復(fù)習(xí)3數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)及設(shè)計(jì)

2023/2/511、模擬濾波器的設(shè)計(jì)

2、數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

3、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

4、FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

數(shù)字濾波器及其設(shè)計(jì)2023/2/521

模擬濾波器的設(shè)計(jì)有關(guān)基本概念：

1．無(wú)失真條件2023/2/532023/2/54幅頻響應(yīng)是一常數(shù)，表明信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后，各頻率分量的相對(duì)大小保持不變，沒(méi)有幅度失真；相頻響應(yīng)是頻率的線性函數(shù)（線性相位），說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)各頻率分量的延遲時(shí)間相同，這就保證了各頻率分量的相對(duì)位置不變，沒(méi)有相位失真；但是在實(shí)際濾波器中，同時(shí)得到理想的幅頻響應(yīng)和理想的線性相位是不可能的。此外，當(dāng)幅頻響應(yīng)特性有所改進(jìn)的時(shí)候，相頻響應(yīng)經(jīng)常就要變壞，或者相反。2023/2/55通帶p阻帶s2023/2/56

從頻率響應(yīng)的模方函數(shù)求濾波器的傳輸函數(shù)H(s)2023/2/57利用濾波器頻率響應(yīng)的模方函數(shù)可以求得傳輸函數(shù)H(s)（轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)），如果能由濾波器的設(shè)計(jì)參數(shù)（技術(shù)指標(biāo)）得到其頻率響應(yīng)的模方函數(shù)，就為濾波器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了條件；因此，模擬濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上就是由給定的設(shè)計(jì)參數(shù)確定濾波器傳輸函數(shù)H(s)的過(guò)程；由于高通、帶通、帶阻濾波器的傳輸函數(shù)都能經(jīng)過(guò)頻率變換從低通濾波器的傳輸函數(shù)求得，所以把低通濾波器稱為原型低通濾波器。2023/2/581、原型低通濾波器的4個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)通帶上限（臨界）角頻率Ωp阻帶下限（臨界）角頻率Ωs通帶最大允許衰減αp

，單位是dB阻帶最小衰減αs

，單位是dB濾波器的對(duì)數(shù)幅頻響應(yīng)在Ωp和Ωs處分別達(dá)到αp

和αs定義衰減函數(shù)：則有2023/2/59

上述四種濾波器是設(shè)計(jì)低通濾波器時(shí)常用的、最能夠接近理想濾波器頻率響應(yīng)特性的四種原型濾波器Chebyshev-II型Chebyshev-I型Butterworth型橢圓濾波器10總結(jié)以上，低通巴特沃斯模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)wp,p,ws,s，求出濾波器的階數(shù)N。(2)求出歸一化極點(diǎn)pk，得到歸一化傳輸函數(shù)H(p)。

(3)將H(p)去歸一化。將p=s/wc代入H(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)H(s)。11

模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：A、確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率wp’，阻帶上限頻率ws’，通帶最大衰減p，阻帶最小衰減s。B、確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)為：①低通濾波器通帶截止頻率wp=1/wp’；②低通濾波器阻帶截止頻率ws=1/ws’；③通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減仍為s。12C、設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p)。D、求模擬高通的H(s)。將G(p)先轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，再去歸一化，得H(s)：13模擬帶通的設(shè)計(jì)步驟A、確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：帶通上限頻率wu，帶通下限頻率wl下阻帶上限頻率ws1,上阻帶下限頻率ws2

通帶中心頻率w02=wlwu，通帶寬度B=wu-wl與以上邊界頻率對(duì)應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：14B、確定歸一化低通技術(shù)要求：

λs與-λs的絕對(duì)值可能不相等，一般取絕對(duì)值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求。通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s。C、設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。D、將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。15設(shè)計(jì)帶阻濾波器的步驟A、確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求：下通帶截止頻率wl，上通帶截止頻率wu阻帶下限頻率ws1，阻帶上限頻率ws2阻帶中心頻率w02=wuwl，阻帶寬度B=wu-wl它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為

ηl=wl/B,ηu=wu/B,ηs1=ws1/B,ηs2=ws2/B,η20=ηuηl以及通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s。16B、確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，取λs和-λs的絕對(duì)值較小的λs；通帶最大衰減為p，阻帶最小衰減為s。C、設(shè)計(jì)歸一化模擬低通G(p)D、將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)2023/2/517

數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)方法，即運(yùn)算結(jié)構(gòu)，可用方框圖表示（信號(hào)流圖）。運(yùn)算結(jié)構(gòu)的不同，將會(huì)影響系統(tǒng)的許多重要性能。無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器IIR與有限沖激響應(yīng)濾波器FIR在結(jié)構(gòu)上有各自不同的特點(diǎn)。2數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

2023/2/5181、用信號(hào)流圖表示濾波器（網(wǎng)絡(luò)）結(jié)構(gòu)基本流圖表示：數(shù)字信號(hào)處理中有三種基本算法：乘法、加法和單位延遲。支路、箭頭、支路增益、網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)、運(yùn)算單元構(gòu)成整個(gè)運(yùn)算結(jié)構(gòu)。2023/2/5192、IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)IIRdigitaltransferfunctionischaracterizedby(N+M+1)uniquecoefficients,andingeneral,requires(N+M+1)multipliersand(N+M)two-inputaddersforimplementation直接型DirectformIIRfilters:Filterstructuresinwhichthemultipliercoefficientsarepreciselythecoefficientsofthetransferfunction2023/2/520（1）直接I型IIR數(shù)字濾波器

傳輸函數(shù)：對(duì)應(yīng)的差分方程為

對(duì)應(yīng)上式的網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)反饋網(wǎng)絡(luò)，這種結(jié)構(gòu)形式稱為直接I型。2023/2/521直接I型IIR濾波器結(jié)構(gòu)的信號(hào)流圖

整個(gè)直接I型IIR數(shù)字濾波器硬件是由兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)相級(jí)聯(lián)：第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)H(z)的零點(diǎn)，而第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)H(z)的極點(diǎn)。2023/2/522（2）直接II型IIR數(shù)字濾波器：可把H(z)視為兩個(gè)子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)其中第一子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)，為對(duì)應(yīng)的差分方程為2023/2/523第二子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)為差分方程為

從數(shù)字濾波器的輸入和輸出關(guān)系來(lái)看，更換它所包含的兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)相級(jí)聯(lián)的次序不會(huì)影響它的總特性，于是可以得到另一種網(wǎng)絡(luò)圖形，先按H(z)的極點(diǎn)實(shí)現(xiàn)一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)，然后再按H(z)的零點(diǎn)實(shí)現(xiàn)另一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)，即對(duì)圖2的直接I型交換次序：2023/2/524合并后的信號(hào)流圖－－直接II型（M＝N的情況）這種形式含有傳輸延遲的支路數(shù)目最少，因而實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)H(Z)所需用延遲寄存器的數(shù)目也最少。但是系數(shù)和乘法器的舍入誤差有積累效應(yīng)，輸出誤差較大。2023/2/525（3）級(jí)聯(lián)（cascade）型IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H（z）中分子、分母均為多項(xiàng)式，且多項(xiàng)式的系數(shù)一般為實(shí)數(shù)，現(xiàn)將分子、分母多項(xiàng)式分別進(jìn)行因式分解，得到：

式中A是常數(shù)，Cr和dr分別表示零點(diǎn)和極點(diǎn)。由于多項(xiàng)式的系數(shù)是實(shí)數(shù)，Cr和dr是實(shí)數(shù)或者是共軛成對(duì)的復(fù)數(shù)，將共軛成對(duì)的零點(diǎn)（極點(diǎn)）放在一起，形成一個(gè)二階多項(xiàng)式，其系數(shù)仍為實(shí)數(shù)。再將分子、分母均為實(shí)系數(shù)的二階多項(xiàng)式放在一起，形成一個(gè)二階子網(wǎng)絡(luò)或一階子網(wǎng)絡(luò)：

2023/2/526得到級(jí)聯(lián)型IIR數(shù)字濾波器。2023/2/527（4）并聯(lián)（parallel）型IIR數(shù)字濾波器如果將數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z)展開(kāi)成部分分式和，則得到IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu)

式中，通常為一階網(wǎng)絡(luò)或二階網(wǎng)絡(luò)，二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為

其中，系數(shù)β0i,β1i,α1i,

α2i都是實(shí)數(shù)，如果α2i＝0，則構(gòu)成一階網(wǎng)絡(luò)。2023/2/5283、FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)FIR的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是沒(méi)有反饋支路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)的。設(shè)FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)為一個(gè)N點(diǎn)序列，0≦n≦N-1，則FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)中只有零點(diǎn)，沒(méi)有極點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的差分方程為29（1）直接型FIR的結(jié)構(gòu)：

系統(tǒng)的差分方程為顯然，這就是LSI系統(tǒng)的卷積和公式，也是x(n)的延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)，稱為橫截型結(jié)構(gòu)或卷積型結(jié)構(gòu)，也稱為直接型結(jié)構(gòu)：直接型信號(hào)流圖2023/2/530（2）級(jí)聯(lián)型FIR的結(jié)構(gòu)：

將系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行因式分解，并將孤立零點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的一階節(jié)；將共軛成對(duì)的零點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階節(jié)。這樣級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由這些一階和二階網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，即：2023/2/531FIR數(shù)字濾波器級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)和信號(hào)流圖：每個(gè)一階節(jié)、二階節(jié)可用FIR濾波器直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn),構(gòu)成的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖所示：這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一個(gè)零點(diǎn)（一階節(jié)）或一對(duì)零點(diǎn)（二階節(jié)），調(diào)整零點(diǎn)位置比直接型方便，因而在需要控制傳輸零點(diǎn)時(shí)，可以采用它。但是這種結(jié)構(gòu)所需要的系數(shù)比直接型要多，因而所需的乘法器也比直接型的要多。另外，當(dāng)H(z)的階次高時(shí)，不易分解，因此普遍應(yīng)用的是直接型。2023/2/532（3）線性相位FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)：FIR濾波器的線性相位是非常重要的，因?yàn)閿?shù)據(jù)傳輸以及圖像處理都要求系統(tǒng)具有線性相位。所謂線性相位就是指濾波器對(duì)不同頻率的正弦波所產(chǎn)生的相移和正弦波的頻率成直線關(guān)系。而FIR濾波器由于它的脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，因而有可能做成嚴(yán)格的線性相位。

如果FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為實(shí)數(shù)，且滿足以下條件：

偶對(duì)稱奇對(duì)稱也就是說(shuō)，其對(duì)稱中心在處，則這種FIR濾波器就具有嚴(yán)格線性相位。

2023/2/533當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)H(z)可以分解為：2023/2/534N為奇數(shù)時(shí)線性相位FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)圖：2023/2/535當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)H(z)可以分解為：2023/2/536N為偶數(shù)時(shí)線性相位FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)圖：2023/2/5374數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)通帶：1-p

|H(ej)|1+p,0||p阻帶：|H(ej)|s,s

||p

通帶臨界頻率s

阻帶臨界頻率p

通帶最大紋波s

阻帶最大紋波s-p

過(guò)渡帶寬|H(ej)|為歸一化幅頻響應(yīng)，是角頻率的偶函數(shù)2023/2/538常用對(duì)數(shù)幅頻特性：H()=20lg|H(ej)|dB通帶最大紋波：p=20lg(1-p)dB阻帶最小衰減：s=20lg(s) dB實(shí)際設(shè)計(jì)指標(biāo)經(jīng)常給出線頻率f（Hz），需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換：Ts

是采樣周期2023/2/539設(shè)計(jì)流程：（1）數(shù)字域指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬域指標(biāo)：（2）設(shè)計(jì)模擬濾波器（利用低通原型）（3）利用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法完成從S平面到Z平面的轉(zhuǎn)換：

1、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)通用的方法是利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)技術(shù)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器：S平面到Z平面的映射：＝采樣周期數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo):H(z),H(ejω)

模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：H(s),H(jΩ)

Ωp，Ωs，

αp

，αsωp，ωs，αp

，αs2023/2/5401沖激響應(yīng)不變法（標(biāo)準(zhǔn)z變換法）上式結(jié)果使得H(z)中的z以對(duì)數(shù)形式出現(xiàn)，難以處理考慮：數(shù)字系統(tǒng)的h(n)是模擬系統(tǒng)h(t)的采樣若：則是一階系統(tǒng)，有：得ω和Ω成線性關(guān)系：求Z變換2023/2/541若是二階系統(tǒng)，則有：符合：沖激響應(yīng)不變法：設(shè)法把H(s)分解成多個(gè)一階或二階系統(tǒng)的并聯(lián)或級(jí)聯(lián)，分別轉(zhuǎn)換！得求Z變換2023/2/542ImpulseinvarianceIIRfilterdesignh(t)toh[n]=h(nTs)特點(diǎn)：ω和Ω成線性關(guān)系；但是由于S平面虛軸上jΩ每隔2π/Ts就映射到Z平面單位圓上一周，引起頻域混疊，所以如果采樣頻率不夠高，或H(s)不是帶限的（高通、帶阻）時(shí)，就不能使用。2023/2/5432、雙線性變換法雙線性變換：為了避免頻率混疊，放棄頻率的線性轉(zhuǎn)換關(guān)系，找新的關(guān)系：令：則有：2023/2/544這種映射關(guān)系利用了正切函數(shù)的非線性關(guān)系，采用非線性頻率壓縮方法，將頻率范圍進(jìn)行壓縮雙線性變換的頻率映射關(guān)系為：2023/2/545

可以使得S平面的虛軸jΩ只映射為Z平面的單位圓一周避免了頻率混疊！！雙線性變換法：頻率呈非線性關(guān)系，不混疊又稱為頻率的預(yù)畸變（pre-warping)。使得高頻時(shí)DF的幅頻特性和AF的幅頻特性不一致。但只要保證了DF的技術(shù)要求即可。對(duì)比沖激響應(yīng)不變法：頻率呈線性關(guān)系，但會(huì)出現(xiàn)混疊2023/2/547雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的步驟：（1）按給定的數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)ωp，ωs

，αp

，αs進(jìn)行頻率預(yù)畸變得到模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）的技術(shù)指標(biāo)Ωp，Ωs

，αp

，αs：（2）對(duì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)參數(shù)Ωp，Ωs，αp

，αs通過(guò)頻率變換及歸一化得到模擬低通原型的設(shè)計(jì)參數(shù)λp,λs,αp

，αs，N；2023/2/548（3）利用模方函數(shù)得到模擬低通原型的傳輸函數(shù)H(p)，（4）對(duì)低通原型的傳輸函數(shù)H(p)進(jìn)行頻率變換，得到對(duì)應(yīng)模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）的傳輸函數(shù)H(s),（5）雙線性變換得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z):2023/2/5492、FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器是全零點(diǎn)系統(tǒng)，總是可實(shí)現(xiàn)的和穩(wěn)定的，既可按非遞歸結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，又可按遞歸結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。非遞歸結(jié)構(gòu)的FIR濾波器的運(yùn)算量化噪聲較小。FIR濾波器具有一定對(duì)稱性，容易實(shí)現(xiàn)線性相位特性。但是，F(xiàn)IR濾波器要取得好的頻率特性，需要較高的階數(shù)，運(yùn)算量較大，一般要借助計(jì)算機(jī)。設(shè)計(jì)思路：對(duì)理想濾波器的頻率響應(yīng)作某種近似，近似設(shè)計(jì)方法有窗口設(shè)計(jì)法（窗函數(shù)法）、頻率抽樣法、最佳一致逼近法。2023/2/550FIR濾波器的線性相位是非常重要的，因?yàn)閿?shù)據(jù)傳輸以及圖像處理都要求系統(tǒng)具有線性相位。FIR濾波器由于它的單位抽樣響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，因而有可能做成嚴(yán)格的線性相位。

1、FIR系統(tǒng)的線性相位特性FIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)：其頻率響應(yīng)（DTFT）為：幅度函數(shù)：是頻率ω的實(shí)函數(shù)，可以取正或負(fù)相位函數(shù)：是頻率ω的實(shí)函數(shù)2023/2/551根據(jù)h(n)的對(duì)稱特性和N的奇偶特性，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)可能具有以下4種特性：（1）h(n)偶對(duì)稱（第一類線性相位），N為奇數(shù)：2023/2/5522023/2/553Hg(ω)在ω＝0處偶對(duì)稱2023/2/5542023/2/555（2）h(n)偶對(duì)稱（第一類線性相位），N為偶數(shù)：2023/2/5562023/2/557（3）h(n)奇對(duì)稱（第二類線性相位），N為奇數(shù)：對(duì)上式第三項(xiàng)，作n=N-1-n變換，并利用奇對(duì)稱：2023/2/5582023/2/5592023/2/560（4）h(n)奇對(duì)稱（第二類線性相位），N為偶數(shù)：2023/2/561總結(jié)FIR數(shù)字濾波器為線性相位的充要條件：（1）h(n)是實(shí)數(shù)；（2）h(n)滿足以n=(N-1)/2為中心的偶對(duì)稱或奇對(duì)稱。第一類線性相位FIR濾波器（h(n)偶對(duì)稱），具有嚴(yán)格線性相位，有(N-1)/2個(gè)采樣點(diǎn)的群延遲；第二類線性相位FIR濾波器（h(n)奇對(duì)稱），具有初始相位90o的線性相位，有(N-1)/2個(gè)采樣點(diǎn)的群延遲；類型1：h(n)偶對(duì)稱N為奇數(shù)，可以用作各類濾波器；類型2：h(n)偶對(duì)稱N為偶數(shù)，只能用作低通和帶通濾波器；類型3：h(n)奇對(duì)稱N為奇數(shù)，只能用作帶通濾波器；類型4：h(n)奇對(duì)稱N為偶數(shù)，只能用作高通和帶通濾波器。

由前面的分析可知：FIR濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)是復(fù)變量的多項(xiàng)式而不是有理式，所以它的設(shè)計(jì)就不能象IIR濾波器那樣先設(shè)計(jì)模擬濾波器再進(jìn)行數(shù)字化，而是根據(jù)給定指標(biāo)直接找出可實(shí)現(xiàn)的理想濾波器的函數(shù)，用有限沖激響應(yīng)來(lái)逼近設(shè)計(jì)指標(biāo)。2023/2/5622、FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法從時(shí)域出發(fā)，用窗函數(shù)截取理想濾波器的單位抽樣響應(yīng)hd(n)；以有限長(zhǎng)的h(n)逼近hd(n)；這樣得到的濾波器其頻率響應(yīng)H(ejω)將逼近理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)

?？梢?jiàn)，窗函數(shù)設(shè)計(jì)法不能精確地指定濾波器參數(shù)ωp，ωs

，αp

，αs

，而只能由通帶截止頻率ωc以及窗函數(shù)的長(zhǎng)度和性能來(lái)決定濾波器的性能。2023/2/563FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法步驟：由設(shè)計(jì)指標(biāo)Hg(ω)，確定hd(n);(用傅里葉級(jí)數(shù)法，hd(n)有無(wú)限多項(xiàng)）2.根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶到阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N，wN(n);3.h(n)=hd(n)·wN(n)4.對(duì)h(n)求DTFT得到H(ejω)，與Hd(ejω)比較，合格則設(shè)計(jì)完畢，不合格則修改窗函數(shù)及其參數(shù)，重復(fù)3、4步驟直到合格為止。2023/2/564

四類FIR數(shù)字濾波器的窗口法設(shè)計(jì)

（1）、低通（LP）數(shù)字濾波器:

理想低通模型為：Hg(ω)=|Hd(ejω)|=1

φ(ω)=－Nω/2上式為非因果序列，進(jìn)行截短（相當(dāng)于在時(shí)域乘窗函數(shù)，頻域和窗譜相卷積），變成長(zhǎng)度為N＋1的因果序列：Hd(ejω)=Hg(ω)ejφ(ω)2023/2/565（2）、高通（HP）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì):上式為非因果序列，進(jìn)行加窗函數(shù)截短，變成長(zhǎng)度為N＋1的因果序列：理想高通模型：2023/2/566（3）、帶通（BP）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì):理想帶通模型：上式為非因果序列，進(jìn)行加窗函數(shù)截短，變成長(zhǎng)度為N＋1的因果序列：2023/2/567（4）、帶阻（BS）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì):理想帶阻模型：上式為非因果序列，進(jìn)行加窗函數(shù)截短，變成長(zhǎng)度為N＋1的因果序列：2023/2/5682.3窗函數(shù)的選擇

在信號(hào)處理中經(jīng)常需要用窗函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行截短，矩形窗是最簡(jiǎn)單的窗函數(shù)，對(duì)信號(hào)的自然截短就意味著在時(shí)域乘了矩形窗，窗的寬度就是截短后信號(hào)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度。窗函數(shù)的頻譜影響了截短后信號(hào)的頻譜，對(duì)濾波器設(shè)計(jì)而言，窗函數(shù)的頻譜影響了濾波器的性能。

窗函數(shù)的影響：

（1）平滑了頻譜，降低了頻率分辨率；（2）造成頻譜“泄漏”。

2023/2/569由于窗函數(shù)的截短效應(yīng)，實(shí)際的幅頻特性曲線中存在通帶和阻帶內(nèi)的波紋：N小，通帶窄，過(guò)渡帶大，阻帶波紋大；N增大過(guò)渡帶減小，阻帶波紋減小，但通帶內(nèi)出現(xiàn)波紋；過(guò)渡帶寬度小于等于窗譜主瓣寬度。

隨著N增大，通帶波紋并不消逝，稱為吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象。這是因?yàn)榫匦未暗念l譜是sinc函數(shù)，有較大旁瓣，矩形窗頻譜和Hd(ejω)卷積產(chǎn)生了吉布斯現(xiàn)象，應(yīng)盡量減小，可以設(shè)計(jì)和采用旁瓣較小的其它窗。對(duì)hd(n)加矩形窗處理后，Hg(ω)與原理想低通Hd(ω)的區(qū)別：在理想特性不連續(xù)點(diǎn)ω=ωc附近形成過(guò)渡帶。過(guò)渡帶的寬度近似為WRg(ω)主瓣寬度4π/N通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋，最大的峰值在ωc-2π/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在ωc+2π/N處。通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)。WRg(ω)旁瓣幅度的大小直接影響Hg(ω)波紋幅度的大小。這兩點(diǎn)就是用窗函數(shù)直接截?cái)鄅d(n)而引起的截?cái)嘞鄳?yīng)在頻域中的反應(yīng)，即吉布斯效應(yīng)。2023/2/570如何減少吉布斯效應(yīng)？調(diào)整窗口長(zhǎng)度N可以有效地控制過(guò)渡帶的寬度。減少帶內(nèi)波動(dòng)以及加大阻帶的衰減只能從窗函數(shù)的形狀上找解決辦法。為了消除吉布斯效應(yīng)，取得較好的頻率特性，一般采用其他類型的窗口，這些窗口函數(shù)在靠近兩端的h(n)逐步衰減到零，使窗口頻譜的主瓣包含更多的能量。從而降低通帶內(nèi)的波紋并加大阻帶的衰減。2023/2/571幾種常用的窗函數(shù)矩形窗（RectangleWindow)三角形窗（BartlettWindow)漢寧窗（Hanning)----升余弦窗漢明窗（Hamming)----改進(jìn)的升余弦窗布萊克曼窗（Blackman)凱澤窗（KaiserWindow)2023/2/5722023/2/573Rectangularwindow：W[n]=100.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBRectangularwindow主瓣寬度為4π/N,第一旁瓣比主瓣低13dB2023/2/574Hanningwindow:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBHanningwindow能量更集中在主瓣中，但主瓣寬度加寬到8π/N2023/2/575Hammingwindow:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBHammingwindow能量更加集中在主瓣中（占99.96%），第一旁瓣的峰值比主瓣小40dB,主瓣寬度仍為8π/N2023/2/576Blackmanwindow:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200w/pGain,dBBlackmanwindow旁瓣進(jìn)一步減小,但主瓣寬度變寬為12π/N2023/2/577Kaiserwindow:I0是修正的零階貝塞爾函數(shù)β:控制阻帶的重要參數(shù)。β加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小。4<β<9（β=0矩形窗）2023/2/578窗函數(shù)主瓣寬度第一旁瓣相對(duì)主瓣的幅度阻帶最小衰減矩形窗4π/N-13dB-21dB三角窗8π/N-25dB-25dB漢寧窗(hanning)8π/N-31dB-44dB漢明窗(hamming)8π/N-41dB-53dBBlackman12π/N-57dB-74dBKaiser(α=7.865)10π/N-57dB-80dB

這些窗函數(shù)都是對(duì)稱的，可以用來(lái)設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器2023/2/579對(duì)窗函數(shù)的綜合要求：

（1）窗譜的主瓣應(yīng)盡可能窄，以使設(shè)計(jì)出的濾波器有較陡的過(guò)渡帶；

（2）窗譜的最大旁瓣相對(duì)于主瓣盡可能小，使設(shè)計(jì)出的濾波器幅頻特性中肩峰和余振較小，紋波較小，從而阻帶衰減較大。窗函數(shù)法的參數(shù)選擇：

(1)確定截止頻率c

(2)利用過(guò)渡帶寬度的要求確定窗函數(shù)的主瓣寬度

(3)選擇窗函數(shù)形式

(4)利用關(guān)系式A/N估計(jì)窗口長(zhǎng)度N，其中A是常數(shù)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、實(shí)用，但是不能得到最佳效果，而且當(dāng)理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)不能用簡(jiǎn)單的函數(shù)式表示的時(shí)候，則很難求出hd(n)。窗函數(shù)法小結(jié)1.由給定的濾波器的幅頻響應(yīng)Hd