大學(xué)物理力學(xué)

第一編力學(xué)力學(xué)是一門古老的學(xué)科，淵源于公元前四世紀(jì)。但力學(xué)成為一門科學(xué)是從十七世紀(jì)開始，經(jīng)伽利略，牛頓等人系統(tǒng)總結(jié)而形成。以牛頓定律為基礎(chǔ)的力學(xué)叫牛頓力學(xué)或經(jīng)典力學(xué)。它是研究物體做機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)。它是整個(gè)物理理論和相關(guān)科學(xué)的基礎(chǔ)。300多年以來，經(jīng)典力學(xué)為人類的文明，社會的進(jìn)步做出了巨大的貢獻(xiàn)。自二十世紀(jì)以來，經(jīng)典力學(xué)的理論受到挑戰(zhàn)，并由此誕生了近代物理，然而，經(jīng)典力學(xué)在當(dāng)近高新科技中仍然有其特有的地位，使人類對物質(zhì)世界認(rèn)識進(jìn)一步深化。返回科學(xué)的基石路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索。名句賞析Aristoteles)(公元前384-322)，柏拉圖（Plaston,公元前427-347）的學(xué)生.古希臘早期（公元前三世紀(jì)）的哲學(xué)家，物理學(xué)家。主張思辯，推理，演繹。亞里士多德經(jīng)典力學(xué)的典基人開普勒(N.Copernicus)（1743-1543）在丹麥科學(xué)家第谷（Techo）長期艱苦觀察的基礎(chǔ)上，經(jīng)十六年的研究，歸納出行星的三大運(yùn)動(dòng)定律，代表作“天體運(yùn)行論”。哥白尼托勒密（公元一世紀(jì)）提出地心說；哥白尼（公元十六世紀(jì)）提出日心說。伽利略J.伽利略（1564--1642）簡介論證和宣揚(yáng)了哥白尼學(xué)說。論證了慣性運(yùn)動(dòng)。論證了自由落體的加速度。用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了勻加速運(yùn)動(dòng)。提出了運(yùn)動(dòng)合成的概念。提出了力學(xué)的相對性原理。發(fā)現(xiàn)了單擺的等時(shí)性等。牛頓牛頓（1642--1727）簡介總結(jié)提煉了三大運(yùn)動(dòng)定律。得出了萬有引力定律。定義了質(zhì)量，力和動(dòng)量。提出力的獨(dú)立作用原理。動(dòng)量守恒定律…。在微積分，光的色散等方面有貢獻(xiàn)。如果我曾經(jīng)看的遠(yuǎn)一些，那是因?yàn)檎驹诰奕藗兗缟系木壒?。牛頓自然和自然規(guī)律隱匿在黑暗之中，上帝說：讓牛頓降生吧，則一切就有了光明。莆伯特質(zhì)點(diǎn)力學(xué)力學(xué)框架剛體力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)靜力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)靜力學(xué)力學(xué)欣賞美的力學(xué)力學(xué)激發(fā)美芭蕾---力學(xué)美四海翻騰力學(xué)自然美力學(xué)和諧美享受美的力學(xué)返回第一章質(zhì)點(diǎn)力學(xué)

名句賞析有花堪折直須折，莫待花落空折枝。

研究質(zhì)點(diǎn)做機(jī)械運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律，主要內(nèi)容包括：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)：速度，加速度等。

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)：牛頓運(yùn)動(dòng)定律，功，能及關(guān)系；動(dòng)量，沖量及關(guān)系等。第一節(jié)參照系坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程一物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的絕對性

世界是由物質(zhì)組成的，稱為物質(zhì)世界。運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)存在的一種形式。物質(zhì)是在不斷運(yùn)動(dòng)中。稱為運(yùn)動(dòng)的絕對性。

二運(yùn)動(dòng)描述的相對性參照系

在自然界中，物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式是多種多樣的。一物體相對于另一物體的位置的變化或物體內(nèi)各部分之間相對位置的變化，如天體的運(yùn)行，車船的行駛，機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)等，這種運(yùn)動(dòng)稱為機(jī)械運(yùn)動(dòng)。它是一種最簡單，最基本物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式。此外，還有物質(zhì)的熱運(yùn)動(dòng)，電磁運(yùn)動(dòng)等。

由此不難看出，對一物體做機(jī)械運(yùn)動(dòng)的描述是相對的。一般的說，一個(gè)物體是運(yùn)動(dòng)的，還是靜止的，是相對哪一物體或物體群做為參考而言。相對一物體是靜止的，而相對另外的物體可能是運(yùn)動(dòng)的。因此，研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，必需選定另外的一物體或物體群做參考，它們被稱為參照系（物）。水平面參照物參照物的數(shù)學(xué)抽象

三坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程

一維運(yùn)動(dòng)(直線運(yùn)動(dòng)）設(shè)一質(zhì)點(diǎn)相對地面作直線運(yùn)動(dòng)。物體相對參照物運(yùn)動(dòng)時(shí)，其坐標(biāo)也變化。

物體t時(shí)刻的位置或坐標(biāo)記為稱為運(yùn)動(dòng)方程。

通常把物體的運(yùn)動(dòng)方向定為坐標(biāo)軸的正方向。

顯然，運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)表述質(zhì)點(diǎn)相對一定的參照物的瞬時(shí)位置的數(shù)學(xué)表達(dá)式。特點(diǎn)是確定物體的位置，是時(shí)間的函數(shù)。為一代數(shù)式。學(xué)習(xí)指導(dǎo)0

為了定量的研究物體相對參照物的位置及位置的變化，在參照物上固結(jié)一坐標(biāo)（軸）系。水平面參照物參照物的數(shù)學(xué)抽象

三坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程

一維運(yùn)動(dòng)(直線運(yùn)動(dòng)）設(shè)一質(zhì)點(diǎn)相對地面作直線運(yùn)動(dòng)。0

為了定量的研究物體相對參照物的位置及位置的變化，在參照物上固結(jié)一坐標(biāo)（軸）系。物體相對參照物運(yùn)動(dòng)時(shí)，其坐標(biāo)也變化。

物體t時(shí)刻的位置或坐標(biāo)記為稱為運(yùn)動(dòng)方程。

通常把物體的運(yùn)動(dòng)方向定為坐標(biāo)軸的正方向。

顯然，運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)表述質(zhì)點(diǎn)相對一定的參照物的瞬時(shí)位置的數(shù)學(xué)表達(dá)式。特點(diǎn)是確定物體的位置，是時(shí)間的函數(shù)。為一代數(shù)式。二維運(yùn)動(dòng)（曲線運(yùn)動(dòng)）設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在一平面內(nèi)沿曲線運(yùn)動(dòng)，參照物被研究物體物體物體被研究物體

如何定量來確定質(zhì)點(diǎn)相對參照物的位置呢?在參照物上固結(jié)一組相互垂直的坐標(biāo)軸，稱為直角坐標(biāo)系。如圖示。質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻相對參照物的位置可用來確定.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),它的坐標(biāo)隨時(shí)間變化,是時(shí)間的函數(shù).稱為運(yùn)動(dòng)方程的分量式。

可見，曲線運(yùn)動(dòng)可用一組相互垂直的直線運(yùn)動(dòng)表示。為運(yùn)動(dòng)的正交分解?？梢?，復(fù)雜運(yùn)動(dòng)可用簡單運(yùn)動(dòng)來表示。軌跡

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢量的模和指向變化，若知的形式，則可用的模確定質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻相對參照物的距離；用與軸的正向夾角表示質(zhì)點(diǎn)的方位。即用可確定質(zhì)點(diǎn)的位置。故稱為位置矢量，簡稱位矢。

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，位置矢量的矢端也在空間滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)位置矢量的矢端軌跡即是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

還可以用另一方法表示質(zhì)點(diǎn)的位置。從坐標(biāo)原點(diǎn)向質(zhì)點(diǎn)所在軌跡上的位置引一矢徑來表示質(zhì)點(diǎn)的位置。稱為矢量式運(yùn)動(dòng)方程。稱位置矢量或位矢(或稱矢徑)。

兩種表述關(guān)系：在直角坐標(biāo)系下的位矢表示。代數(shù)式。為位矢在軸上的投影，皆為為沿軸和軸正方向的單位矢量，模（大?。?。上式中，必需有。中的箭頭不能少。

三維運(yùn)動(dòng)不難看出，知分量式可得到矢量式。稱為運(yùn)動(dòng)方程的分量式。稱為運(yùn)動(dòng)方程的矢量式。點(diǎn)評

能否用（由參照物到研究物體的線段）來確定物體相對參照物的位置，為什麼?四軌道方程矢量和標(biāo)量你從哪里來，我的朋友矢量和標(biāo)量

我們經(jīng)常遇到兩類物理量：標(biāo)量和矢量。標(biāo)量如質(zhì)量，動(dòng)能，功，電流等有大小和單位的物理量；矢量如位移，速度，力，動(dòng)量，電流密度等不僅有大小和單位，而且有方向。

正確表示路程不正確表示：

教科書中，矢量用粗黑體字，而作業(yè)中矢量應(yīng)加箭頭，否則不對。例1—1如圖示，一物體從高臺頂部豎直上拋，求其運(yùn)動(dòng)方程。

解：以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)軸的原點(diǎn)，向上為正。運(yùn)動(dòng)方程為此式也為代表間的位移，而非路程。

若以拋出點(diǎn)的下方某處（距拋出點(diǎn)為）為坐標(biāo)原點(diǎn)，取軸向上為正，則運(yùn)動(dòng)方程為此式既不代表間的路程，也不為此時(shí)間間隔內(nèi)的位移。

水平面例1—2求斜上拋物體運(yùn)動(dòng)方程的分量式及矢量式。

解：此為平面運(yùn)動(dòng)，以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖示。運(yùn)動(dòng)方程的分量式為運(yùn)動(dòng)方程的矢量式為設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為平均速度一一維運(yùn)動(dòng)第二節(jié)速度位移（為代數(shù)式，不必用矢量式）令變小，平均速度也隨之變化

即

在數(shù)學(xué)上，即把運(yùn)動(dòng)方程對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)。

物理意義：時(shí)刻附近無限小時(shí)間內(nèi)的平均速度。速度沿軸的正方向速度沿軸的反方向速度恒定

在直線運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)方程，位移，速度及加速度等用代數(shù)量或代數(shù)式表示。速度可以是變量（如時(shí)間的函數(shù)）或恒量。瞬時(shí)速度2曲線運(yùn)動(dòng)（二維）位矢位移為末,初二時(shí)刻位矢之差.一般情況下路程平均速率

時(shí)間內(nèi)的位移與之比。平均速度平均速度的大小平均速度的大小和方向與有關(guān)。軌道當(dāng)無限小時(shí)，即此平均速度為物體時(shí)刻的速度。記為即位矢的時(shí)變率。瞬時(shí)速度方向沿軌道切線，指向運(yùn)動(dòng)方向。大小又稱為速率。式中的為元路程。則速率或即式中的為元路程。速度分量式（1）在直角作標(biāo)系下的表示軌跡軌跡運(yùn)動(dòng)方程的分量式位矢的模（大?。O角軌道方程位矢（運(yùn)動(dòng)方程的矢量式）：為沿位矢的單位矢量，方向同。(2)在平面極坐標(biāo)系下的表示運(yùn)動(dòng)方程的分量式速度按定義，有式右邊第一項(xiàng)反映了矢徑大小的時(shí)變率，稱為徑向分速度軌跡是單位矢量，大小不隨時(shí)間變化，看第二項(xiàng)的物理意義：由圖得，與垂直（因?yàn)闊o窮小量），，則只是因其方向變化而引起的增量。大小稱為橫向向分速度。為沿橫向的單位矢量。速率

例1----8已知，為恒量，求軌道方程解：略第三節(jié)加速度一直線運(yùn)動(dòng)速度增量平均加速度瞬時(shí)加速度或沿軸的正方向。沿軸的反方向。以上各量為代數(shù)式

例1—3已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度和加速度。解：

例1—4已知運(yùn)動(dòng)方程為。求：的位移，路程和瞬時(shí)速度，以及瞬時(shí)加速度和最大速度。到解：位移和路程略。瞬時(shí)速度瞬時(shí)加速度最大速度令得出，代入速度的表達(dá)式2曲線運(yùn)動(dòng)平均加速度瞬時(shí)加速度或速度增量方向：

與有一定夾角，不沿軌道切線。大?。海ǚ駝t為直線運(yùn)動(dòng)）瞬時(shí)加速度

分量式（1）直角坐標(biāo)系下方向大小

顯然，如果知到了沿軸上的分量，則可求出加速度的大小和方向。為代數(shù)量。加速度矢量方向余旋。例1—5

求斜上拋體運(yùn)動(dòng)的加速度。解：加速度矢量加速度大小式中負(fù)號的意義。例1---6已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方為

求：瞬時(shí)速度和瞬時(shí)速率,瞬時(shí)加速度。解：瞬時(shí)速度瞬時(shí)速率而徑向速度分量為或瞬時(shí)加速度大小（2）自然軸(自然坐標(biāo))系沿質(zhì)點(diǎn)的軌道切線方向和法線方向研究運(yùn)動(dòng).

由以上知，在曲線運(yùn)動(dòng)中，加速度的方向與速度（或軌道的切線）成一定夾角，因而，還可以把加速度沿軌道的切線和法線進(jìn)行正交分解。若知此二分量，則加速度可得出。如何求二加速度分量呢?讓我們先直觀的分析一下。按加速度定義設(shè)一質(zhì)點(diǎn)做變速圓周運(yùn)動(dòng)速率討論第一分量大小：方向：沿法線指向圓心，故稱為法向加速度。

由幾何關(guān)系，有則大小可為：注意：為速率的變化（增量），而不是速度增量的大小)。

方向：沿軌道切線，與速度共線故稱為切向加速度。另一分量數(shù)值：切向加速度法向加速度以上二式中的為瞬時(shí)速率?？梢?，而加速度分量式為

（2）速率恒正，。當(dāng)，表示速率正增加中，加速度與速度成銳角，故切向加速度與速度同向；而，表示速率減小中，加速度與速度成鈍角，切向加速度和速度的方向相反；而，則為勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。oRoR加速運(yùn)動(dòng)減速運(yùn)動(dòng)幾點(diǎn)討論：1切向加速度的理解（1）切向加速度是速率（速度大小）的時(shí)變率。是代數(shù)量。

故切向加速度應(yīng)理解為加速度在速度方向的投影更為確切?？杀頌槭街袨樗俣仁噶康膯挝皇噶?；而為加速度與速度間的夾角。2加速度大小方向矢量式式中的為指向圓心的單位矢量。

在很多情形下，物體沿任意曲線勻速，加速，或減速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，物體的法向與切向加速度如何表述呢?加速運(yùn)動(dòng)軌跡減速運(yùn)動(dòng)軌跡0瞬時(shí)曲率圓瞬時(shí)曲率半徑0瞬時(shí)曲率圓軌跡0瞬時(shí)曲率圓瞬時(shí)曲率半徑

在軌道的任何點(diǎn)上，物體的表現(xiàn)同圓運(yùn)動(dòng)，只是對應(yīng)不同的曲率圓而已，故二分量的表述同圓運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形。大小方向

解:分析：物體運(yùn)動(dòng)中，加速度恒定，但與速度的夾角不斷變化，因而，其切向與法向的加速度分量也不斷變化，是時(shí)間的函數(shù)。如何求，關(guān)鍵求出速率的表達(dá)式。

例1—7求斜上拋物體的的表達(dá)式。速率為則切向加速度為或法向加速度可否用，為什么?而曲率半徑為

例1—8求下列圖中二時(shí)刻的。斜拋運(yùn)動(dòng)

解：本題的特點(diǎn)是：已知各點(diǎn)加速度及與速度間的夾角，此時(shí)，沿軌道的切向與法向分解加速度即可。12式中的為沿速度的單位矢量,是速度矢量與加速度矢量的夾角。說明“–”物理意義。已知.文字運(yùn)算

用物理量的專用符號表示物理量，按物理規(guī)律組成方程式。按問題在幾個(gè)方程式間聯(lián)立，進(jìn)行運(yùn)算，中間不帶入數(shù)據(jù)，稱為文字運(yùn)算。最后代入數(shù)據(jù)。大學(xué)物理和科技均要求此方法?？朔讲酱鷶?shù)據(jù)的方法。軌道的曲率半徑為如何求路程不要求做。

例1—9一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為其中皆為恒量。求1軌道方程；2位置矢量；3速度與加速度；4切向加速度；5法向加速度；6軌道的曲率半徑。解：1消去時(shí)間，為軌道方程----橢圓。2位置矢量3速度與加速度45（略去計(jì)算過程)。6或1、判斷下列寫法是否正確？（1）（2）（3）（4）（5）2、在質(zhì)點(diǎn)的下列運(yùn)動(dòng)中，說法正確的是（）（A）勻加速運(yùn)動(dòng)必定是直線運(yùn)動(dòng)（B）在曲線運(yùn)動(dòng)過程中，加速度的法向分量恒為零（C）在直線運(yùn)動(dòng)中，加速度為負(fù)，質(zhì)點(diǎn)必做減速運(yùn)動(dòng)（D）在圓周運(yùn)動(dòng)中，加速度方向總是指向圓心（E）在曲線運(yùn)動(dòng)過程中，法向加速度總是指向圓心3、下列各種情況中，說法錯(cuò)誤的是（）（A）一物體具有恒定的速率但仍有變化的速度（B）一物體具有恒定的速度但仍有變化的速率（C）一物體具有加速度而其速度可以零（D）一物體速率減小但加速度增大（E）一物體速率增大，而法向加速度的大小不變4、一質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表達(dá)式為（其中a，b為常量），則該質(zhì)點(diǎn)做（）（A）勻速直線運(yùn)動(dòng)（B）變速直線運(yùn)動(dòng)（C）拋物線運(yùn)動(dòng)（D）一般曲線運(yùn)動(dòng)5、一艘正在沿直線行駛的電艇，在發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，其加速度與速度的方向相反，大小與速度的平方成正比，即dv/dt=-Kv2，式中K為常數(shù)，試證明電艇在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后又行駛x距離時(shí)的速度為v=v0e-Kx（v0是發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉時(shí)的速度）證明：因所以從而6、某人以4km/h的速度向東前進(jìn)時(shí)，感覺風(fēng)從正北吹來；如人的前進(jìn)速度增加一倍，則感覺風(fēng)從東北方向吹來。試求風(fēng)相對于地面的速度？

例1—10一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中為常數(shù)。求速率，切向和法向加速度和加速度。

解：該式為物體沿圓周的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，類似于直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。大小三運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆問題1正問題一維（直線運(yùn)動(dòng)）二維（平面曲線運(yùn)動(dòng)）數(shù)學(xué)方法：求導(dǎo)2逆問題一維（直線運(yùn)動(dòng)）運(yùn)動(dòng)方程二維（平面曲線運(yùn)動(dòng)）運(yùn)動(dòng)方程數(shù)學(xué)方法：積分

例1---11一質(zhì)點(diǎn)沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，加速度為。當(dāng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)靜止于處，求速度的表達(dá)式及運(yùn)動(dòng)方程。解因，則有積分，得（分離變量法）又，則有積分得運(yùn)動(dòng)方程***也可用不定積分。

例1---12一質(zhì)點(diǎn)沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，加速度為，質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度為。求速度與位置的關(guān)系。解因，如何找的關(guān)系，分離變量，并積分得***也可用不定積分。

例1—14一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，加速度與速度的夾角保持不變，時(shí)的初速度為，求質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)的路程隨時(shí)間的變化關(guān)系。解：由圖示知，解：由圖示知，

用分離變量法可求速率與時(shí)間的關(guān)系。再積分可求質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)的路程隨時(shí)間的變化關(guān)系。（略)正確的表述為或第四節(jié)相對運(yùn)動(dòng)

在本章一開始，我們就談到運(yùn)動(dòng)的相對性。物體做機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械運(yùn)動(dòng)的描述是相對的（舉例略）。

對不同的參照物，其運(yùn)動(dòng)方程，位矢，位移，速度，速率，加速度，軌道方程等可能是不同的。甲（被研究客體）乙（被選參照物）相對軌跡相對速度相對加速度（相對位矢）運(yùn)動(dòng)的相對性=+或–=則速度矢量關(guān)系為地球甲乙

設(shè)想有三個(gè)客體：地球，甲和乙。相對位矢如圖，則有矢量間關(guān)系式則加速度矢量關(guān)系為或+=歸納有如下關(guān)系注意下標(biāo)的循環(huán)關(guān)系，熟記可有利求解此類問題。

例1----11風(fēng)相對地面由正東南吹來，速度為，一人相對地面向東跑去，速度為，則人感到風(fēng)從何方吹來?風(fēng)速多大?其中解：畫出各速度間的矢量關(guān)系圖北南東西用矢量圖可求的大小和方向（略）。注意到推廣：若有甲，乙和丙三客體，之間存在著相對運(yùn)動(dòng)，則有例題點(diǎn)評

實(shí)驗(yàn)與理論表明，光速是絕對的，在相對運(yùn)動(dòng)的慣性系內(nèi)，測得光在真空中的速度相同。稱為光速不變原理，由此產(chǎn)生了近代物理之一：相對論。***

注意：位矢，軌跡，位移，路程，速度，速率，加速度等相對性。及動(dòng)力學(xué)中的功；動(dòng)能，動(dòng)能定理；動(dòng)量，動(dòng)量定理等也具有相對性。第四節(jié)牛頓運(yùn)動(dòng)定律

牛頓運(yùn)動(dòng)定律是經(jīng)典力學(xué)的核心，它定量地描述了運(yùn)動(dòng)和作用的關(guān)系，從更深的層次上揭示了經(jīng)典力學(xué)的本質(zhì)，它是確定性的理論。根據(jù)已經(jīng)掌握的概念和規(guī)律，在此僅作概括敘述。

一牛頓運(yùn)動(dòng)定律1第一定律例題1---8如圖,求兩條繩內(nèi)的拉力.解:1分析物體受力,畫出受力圖.例題1---9如圖,求斜面和檔板對物體的作用力.解1分析物體受力,畫出受力圖.2因,故三個(gè)力矢量構(gòu)成封閉三角形.靜力學(xué)的美2第二定律特點(diǎn)：矢量性，瞬時(shí)性，相對性。兩種分量式

（1）若采用在直角坐標(biāo)系下用牛二律求解問題，分量式為

為一組代數(shù)式，式中各量為代數(shù)量，是牛二律矢量式中的矢量在選定的軸上的投影(或分量)。一般是把一個(gè)軸的正方向選在沿物體的運(yùn)動(dòng)方向，而另一軸與運(yùn)動(dòng)方向垂直。（2）若采用在自然軸系下用牛二律求解問題，分量式為

為一組代數(shù)式，一般在曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)采用。式中各量為代數(shù)量，是牛二律矢量式中的矢量在物體的運(yùn)動(dòng)方向（速度方向）上和指向曲率中心方向上的投影。力的切向分量方向與速度方向一致時(shí),該分量取正,反之取負(fù);力的法向分量指向曲率中心,該分量取正,反之取負(fù).3第三定律（略）作用力與反作用力間經(jīng)驗(yàn)談

大學(xué)物理中，有一些物理量用矢量表示，如速度，加速度等；而有些物理規(guī)律用矢量式表示，如牛二律等。在很多情形下，往往用到其投影量或投影示求解，應(yīng)學(xué)會據(jù)問題的性質(zhì)和特點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，把涉及到的矢量（方向可設(shè)定，非真正的方向）投影，注意投影的正，負(fù)符號選取。多實(shí)踐，多練習(xí)。此后，還遇到此類問題。銀河系土星土星的光環(huán)由線度為的粒子形成土星環(huán)天體力學(xué)的美流星雨點(diǎn)評自然力漫談四種力：1萬有引力：源于引力場-----引力子-----引力波(星體間，潮汐)2電磁力：源于電磁場-----光子宏觀的表現(xiàn)力有：彈性力，壓力，張力，拉力，摩擦力，浮力…3強(qiáng)力：存在中子，質(zhì)子及強(qiáng)子間，源于介子場----色力----色子（膠子）。4弱力：存在中子，質(zhì)子及強(qiáng)子間，如衰變中，由粒子傳遞。***超統(tǒng)一理論簡介。***

揚(yáng)---李與弱相互作用不守恒。5第五種力20世紀(jì)80年代提出，正驗(yàn)證中。大統(tǒng)一理論超統(tǒng)一理論規(guī)范場宇宙現(xiàn)時(shí)的宇宙人眼可視的星體：顆銀河系：星體顆。太陽系到銀河系中心距離：光年銀河系之外還有個(gè)星系。大的星系有個(gè)恒星目前發(fā)現(xiàn)距我們最遠(yuǎn)的星體：光年宇宙的形成宇宙的年令：億年，即秒宇宙的形成：大爆炸初時(shí)，宇宙的密度無限大，溫度無限高爆炸半小時(shí)后，溫度降為，基本粒子產(chǎn)生宇宙在膨脹宇宙的線度星系圖該星系與銀河系類似。由星體個(gè)組成。成扁盤狀，中心亮。整個(gè)星系繞垂直于盤面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。太陽為星系中的一個(gè)星體。繞星系的轉(zhuǎn)動(dòng)速度約，轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為年。按引力理論的計(jì)算結(jié)果與觀測的結(jié)果不附。有人提出暗物質(zhì)的存在。計(jì)算時(shí)沒有考慮暗物質(zhì)所致，據(jù)估算，宇宙中暗物質(zhì)約占90%。但暗物質(zhì)至今尚未被發(fā)現(xiàn)。暗物質(zhì)（darkmatter）地面二慣性系與非慣性系慣性力

當(dāng)車在水平地面上沿直線勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，車頂懸掛的物體隨車勻速運(yùn)動(dòng)，物體水平方向不受力;懸線沿豎直方向.

當(dāng)車相對地面向右加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，木塊隨車一起相對地面加速運(yùn)動(dòng)，懸線傾斜;沿水平提供力.

以地面為參照系，或站在地面上的觀察者認(rèn)為，在繩子張力和物體重力的合力作用下，物體向右加速運(yùn)動(dòng)，據(jù)牛二律，有即以地面為參照系，牛頓定律成立。慣性系慣性系:使牛頓(第一,二)定律成立的參照系。

一般（不準(zhǔn)確情況下）把地球視為慣性系。相對地球靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)均為慣性系。地面

以車為參照物，即相對車靜止的觀察者，物體受力狀況不變，合力依然不為零，但物體對車無加速度。

可見，牛頓運(yùn)動(dòng)定律對相對慣性系做加速運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)不成立，即物體受的合力不等于物體的質(zhì)量與物體對該參照系的加速度之積。該參照系稱為非慣性系，在非慣性系不能用牛頓運(yùn)動(dòng)定律。此處非慣性系:使牛頓(第一,二)定律不成立的參照系。非慣性系相對地面做直線加速(或減速)運(yùn)動(dòng)的參照系均為非慣性系。附加力為稱為慣性力。

回到剛才的問題：對非慣性系，物體所受合力不為零，但物體相對于非慣性系靜止,，車上的觀察者如何來解釋這一物理現(xiàn)象呢?他設(shè)想，該物體除了受到力和之外，還多受到一個(gè)附加力，它與和之合力大小相等，而方向相反，因而，其相對非慣性系的加速度必為零。如例圖示。

在非慣性系內(nèi)物體受力圖附加力(想象的力)應(yīng)為即為對非慣性系而言,有即考慮了此力后,對非慣性系,牛頓定律仍然成立.

可見，在非慣性系內(nèi)，必須多考慮一個(gè)力，此力稱為慣性力。它與其它力的矢量和構(gòu)成的合力等于研究物的質(zhì)量與該物相對非慣性系的加速度的積，對地面（慣性系）的牛二律形式為地面引入慣性力的另一種方法：

如圖所示，車相對地面的加速度為，而物體相對車的加速度為，則物體對地面的加速度為對車（非慣性系）的牛二律形式為或

上述的結(jié)論具有普遍的意義：在任何相對慣性系作加速直線運(yùn)動(dòng)的參照系中研究動(dòng)力學(xué)問題（包括平衡問題），在考慮了慣性力后，仍可用牛頓定律。各量物理意義解釋：為研究物體的質(zhì)量，為非慣性系相對慣性系的加速度，負(fù)號表明慣性力的方向與的方向相反。在非慣性系下的牛二律形式其中

慣性力與其它力一起，作用在物體上，決定物體相對非慣性系的規(guī)律。1慣性力是由于非慣性系相對慣性系加速運(yùn)動(dòng)引起的，它不是物體間的相互作用，因而，無反作用力，也無施力的物體。常被稱為想象的力或虛擬力.2慣性力影響物體對非慣性系的運(yùn)動(dòng)。***

舉例由車輛中的乘客在車加速，減速；電梯的加減速；等。3非慣性系中慣性力的確定。

慣性力：慣性力看似抽象，實(shí)則具體而現(xiàn)實(shí)。例如，當(dāng)我們處在變速運(yùn)動(dòng)的交通工具中時(shí)，會直接感受到此的存在力。當(dāng)火車沿路軌加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對地面靜止的房屋，樹木等在乘客看來是向著火車運(yùn)動(dòng)的反方向加速運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)力學(xué)講，既然有加速度，一定有力的作用，此力為慣性力。如

擺無論在車上還是在地面，所受慣性力相同。一個(gè)相對車（非慣）靜止，而另一個(gè)相對車（非慣）加速運(yùn)動(dòng)。***慣性力與等效原理------廣義相對論（略描述）。

再如，光滑的斜面上有一木塊，二同樣斜面，一個(gè)固定在地面，而另一個(gè)固定在車上。從非慣性系研究二木塊：地上者車上者然而，二木塊（地面與車上者)對斜面的壓力不同。因故在地上者可計(jì)為

這表明，由地面慣性系和車的非慣性系來研究同一木塊，其動(dòng)力學(xué)方程不同，運(yùn)動(dòng)規(guī)律（運(yùn)動(dòng)方程，速度及加速度等)也各異，但物體間的作用力是相同的。為慣性系的動(dòng)力學(xué)方程。

在車加速時(shí)，欲保持人相對車靜止，車上的人同時(shí)受到慣性力和地面對腳下的作用力，而的存在的真實(shí)性，使車中人感到了慣性力真實(shí)存在，。而地上人對車有加速度，該慣性力對車存在，引其人對車有加速度，但沒有“真實(shí)”的力存在，此慣性力是虛擬力，人無法感覺到它的存在。

還有一個(gè)問題：如圖，為什麼車上的人感覺到了慣性力的存在，而地上的人感覺不到?人人1在轉(zhuǎn)動(dòng)參照系（非慣性系）內(nèi)物體也受到慣性力，即慣性離心力。分析如下：物體隨盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)物體隨盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)。***另外兩種慣性力簡介（了解）從慣性系（地面）看來從非慣性系（盤）看來，物靜，沿向外，故稱慣性力為慣性離心力。則必須為附加力，為***舉例（略）

在環(huán)繞地球飛行的宇宙飛船內(nèi)，物體的慣性離心力與向心力即重力平衡。因而船內(nèi)的所有物體包括宇航員都處于失重的狀態(tài)。在太空艙內(nèi)，宇航員成為一個(gè)飄忽不定的人。他可以好不費(fèi)力握住一個(gè)東西，但轉(zhuǎn)體等動(dòng)作確十分困難。圖象中所呈現(xiàn)的宇航員手舞足蹈，是為了自己前進(jìn)或轉(zhuǎn)體。***

太空站內(nèi)的微重力僅是地面上的百萬分之一。比如，一個(gè)硬幣下落1.8m，在太空站內(nèi)用600s,而在地面上用0.6s。

***微重力環(huán)境對晶體生長，化學(xué)反應(yīng)，種子發(fā)育，植物生長，藥物治療，動(dòng)物的心理和生理等產(chǎn)生顯著和微妙的影響。

***

十六國在2005年建立大國際空間站，站內(nèi)空間約為，飛行高度為,速度為，繞地球一周約90分鐘，從船上可看到地球面積。太空站飛船內(nèi)的宇航員漂浮在船內(nèi)宇航員倒立在船內(nèi)空中***離心力對重力的影響物體離心力方向地球重力方向引力方向重力隨緯度的變化規(guī)律,經(jīng)計(jì)算為離心力對重力的影響很小,約千分之幾.從宇宙飛船上拍攝的地球2在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的參照系中運(yùn)動(dòng)的物體，除了上述受的慣性離心力之外，還受到另一慣性力：科里奧利力，簡述如下。質(zhì)點(diǎn)對盤（非慣性系）的相對速度圓盤質(zhì)點(diǎn)對地（慣性系）的速度則對地有對盤有慣性離心力科里奧利力此時(shí)的科氏力方向同慣性離心力方向，沿方向?？剖狭Φ氖噶渴嚼鐖A盤圓盤科里奧利力(選自KaneSternheinPhysics04K162)

如圖所示，盤面光滑，一人站在點(diǎn)，沿一半徑向外的點(diǎn)以速度拋一球，則球經(jīng)一定時(shí)間，定會到達(dá)點(diǎn)。

如圖所示，盤面光滑，一人站在點(diǎn)，相對勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的盤，以速度向外的點(diǎn)拋一球，則球經(jīng)一定時(shí)間，球是否還能會到達(dá)遠(yuǎn)處的點(diǎn)呢?為什麼?

球相對地的速度應(yīng)是與在點(diǎn)的橫向速度之矢量和，即

因盤面光滑，對地而言，在與垂直的方向無外力作用在球上。故球沿直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一定時(shí)間，球由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。其中對地的軌跡我們先來看一下球相對地面參照系的運(yùn)動(dòng)。對地的軌跡

注意到盤同時(shí)沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)中，當(dāng)球到達(dá)點(diǎn)時(shí)，拋出點(diǎn)已相對地轉(zhuǎn)到了點(diǎn)，同時(shí)盤上的點(diǎn)也相對地面轉(zhuǎn)到了點(diǎn)，在以轉(zhuǎn)動(dòng)的盤為參照系看來，球是由點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)。

球相對轉(zhuǎn)動(dòng)的盤的軌跡如同平拋運(yùn)動(dòng)，故在與垂直的橫向有力，此力為慣性力，稱為科里奧利力。對盤的軌跡為曲線在看一下球相對轉(zhuǎn)動(dòng)的盤面是如何運(yùn)動(dòng)的。

注意：和相對盤面是同一點(diǎn)；而和相對盤面是同一點(diǎn)；

物體受科氏力的方向：在盤上沿盤面的半徑向盤緣拋出的物體偏向目標(biāo)（B點(diǎn)）的右側(cè)。對地的軌跡對盤的軌跡為曲線由向（相對速度指向圓心)的情形。

在盤上沿盤面的半徑向盤心拋出的物體偏向目標(biāo)（A點(diǎn)）的右側(cè)。***科里奧利力又一定性解釋

如圖，設(shè)想一圓盤饒過盤心0的豎直軸在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在盤面上由盤心向盤緣開有一直溝槽。槽內(nèi)有一物體，由盤心向盤緣以相對速度向外運(yùn)動(dòng)。對地面（慣性系）而言，物體在垂直溝槽的方向上速度越來越大（），即物體在該方向上有加速度，該加速度由槽邊作用給物體。

但對盤而言，物體在與槽垂直的方向上是靜止的，無加速度。故相對盤靜止的觀察者認(rèn)為，物體還受一個(gè)與相反的力，此力為科里奧利力。

物體由盤緣向盤心以相對速度向內(nèi)運(yùn)動(dòng)。***科里奧利力又一定性解釋

如圖示，一圓盤繞一固定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)想一物體A位于空中一點(diǎn)P，相對地面（慣性系）不動(dòng)。物體相對盤的速度為。若物體從靠近盤心處一點(diǎn)向盤的邊緣方向上的另一點(diǎn)沿直線（對地）以速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，變大，變大。這表明，相對盤而言，在橫向上有加速度。相對盤而言，產(chǎn)生此效應(yīng)的慣性力稱為科里奧利力。物體對盤的軌跡為曲線。俯視圖

設(shè)時(shí)刻物體在盤上的位置是，經(jīng)時(shí)間后到達(dá)，在地面的觀察者看來，物體有兩個(gè)速度分量：徑向分量和角向分量。

時(shí)間后，盤轉(zhuǎn)過角度，分量使物體走到，

如果沒有加速度，此速度分量與分量合成，把物體帶到點(diǎn)；然而物體實(shí)際上已到達(dá)點(diǎn)。位移是由加速度引起的。在這一極短時(shí)間內(nèi)可認(rèn)為加速度均勻，令由圖知，得橫向?qū)Φ氐募铀俣瓤剖狭榭剖狭Φ谋硎?/p>

1以地面為參照系計(jì)算導(dǎo)彈或衛(wèi)星的軌道時(shí)，要計(jì)科氏力?？梢宰C明沿相對速度指向看，指向物體運(yùn)動(dòng)的右側(cè)。2在北半球，南北流動(dòng)的河流，順著水流看，河岸的右岸沖刷利害。3火車南北行駛時(shí)，順火車的運(yùn)行方向看，雙軌鐵路的右軌磨損嚴(yán)重，4高處落體偏東。***應(yīng)用與相關(guān)現(xiàn)象：物體引力方向地球三應(yīng)用1已知運(yùn)動(dòng)求力，如壓力，張力等。此類問題大家相當(dāng)熟悉，并做過大量的練習(xí)。

牛頓運(yùn)動(dòng)定律是整個(gè)經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)，用它可直接求解兩類問題：2已知力求運(yùn)動(dòng)。知道力的形式，如，力是速度，時(shí)間或位置的函數(shù)，求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，?；蚪o出加速度是時(shí)間，位置或速度的函數(shù)，即，由此求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，。所用工具-----高數(shù)的積分學(xué)。此類問題大家不熟悉，應(yīng)掌握它。無論哪類問題，但求解的思路是一樣的?？蓺w納為一下幾條。用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解題目步驟總結(jié)：1運(yùn)用隔離體法，對所研究的各物體，分析其受力（若對非慣性系研究，勿忘慣性力），并畫出受力圖。2列出各物體的牛二律的數(shù)學(xué)表達(dá)式（矢量式）。3建立坐標(biāo)系，寫出上述表達(dá)式的投影式（代數(shù)式）。4若求解的方程數(shù)目小于未知量數(shù)目，應(yīng)寫出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)聯(lián)式。5進(jìn)行文字運(yùn)算，然后帶入數(shù)據(jù)求解。經(jīng)驗(yàn)談非慣性系中牛二律矢量式其中例1—11如圖所示，求木塊的。光滑光滑m解1在非慣性系中考慮。斜塊相對地面（慣性系）加速運(yùn)動(dòng)，斜塊為非慣性系。研究體木塊，受力圖慣性力建立坐標(biāo)系，寫分量式（代數(shù)式）代數(shù)式2在慣性系中考慮受力圖m矢量式對地的加速度光滑光滑m(代數(shù)式)分量式兩種解法的結(jié)果相同。

例1—12如圖，斜面固定在地面上，不計(jì)所有摩擦，求斜面與A間，A與B間的作用。例題

解：以地面為參照系（慣性系）的受力圖A木塊：牛二律的矢量式的形式投影式(代數(shù)式)（1)（2)取向下為正方向，投影式(代數(shù)式）為運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律B木塊牛二律的矢量式的形式聯(lián)立求解，運(yùn)算及結(jié)果略。（4)（3)

因木塊A相對地面加速運(yùn)動(dòng)，故為非慣性系，取A木塊為參照系，本題也可在非慣性系內(nèi)求解，此時(shí)，木塊A的受力圖為在非慣性系內(nèi)的牛二律形式木塊B的受力圖為在非慣性系內(nèi)的牛二律形式取向下為正方向，投影式(代數(shù)式）為在豎直方向B相對B無運(yùn)動(dòng)。計(jì)算略。

在物理中，物理量用三位有效數(shù)字表示。小數(shù)點(diǎn)后面取兩位。如有效數(shù)字或用指數(shù)表示則

例1—12若物體從靜止下落，空氣阻力為，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（其中為正常數(shù)）靜止釋放解：據(jù)牛二律或以釋放點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，矢量式的投影式為

該式不是一個(gè)表示速度和時(shí)間間的代數(shù)式，不能表示速度隨時(shí)間變化的顯函數(shù)關(guān)系。該式為含有導(dǎo)函數(shù)的式子，為微分方程，欲得到速度隨時(shí)間的變化顯函數(shù)關(guān)系，則用積分法。

為此，須把式中的二變量和移到式的兩邊，稱為分離變量法積分該式速度的表達(dá)式運(yùn)動(dòng)方程為則例題靜止釋放解：據(jù)牛二律以釋放點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，選軸向上為正方向時(shí)，若選則軸向上為正時(shí)注意到此時(shí)速度沿軸的負(fù)方向，投影為，牛二律矢量式的投影式為若速度的投影為，，則阻力為牛二律矢量式的投影式為注意，該方向加速度分量是該方向速度投影（分量)的時(shí)變率；把加速度表為是錯(cuò)誤的，因不是該方向上的速度分量。

例1—13如圖，半徑為的圓環(huán)固定在光滑的水平面上，一物體沿圓環(huán)內(nèi)壁作圓周運(yùn)動(dòng)，物體與內(nèi)壁之間的滑動(dòng)摩擦為，時(shí),速率為，求物體速率的表達(dá)式，水平面圓環(huán)解：在平面內(nèi)物體受力圖為牛二律的分量式為切向：法向：

二式聯(lián)立，消去，在利用分離變量法可得結(jié)果（略）。則學(xué)習(xí)指導(dǎo)解：時(shí)刻，切向：法向：以速度的方向?yàn)榍邢虻恼较颉Ｓ智邢蚴阶優(yōu)榉蛛x變量積分可得與法向式結(jié)合，可求張力的表達(dá)式。

例1—14如圖所示，細(xì)繩栓一質(zhì)量為的小球，在豎直平面內(nèi)繞點(diǎn)以為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)。時(shí)，小球在最低點(diǎn)以初速度運(yùn)動(dòng)，求小球速率與位置的關(guān)系。

在大學(xué)物理中，物理量通常為變量，這表明了自然界客觀規(guī)律的復(fù)雜性。在物理學(xué)中，一些物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式（物理量間的函數(shù)式）用代數(shù)式的形式表示，例如而另有一些規(guī)律以微分的形式表示，例如

若想使變量間的微分形式變成代數(shù)式形式，即把微分式中的幾個(gè)變量設(shè)法變成二個(gè)變量，使等號的兩邊各有一個(gè)變量，即使二個(gè)變量分離，積分等號兩邊的二變量即可。經(jīng)驗(yàn)談春江水暖鴨先知水平面一功研究力的空間累積及效果。

而路程是由A到B的位移的大小，且是恒力和位移的夾角的余璇。故上式可表述為第五節(jié)功動(dòng)能定理

1恒力的功力的大小和方向不變。定義（略）

設(shè)物體沿直線由A運(yùn)動(dòng)到B，一恒力作用在物體上。該過程中的該力的功為

式中是恒力在物體運(yùn)動(dòng)方向上的投影，可見，僅力的切向分量作功。是路程。功是標(biāo)量。平面2變力的功設(shè)一變力作用在物體上，如何求其功。借用恒力功的思想。把由A到B分成一系列小位移則整個(gè)過程的功元位移上的功為（變中有不變的思想）令相對性（解釋略)能量傳遞與交換的量度。過程量特性：3功的常用計(jì)算方法直接用定義式或

為力矢量在瞬時(shí)速度方向（運(yùn)動(dòng)方向）上的投影，即力的切向分量，可見僅切向力作功，切向力與速度同向，為正，做正功：反之做負(fù)功。式中，為力矢量與瞬時(shí)速度（即元位移）間夾角，而為元位移大小，即路程。合力的功合力的功為各分力的功的代數(shù)和。在直角坐標(biāo)系下（二維）則有

式中的為代數(shù)量，為力在選定坐標(biāo)軸上的投影。第一物體受的力與其對第二物體相對的元位移點(diǎn)積為元功?；?/p>

一對作用力和反作用力的功參照物設(shè)一物體由A運(yùn)動(dòng)到B。物體受合力為變力。合力的元功為由A到B過程中合力的功動(dòng)能二動(dòng)能定理動(dòng)能定理：合外力的功等于物體動(dòng)能的增量。

說明該式為過程公式，有相對性。（1）瞬時(shí)性；（2）相對性；

（3）機(jī)械運(yùn)動(dòng)的本領(lǐng)。源于外界對研究體做功，而有動(dòng)能表明其有對外做功的本領(lǐng)及機(jī)械運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為其他形式運(yùn)動(dòng)的能力。是機(jī)械運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為其他形式運(yùn)動(dòng)的能力的量度。

例1—15質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)沿X軸正向運(yùn)動(dòng)，受力為，試求在頭三秒內(nèi)該力的功。解：

例1—16一根長度為的鏈條，放在摩擦系數(shù)為的桌面上，下長為，鏈從靜止開時(shí)下滑，求其剛離開桌面時(shí)的速率。解：下落過程中，摩擦力為變力，表示為功為另一種解法：積分牛二律上式分離變量，積分可得結(jié)果。

例1—13如圖，半徑為的圓環(huán)固定在光滑的水平面上，一物體沿圓環(huán)內(nèi)壁作圓周運(yùn)動(dòng)，物體與內(nèi)壁之間的滑動(dòng)摩擦為，時(shí),速率為，求物體速率的表達(dá)式，水平面圓環(huán)解：在平面內(nèi)物體受力圖為牛二律的分量式為切向：法向：

二式聯(lián)立，消去，在利用分離變量法可得結(jié)果（略）。則學(xué)習(xí)指導(dǎo)解：時(shí)刻，切向：法向：以速度的方向?yàn)榍邢虻恼较?。又切向式變?yōu)榉蛛x變量積分可得與法向式結(jié)合，可求張力的表達(dá)式。

例1—14如圖所示，細(xì)繩栓一質(zhì)量為的小球，在豎直平面內(nèi)繞點(diǎn)以為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)。時(shí)，小球在最低點(diǎn)以初速度運(yùn)動(dòng)，求小球速率與位置的關(guān)系。

例1—15一力作用在質(zhì)量為m=3Kg的質(zhì)點(diǎn)上，質(zhì)點(diǎn)沿X軸方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為（SI）。試求該力在最初4秒內(nèi)所作的功。解：由題意知，質(zhì)點(diǎn)在力作用下沿X軸運(yùn)動(dòng)，所以力也必沿X軸方向運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)方程可知質(zhì)點(diǎn)作變加速運(yùn)動(dòng)，力為變力，功為變力做功。元功該力在4秒內(nèi)所作的功為水平地面1重力的功重力勢能

計(jì)算把物體由移動(dòng)到過程中重力的功。元功則特點(diǎn)：(1)重力的功只決定于始末位置，與路徑無關(guān)。第六節(jié)勢能功能原理機(jī)械能守恒定律一保守力的功勢能式中的為代數(shù)量，此處水平地面(2)沿閉合回路的功為零。或稱為重力場中的環(huán)流定律。

具有上述條件的力為保守力，相應(yīng)的場為保守力場。因此，重力是保守力，重力場為保守力場。如萬有引力，靜電力等皆為保守力。而摩擦力等為耗散力。重力勢能與重力的功的關(guān)系

結(jié)論：重力的功等于重力勢能增量的負(fù)值。與零勢能面的選則無關(guān)，功值是絕對的。重力勢能

（2）相對性，與零勢能面的選擇有關(guān)。選擇不同的零勢能面，勢能間差一常數(shù)。（1）系統(tǒng)性；特點(diǎn)：或

（3）重力勢能本質(zhì)：為靜態(tài)儲能，為潛能.源于外力克服重力所做的功。物體有勢能，則具有做功的本領(lǐng)，通過重力做功而釋放，或?qū)崿F(xiàn)機(jī)械能與其它能的轉(zhuǎn)化?？朔亓ψ鞴?，重力勢能增加魚類省力不省功向上爬行

例1--18如圖所示的單擺，用一水平力，在準(zhǔn)靜態(tài)過程中，把擺球從平衡位置拉到使擺線與鉛直方向成角。求此過程中力的功。解：準(zhǔn)靜態(tài)過程，即為則在球運(yùn)動(dòng)中，變化，故為變力。解法一，按定義選坐標(biāo)軸向右為正方向，解法二則功可為若選坐標(biāo)軸向左為正方向，則功可為解法三解法四解法五零勢能面2彈性力的功彈性勢能光滑水平面平衡位置

彈性力變力

物體從到移動(dòng)中彈性力的功功的特點(diǎn)同重力功，故彈性力也稱保守力。

引入彈性勢能勁度系數(shù).

（4）彈性力的功與彈性勢能的關(guān)系保守力的功等于勢能增量的負(fù)值。形變量的平方正比。（1）彈性勢能零點(diǎn)選在彈簧未伸長處；

彈性勢能特點(diǎn)（2）彈性勢能是形變能；

（3）彈性勢能零點(diǎn)也可選在彈簧拉壓變化的任何位置；只是形式稍復(fù)雜，要在上式中附加常數(shù)。3萬有引力的功引力勢能萬有引力的大小

對作用力矢量式元功為什麼有一負(fù)號呢，原因是此情況下的是鈍角，元功為負(fù)，而。引力勢能萬有引力的功的性質(zhì)同重力功的性質(zhì)，故萬有引力也為保守力。萬有引力的功與引力勢能的關(guān)系引力勢能零點(diǎn)選在無限遠(yuǎn)處。元功為什麼有一負(fù)號呢，原因是此情形下的是銳角，元功為正，但。而元功取方向?yàn)榉较?，而力總沿方向，故僅方向的力作功引力勢能引力的功4幾點(diǎn)說明ab

勢能的物理本質(zhì)

物體在某一位置時(shí)的勢能為把該物體由勢能零點(diǎn)移到該點(diǎn)過程中外力克服保守力所做的功。c勢能是潛能。相互作用能。是系統(tǒng)的能量。它同樣代表了物體作功的本領(lǐng)。d由勢能求保守力空間坐標(biāo)的函數(shù)。彈性勢能彈性力引力勢能萬有引力例如

二功能原理機(jī)械能守恒律單一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理把動(dòng)能定理推廣到質(zhì)點(diǎn)系，該質(zhì)點(diǎn)系中，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理為則又而令體系的動(dòng)能變化

機(jī)械能即功能原理的表達(dá)式。若則釋義稱體系的機(jī)械能守恒。

解：體系運(yùn)動(dòng)中，僅保守力作功，故機(jī)械能守恒。

例1—17如圖示，一倔強(qiáng)系數(shù)為的輕彈簧一端固定；另一端系一質(zhì)量為的物體，開始時(shí)，彈簧水平，且處于原長，物體靜止。求：物體轉(zhuǎn)到下方時(shí)的速率。零勢能面運(yùn)算過程及結(jié)果略。

例1—18如圖，在一斜面的下部固定一彈簧，處于原長的狀態(tài)。頂部有一木塊，以初速為零滑下。設(shè)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，求木塊與彈簧作用后的升高的高度。解：在彈簧被壓縮到最大壓縮量的過程中，運(yùn)用動(dòng)能定理

或用功能原理，積分牛頓定律等解（略）。升高的高度三能量轉(zhuǎn)化和守恒定律

物質(zhì)的多種運(yùn)動(dòng)形式與自然界的能量形式：機(jī)，電，磁，光，聲，核能等。機(jī)械能電磁能化學(xué)能核能能量與物質(zhì)機(jī)械能電磁能化學(xué)能核能能量轉(zhuǎn)化能源的利用，能源科學(xué)，和平利用與戰(zhàn)爭。地?zé)崮芩畡菽?/p>

例1—19一根長度為的鏈條，放在摩擦系數(shù)為的桌面上，下垂長度為，鏈從靜止開時(shí)下滑，求其剛離開桌面時(shí)的速率。解：利用功能原理零勢能面利用積分牛頓定律1、對功的概念有以下幾種說法，正確的是（）（1）保守力做正功時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢能增加（2）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)一閉合路徑，保守力對質(zhì)點(diǎn)做的功為零（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反。所以兩者所作功的代數(shù)和必為零2、如圖所示，在光滑的水平地面上放著一輛小車，小車的左端放著一只箱子，現(xiàn)用同樣的水平恒力拉箱子，使它由小車的左端到達(dá)右端，一次小車被固定在水平地面上，另一次小車沒固定。以水平地面為參考系，下列結(jié)論正確的是（）（A）在兩種情況下，做的功相等（B）在兩種情況下，摩擦力對箱子的做功相等（C）在兩種情況下，箱子獲得的動(dòng)能相等（D）在兩種情況下，由于摩擦而產(chǎn)生的熱相等地面

例1—18如圖，在一斜面的下部固定一彈簧，處于原長的狀態(tài)。頂部有一木塊，以初速為零滑下。設(shè)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，求木塊與彈簧作用后的升高的高度。解：在彈簧被壓縮到最大壓縮量的過程中，運(yùn)用動(dòng)能定理

或用功能原理，積分牛頓定律等解（略）。升高的高度

研究力的時(shí)間累積及效果。第七節(jié)動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理水平面

溫故：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在合力（恒力)的作用下，沿直線從A運(yùn)動(dòng)到B。（恒力）設(shè)力的作用時(shí)間為故，大家已知道，據(jù)牛二律有

這是一新的物理規(guī)律，告訴我們，物體受合力的時(shí)間累積與動(dòng)量的增量關(guān)系。平面

知新與發(fā)展：若合力為變力，作用在物體上，物體由運(yùn)動(dòng)到。由上式得，由牛二律時(shí)刻

物理含義：該式與上式的本質(zhì)相同，依然是由牛二律得出的，只不過講的是一個(gè)新的物理規(guī)律，在力作用在物體過程中，質(zhì)點(diǎn)某瞬時(shí)所受合力（矢量）與該時(shí)刻附近的一無限小時(shí)間間隔的積與動(dòng)量（矢量）微小的增量的關(guān)系?；蛑v的變化與力的時(shí)間累積相聯(lián)系著。是一微分關(guān)系式，在作用一段時(shí)間內(nèi)定義合力的沖量，是矢量；也是一種作用。具有矢量性，瞬時(shí)性，相對性等特征。動(dòng)量的增量。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。的方向可以是沿或的方向，也可為其它的方向。動(dòng)量：說明:1合力為恒力時(shí)2合力為變力時(shí)

分量式（若二維時(shí)）（代數(shù)式）3求平均力分量式4定理微分形式

反映了動(dòng)量的增量，或微分，與合力的瞬時(shí)力方向同，動(dòng)量的增量與聯(lián)系著，盡管合力是變力，在微小時(shí)間內(nèi)可視為恒力。該式為一時(shí)間過程方程。

在一些復(fù)雜作用過程中，力是隨時(shí)間變化的，很難用牛二律求出瞬時(shí)力，但知過程中的初，末動(dòng)量或動(dòng)量的增量，及過程發(fā)生所用時(shí)間，可求平均作用力。5牛二律的又一形式與式的不同點(diǎn)在于,該式適合質(zhì)量變化時(shí)的情形.

人體與方向盤間的的氣袋以保證緊急剎車時(shí)的安全。為何系安全帶的原因。力的沖量動(dòng)物與人例1—20求斜拋物體從拋出到運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過程中力的沖量。設(shè)物體的初速度為，拋射角為，質(zhì)量為。解：按公式方向水平，大小為其中矢量關(guān)系圖為方向向下。為什么？大小另一種解法：知物體受力為恒力，故有大小方向與同。

例1—21如圖所示，質(zhì)量為的鋼性小球速度為，與一速度為退行的硬墻壁進(jìn)行完全彈性碰撞，則墻壁對小球的沖量為多少。墻對地球?qū)Φ?/p>

解：以墻為參照系，取向右為正方向，球相對墻的動(dòng)量，設(shè)墻的動(dòng)量保持不變，碰撞前球的動(dòng)量碰撞后球的動(dòng)量則墻壁對小球的沖量墻對地球?qū)Φ匾缘孛鏋閰⒄障?，球向右為正方向，球的?dòng)量碰撞前碰撞后

可見，在二相對運(yùn)動(dòng)的慣性系內(nèi)，被研究物體的速度，動(dòng)量各異，然動(dòng)量的變化及沖量相同，是因?yàn)樗芎狭εc慣性系的選擇無關(guān)。

例1—22力作用在質(zhì)量為的物體上，求力在到間的速度的增量。解：動(dòng)量的增量速度的增量另一種解法的思路為系統(tǒng)內(nèi)力外力二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理物體系物體系物體系物體系物體系物體系（1）+（2），考慮到一對內(nèi)力之和為零，即得（1）（2）對和分別運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理推廣到個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)質(zhì)點(diǎn)體系,則有即為所選的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和。則系統(tǒng)的動(dòng)量為

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理（積分式)：質(zhì)點(diǎn)系所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量。點(diǎn)評1合外力改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。內(nèi)力不影響系統(tǒng)的總動(dòng)量，但影響系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)物體的動(dòng)量。因而，內(nèi)力實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的動(dòng)量交換和傳遞。2求平均力在時(shí)間過程內(nèi)，系統(tǒng)的動(dòng)量定理為式中為內(nèi)的平均力。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理的微分形式或

因小，在時(shí)間內(nèi)可視為恒力，平均作用力可視為時(shí)刻對體系的作用力。經(jīng)驗(yàn)談

下面會看到，上述的表述式有廣泛的應(yīng)用，是牛二律所不能代替的。在運(yùn)用物體系的動(dòng)量定理時(shí)，1要選好合適的物體系；2在運(yùn)用微分式時(shí)，在時(shí)間內(nèi)，力為時(shí)刻的瞬時(shí)平均合外力，而關(guān)鍵證確的表示出時(shí)刻體系的動(dòng)量和體系的動(dòng)量，用式求解問題。

解：直觀理解與分析：傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)，為何帶還有拉力呢?這是因?yàn)?，下落到帶上的礦石在落到帶上時(shí)，動(dòng)量由豎直方向變到了水平方向，動(dòng)量發(fā)生了變化，由動(dòng)量定理知，水平方向的動(dòng)量變化，必有力沿水平作用到落到帶的礦砂上，此力由傳送帶提供。

例1—23如圖示，下落到傳送帶上的質(zhì)量為，求傳送帶的水平拉力。傳送帶

時(shí)刻，快要與帶接觸，在水平方向上的動(dòng)量為1解法一選下落的一小部分礦砂研究。規(guī)定正方向向右。2解法二：取傳送帶上的質(zhì)量和下落中的接近帶的質(zhì)量為一力學(xué)系統(tǒng)為研究對象。取向右為正方向，用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理微分式，體系的水平方向的動(dòng)量為

在時(shí)刻落到帶上，獲得水平速度，水平方向的動(dòng)量為

從直觀理解，在水平方向獲得動(dòng)量增量,故必有水平方向的力作用在其上。據(jù)動(dòng)量定理的微分形式，有顯然,此力由傳送帶提供.如何求傳送帶在豎直方向受的沖擊力？***

然而，該題用牛二律無法求得力，因無加速度。注意用牛二律和動(dòng)量定理得區(qū)別。例1—24如圖示，一初速度為零，質(zhì)量為

的車在水平恒力的作用下在光滑的水平面上向右運(yùn)動(dòng)。礦沙以下落，求車的速度和加速度的表達(dá)式。按質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

解：設(shè)時(shí)刻車的質(zhì)量為，接近車的礦沙為，以二者為力學(xué)系統(tǒng)，或研究對象，取向右為正方向，則水平方向的動(dòng)量為其中由運(yùn)動(dòng)學(xué)得加速度的表達(dá)式能否用牛二律得加速度的表達(dá)式？速度的表達(dá)式

另一種解法：對車，沿水平方向運(yùn)用微分形式的動(dòng)量定理，有

注意：車的質(zhì)量是隨時(shí)間變化的，故必在括號內(nèi)。積分上式，有得有同樣得加速度的表達(dá)式。若使車保持勻速前進(jìn)，求拉力。車在光滑的水平面上勻速運(yùn)動(dòng),為何還需外力拉動(dòng)？1、對功的概念有以下幾種說法，正確的是（）（1）保守力做正功時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢能增加（2）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)一閉合路徑，保守力對質(zhì)點(diǎn)做的功為零（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反。所以兩者所作功的代數(shù)和必為零2、如圖所示，在光滑的水平地面上放著一輛小車，小車的左端放著一只箱子，現(xiàn)用同樣的水平恒力拉箱子，使它由小車的左端到達(dá)右端，一次小車被固定在水平地面上，另一次小車沒固定。以水平地面為參考系，下列結(jié)論正確的是（）（A）在兩種情況下，做的功相等（B）在兩種情況下，摩擦力對箱子的做功相等（C）在兩種情況下，箱子獲得的動(dòng)能相等（D）在兩種情況下，由于摩擦而產(chǎn)生的熱相等地面1、一質(zhì)點(diǎn)在外力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，下述哪種說法正確（）（A）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量改變時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能一定改變（B）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能不變時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量也一定不變（C）外力的沖量為零，外力的功一定為零（D）外力的功為零時(shí)，外力的沖量一定為零2、關(guān)于機(jī)械能守恒條件和動(dòng)量守恒條件有以下幾種說法，正確的是（）（A）不受外力作用的系統(tǒng)，其動(dòng)量和機(jī)械能必然同時(shí)守恒（B）所受合外力為零，內(nèi)力都是保守力的系統(tǒng)，其機(jī)械能必然守恒（C）不受外力，而內(nèi)力都是保守力的系統(tǒng)，其動(dòng)量和機(jī)械能必然同時(shí)守恒（D）外力對一個(gè)系統(tǒng)做功為零，則該系統(tǒng)的機(jī)械能和動(dòng)量必然同時(shí)守恒

例1—25一長為質(zhì)量為的的柔繩一端恰與桌面接觸。由靜止自由下落，求下落長時(shí)，繩對桌面的作用力。靜止下落

解：直觀理解和分析：落繩的過程中，桌面上的質(zhì)量不斷增加，與桌面間的作用力增加；同時(shí)，下落到桌面上的質(zhì)量其動(dòng)量由非零變?yōu)榱?，即?dòng)量變化，桌面對其有作用力，故落繩對桌面有一沖擊力。應(yīng)綜合考慮。

如何求繩對桌面的沖擊力，先考慮高中物理的一個(gè)問題：小球?qū)ψ烂娴淖饔昧η蠓?。平均作用力自由下落故球?qū)ψ烂嫫骄饔昧橛蓜?dòng)量定理得1解法一可采用類比法，仿落球問題，求一連續(xù)下落的繩子對桌面的作用力，正所謂“溫故知新”。取一接近桌面的質(zhì)元為研究對象（似球)。取向上為正方向。靜止下落

當(dāng)接近桌面時(shí)速度為，其動(dòng)量

(靠近桌面瞬時(shí))時(shí)刻動(dòng)量（落到桌面后瞬時(shí))時(shí)刻動(dòng)量由動(dòng)量定理,得則時(shí)刻已落到桌面上的部分對桌面的作用力為故得繩對桌面作用力的大小為該力的大小也為繩對桌的作用力大小.2解法二以桌面上的落繩和接近桌面的一質(zhì)元為質(zhì)點(diǎn)系，為研究對象。取向上為正方向。由本題從中得到的啟示1高中物理與大學(xué)物理在處理問題時(shí)的共性，類比性。2大學(xué)物理處理問題的廣延性。3大學(xué)高數(shù)處理大學(xué)物理問題的靈活性及普適性。4溫故知新，重在知心求新和創(chuàng)新，創(chuàng)造性和研究性學(xué)習(xí)。所選物體系的動(dòng)量為設(shè)桌面對所選體系的作用力為，則結(jié)果同上。3解法三對整條繩子運(yùn)用動(dòng)量定理的微分形式，取向上為正。

設(shè)時(shí)刻，空中部分的質(zhì)量為，桌面上部分的質(zhì)量為體系動(dòng)量為在時(shí)刻，中的()質(zhì)量落到桌面上體系動(dòng)量變?yōu)橛蓜?dòng)量定理得略去4解法四取空中部分為研究對象，取向上正方向。體系動(dòng)量由動(dòng)量定理得略去而桌面上已有部分，故對桌面的作用力為解法五對整條繩運(yùn)用動(dòng)量定理（微分形式）

取向下為正方向，有式中為繩的質(zhì)量，桌面對繩的作用力，為此瞬時(shí)空中部分繩的質(zhì)量。靜止下落則繩對桌的的作用力大小也為此力.經(jīng)驗(yàn)談物體系（質(zhì)點(diǎn)系）動(dòng)量定理釋義1時(shí)刻體系的動(dòng)量2時(shí)刻體系的動(dòng)量質(zhì)量增量以計(jì)，速度增量以計(jì)，為過程中的合外力。則最初由質(zhì)點(diǎn)的牛二律得來，質(zhì)量為恒量。由以上的題目可知，此式在變質(zhì)量的體系內(nèi)也可用。選好體系，分別列出例題點(diǎn)評

由本題的的多種解法給我們以啟示：教無定法，學(xué)無定法。學(xué)者需慎思，善變，又要篤行，更要做到“山不讓塵，川不辭盈”2分量式（在選定的坐標(biāo)軸上寫出分量式，為代數(shù)式）。3若體系所受合外力不為零，但在某一方向上的合力的分力零，則在該方向上的動(dòng)量守恒。1矢量式。說明三動(dòng)量守恒定律若則

4若內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，可用動(dòng)量守恒。5僅適合慣性系。6內(nèi)力可實(shí)現(xiàn)動(dòng)量的轉(zhuǎn)移；內(nèi)力可做功，故物體系的機(jī)械能不一定守恒。光滑水平面作用前作用后四碰撞幾種典型的碰撞1完全非彈性碰撞結(jié)論：1動(dòng)量守恒2機(jī)械能不守恒演示12完全彈性碰撞光滑水平面作用前作用后結(jié)論：1動(dòng)量守恒2機(jī)械能守恒演示2光滑水平面