導(dǎo)方程王炯華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院目錄

熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出

初邊值問題的分離變量法

柯西問題的傅里葉變換法定解問題解的唯一性與存在性

解的漸近性態(tài)2/5/20232第2章熱傳導(dǎo)方程

2/5/202332.1

熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程2/5/20234問題背景熱傳導(dǎo)方程是一種典型的拋物型方程。它可以描述空間中熱量傳導(dǎo)、分子擴散等物理現(xiàn)象。熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出2/5/20235

熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出2/5/20236

熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出2/5/20237根據(jù)熱量守恒定律，由上述兩式可得

熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出2/5/20238由于時刻t1,t2及區(qū)域Ω都是任意的，可得上式稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程。

此式即為標(biāo)準(zhǔn)形式的齊次熱傳導(dǎo)方程。熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出2/5/20239

基于上式，并通過類似的推導(dǎo)可得

定解問題的提法2/5/202310若已知物體在邊界上的溫度狀況（或熱交換狀況）和物體在初始時刻的溫度，就可以完全確定物體在以后時刻的溫度。因此，熱傳導(dǎo)方程的定解問題中也需要提出初始條件與邊界條件。初始條件的提法

定解問題的提法2/5/202311邊界條件的提法：第一類邊界條件（狄利克雷邊界條件）：設(shè)物體表面的溫度隨時間的變化是已知的。此時邊界條件的數(shù)學(xué)形式為

定解問題的提法2/5/202312邊界條件的提法：第二類邊界條件（諾伊曼邊界條件）：

定解問題的提法2/5/202313邊界條件的提法：第三類邊界條件：

此時需要應(yīng)用另一熱傳導(dǎo)定律（牛頓定律）：從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫度差成正比

定解問題的提法2/5/202314邊界條件的提法：第三類邊界條件：考慮流過物體表面Γ

的熱量，從物體內(nèi)部一側(cè)來看它應(yīng)由傅里葉定律確定，而從物體與介質(zhì)的接觸面來看，它應(yīng)由牛頓定律所確定，因此成立上述邊界條件可進一步寫為其中σ

為已知常數(shù)。定解問題的提法2/5/202315熱傳導(dǎo)方程的柯西問題：如果所考察的物體體積很大，而所需知道的是在較短時間和較小范圍內(nèi)溫度的變化，邊界條件的影響可以忽略。此時可提出熱傳導(dǎo)方程的柯西問題：

低維熱傳導(dǎo)方程2/5/202316一維熱傳導(dǎo)方程：例如當(dāng)物體是均勻細(xì)桿時，假如它的側(cè)面是絕緣的，又溫度分布在同一截面是相同的，則溫度函數(shù)u僅與坐標(biāo)x和時間t有關(guān)，于是可得二維熱傳導(dǎo)方程：類似地，如果考慮薄片的熱傳導(dǎo)，且假設(shè)薄片的表面絕熱，則可得擴散方程2/5/202317與熱傳導(dǎo)方程類似地方程也可以在研究分子擴散的過程中（如氣體的擴散、液體的滲透、半導(dǎo)體材料中雜質(zhì)的擴散等）得到。擴散定律與質(zhì)量守恒定律

擴散方程2/5/202318通過比較可知，擴散過程中所滿足的物理規(guī)律與熱傳導(dǎo)過程中所滿足的物理規(guī)律具有非常類似的形式?；谏鲜鑫锢硪?guī)律，并通過與熱傳導(dǎo)方程類似的推導(dǎo)，可得如下擴散方程

第二章2/5/2023192.2初邊值問題的分離變量法

分離變量法2/5/202320考慮下述一個空間變量的熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題：其中h

為正常數(shù)。我們將采用分離變量法對上述初邊值問題進行求解。分離變量法2/5/202321令

分離變量法2/5/202322

根據(jù)邊界條件綜上，需求解下述常微分方程分離變量法2/5/202323

此時方程通解可以寫成為了滿足邊界條件，必須因為分離變量法2/5/202324

此時方程通解可以寫成為了滿足邊界條件，必須對于情形A和情形B，方程沒有分離變量形式的非平凡解。分離變量法2/5/202325

此時方程通解可以寫成由邊界條件由邊界條件

分離變量法2/5/202326

分離變量法2/5/202327由以上結(jié)果可知特征問題存在著無窮多個固有值及相應(yīng)的固有函數(shù)分離變量法2/5/202328

由于方程和邊界條件都是齊次的，故可利用疊加原理構(gòu)造級數(shù)形式的解

分離變量法2/5/202329

分離變量法2/5/