北師大版必修1第2章2.2(2)～2.3函數(shù)的表示法(二)映射

2.2函數(shù)的表示法（二）2.3映射學(xué)習(xí)目標1.會用解析法及圖像法表示分段函數(shù) .2.給出分段函數(shù)，能研究有關(guān)性質(zhì) .3.了解映射的概念.知識點一分段函數(shù)思考設(shè)集合A=RB=[0,+8）.對于A中任一元素x,規(guī)定：若x>0,則對應(yīng)B中的y=x;若x<0,則對應(yīng)B中的y=-x.按函數(shù)定義，這一對是不是函數(shù)？答案是函數(shù).因為從整體來看， A中任一元素x,在B中都有唯一確定的y與之對應(yīng).梳理（1）一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量 x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù).（2）分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集.⑶作分段函數(shù)圖像時，應(yīng)在同一坐標系內(nèi)分別作出每一段的圖像.知識點二映射思考設(shè)A=｛三角形｝,B=R,對應(yīng)關(guān)系f:每個三角形對應(yīng)它的周長.這個對應(yīng)是不是函數(shù)？它與函數(shù)有何共同點？答案因為A不是非空數(shù)集，故該對應(yīng)不是函數(shù).但滿足“ A中任一元素，在B中有唯一確定的元素與之對應(yīng)”.梳理映射的概念兩個非空集合A與B間存在著對應(yīng)關(guān)系f,而且對于A中的每一個元素x.B中總有唯一的一個元素y與它對應(yīng)，就稱這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作f:ZB.A中的元素x稱為原像，B中的對應(yīng)元素y稱為x的像，記作f：x-y.函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)..分段函數(shù)各段上的自變量的取值范圍的并集為 R.（x）.分段函數(shù)各段上的函數(shù)值集合的交集為 ？.（X）.分段函數(shù)的圖像一定是不連續(xù)的. （x）.如果把“函數(shù)”和“映射”當成兩個集合 A,B,則A?B.（V）類型一建立分段函數(shù)模型例1如圖所示，已知底角為45°的等腰梯形ABCD底邊BC長為7cm,腰長為2>/2cm,當垂直于底邊BC（垂足為F）的直線l從左至右移動（與梯形ABCM公共點）時，直線l把梯形分成兩部分，令BF=x,試寫出左邊部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出大致圖像.

考點分段函數(shù)題點求分段函數(shù)解析式解過點AD分別作AGLBC,DHUBC,垂足分別是G,H.因為四邊形ABC比等腰梯形，底角為45°,AB=2,2cm,所以BG=AG=DH=HC=2cm,又BC=7cm,所以AD=GH=3cm.12(1)當點F在BG上，即x€[0,2]時，y=]x;(2)當點(2)當點F在GH上,即x€(2,5]時,y=；X2X2+2(x—2)=2x—2;⑶當點F在HC上，即xC(5,7］時,y=S五邊形ABFED=S⑶當點F在HC上，即xC(5,7］時,=—1(x—7)2+10.綜合(1)(2)(3),得函數(shù)的解析式為2x2,xC[0,2],y=2x-2,xC2,5],-2x-72+10,xC5,7].圖像如圖所示：反思與感悟 當目標在不同區(qū)間有不同的解析表達方式時，往往需要用分段函數(shù)模型來表示兩變量間的對應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖像也需要分段畫.跟蹤訓(xùn)練1某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定：⑴5公里以內(nèi)（含5公里），票價2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里按照5公里計算）.如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像.考點分段函數(shù)題點求分段函數(shù)解析式解設(shè)票價為y元，里程為x公里，定義域為（0,20].0<x<5,5<x<10,由題意得函數(shù)的解析式為 y=10<xW15,15<x<20.函數(shù)圖像如圖所示:類型二研究分段函數(shù)的性質(zhì)命題角度1給x求yx+1,x<-2,例2已知函數(shù)f(x)=x2+2x,—2<x<2,試求f(—5),f(—小),ff-2的值.2x—1,x>2.考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值解..一5C(—8,—2],?.f(—5)=—5+1=—4.(―2,2),??f(一水)=(一水)2+2(一小)=3-2^,5?一2C(一巴—2],-2+1=-2^(-2,2)2+232+2=f—2引申探究本例中f(x)解析式不變，若x>-5,本例中f(x)解析式不變，若x>-5,求f(x)的取值范圍.解當一5WxW—2時，f(x)=x+1C[—4,-1];當一2<x<2時，f(x)=x2+2x=(x+1)2—1C[―1,8)；當x>2時，f(x)=2x-1€[3,+00)；當x>—5時，f(x)€[-4,-1]U[-1,8)U[3,)=[—4,+oo).反思與感悟 分段函數(shù)求函數(shù)值的方法(1)確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間.(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當出現(xiàn)f(f(x0))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.x+4,x<0,跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=x2-2x,0<x<4,—x+2,x>4.⑴求f(f(f(5)))的值；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖像.考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值解(1)因為5>4,所以f(5)=—5+2=—3.因為一3<0,所以f(f(5)) =f(—3)=—3+4=1.因為0<1<4,所以f(f(f(5))) =f(1)=12—2X1=-1.(2)f(x) 的圖像如下：命題角度2給y求x2x,x<2,例3 已知函數(shù)f(x)=⑴若f(x。)=8,求x。的值;(2)解不等式f(x)>8.考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值解(1)當X0W2時，由2x0=8,得X0=4,不符合題意；當X0>2時，由x2+2=8,彳Xxo=<6或xo=—46(舍去)，故X0=,^6.x<2,(2)f(x)>8等價于 ①2x>8,x>2,或《+2>8 ②解①，XC?,解②得X>y6.綜合①②，f(x)>8的解集為｛x|x>郃｝.反思與感悟 已知函數(shù)值求x取值的步驟(1)先對X的取值范圍分類討論.(2)然后代入到不同的解析式中.(3)通過解方程求出x的解.(4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi).(5)若解不等式，應(yīng)把所求 x的范圍與所討論區(qū)間求交集，再把各區(qū)間內(nèi)的符合要求的 x的值并起來.X2,—Kx<1,跟蹤訓(xùn)練3已知f(x)=1,x>1或x<—1.⑴畫出f(x)的圖像；(2)若f(x)>：,求x的取值范圍；4⑶求f(x)的值域.考點分段函數(shù)題點 分段函數(shù)的定義域、值域解(1)利用描點法，作出f(x)的圖像，如圖所示.11 1 11(2)由于f±2=4,結(jié)合此函數(shù)圖像可知，使f(x)>4的x的取值范圍是 ―00,一萬u萬，.(3)由圖像知，當一1WXW1時，f(x)=x2的值域為[0,1],當x>1或x<—1時，f(x)=1.所以f(x)的值域為[0,1].類型三映射的概念例4以下給出的對應(yīng)是不是從集合 A到集合B的映射？⑴集合A={P|P是數(shù)軸上的點},集合B=R,對應(yīng)關(guān)系f:數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(yīng)；(2)集合A={P|P是平面直角坐標系中的點},集合B={(x,y)|xCR,yCR},對應(yīng)關(guān)系f:平面直角坐標系中的點與它的坐標對應(yīng)；(3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圓},對應(yīng)關(guān)系f:每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓；(4)集合A={x|x是新華中學(xué)的班級},集合B={x|x是新華中學(xué)的學(xué)生},對應(yīng)關(guān)系f:每一個班級都對應(yīng)班里的學(xué)生.考點映射的概念題點判斷對應(yīng)是否為映射解(1)按照建立數(shù)軸的方法可知，數(shù)軸上的任意一個點，都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng) f:A一B是從集合A到集合B的一個映射.(2)按照建立平面直角坐標系的方法可知，平面直角坐標系中的任意一個點，都有唯一的一個實數(shù)對與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng)f:A-B是從集合A到集合B的一個映射.(3)由于每一個三角形只有一個內(nèi)切圓與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng) f:A-B是從集合A到集合B的一個映射.(4)新華中學(xué)的每一個班級里的學(xué)生都不止一個，即與一個班級對應(yīng)的學(xué)生不止一個，所以這個對應(yīng) f:AB不是從集合A到集合B的一個映射.反思與感悟 映射是一種特殊的對應(yīng)，它具有： （1）方向性：一般地從A到B的映射與從B到A的映射是不同白（.（2）唯一性：集合A中的任意一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，可以是：一對一，多對一，但不能一對多.跟蹤訓(xùn)練4設(shè)集合A={x|1WxW2},B={y|1WyW4},則下述對應(yīng)關(guān)系f中，不能構(gòu)成從A到B的映射的是（ ）2f:x—y=xf:x-y=3x—2f:x—y=—x+42f:x—y=4—x考點映射的概念題點判斷對應(yīng)是否為映射答案D解析對于D,當x=2時，由對應(yīng)關(guān)系y=4—x2得y=0,在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，所以D選項不能構(gòu)成從A到B的映射..如圖中所示的對應(yīng):TOC\o"1-5"\h\z其中構(gòu)成映射的個數(shù)為( )A3 B.4C.5 D.6考點映射的概念題點判斷對應(yīng)是否為映射答案A2x2,0<x<12.f(x)的圖像如圖所示，其中Owxwi時是一段頂點在坐標原點的拋物線，則f(x)的解析式是2x2,0<x<12x2,0<x<1f(x)=2,1<x<2f(x)=2,1<x<23,x>2f(x)=2,1<x<23,x>22x2,0WxWlf(x)=2,1<x<23,x>2考點分段函數(shù)題點求分段函數(shù)解析式答案Dx+1,x>02x2,0WxWlf(x)=2,1<x<23,x>2考點分段函數(shù)題點求分段函數(shù)解析式答案Dx+1,x>0,3.設(shè)f(x)=1,x=0,—1,x<0,2x2,0<x<1f(x)=2,1<x<23,x>2則f（f（0））等于（ ）A.1B.0C.2D.-1考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案Cx2+1,x<0,4.已知函數(shù)y= 則使函數(shù)值為5的x的值是（ ）—2x,x>0,—2或252或—￡-252或—2或—2考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案C1,x>0,5.設(shè)f(x)=0,x=0,—1,x<0,1,x為有理數(shù),g（x）=0,x為無理數(shù),則f（g（兀））的值為（A.1 B.0C.-1 D.?？键c分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案B.對分段函數(shù)的理解(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)而非幾個函數(shù).分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函數(shù)的圖像應(yīng)分段來作，特別注意各段的自變量取值區(qū)間端點處函數(shù)的取值情況，以決定這些點的虛實情況..函數(shù)與映射的關(guān)系映射f:A-B,其中A,B是兩個非空的集合；而函數(shù)y=f(x),xCA,A為非空的數(shù)集，其值域也是數(shù)集.于是，函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射.由此可知，映射是函數(shù)的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射 ^一、選擇題—x,x<0,.設(shè)函數(shù)f(x)=弋x>。 若出口)=4,則實數(shù)”等于( )

A.—4或—2 B.—4或2C.—2或4 D.—2或2考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案B解析當aW0時，由f(a)=-a=4,得a=-4;當a>0時，f(a)=a2=4,得a=2.a=-4或a=2.2,n=0,2.已知函數(shù)f(n)= 則f(5)的值是( )nfn—1,nCN+,A.4B.48C.240D.1440考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案C2,n=0,解析因為f(n)=nfn—1,n€NI+,所以f(5)=5f(4)=5X4f(3)=5X4X3f(2)=5X4X3X2f(1)=5X4X3X2X1Xf(0)=5X4X3X2X1X2=240.故選C.則f(f(f(則f(f(f(—2)))等于( )3.已知f(x)=兀，x=0,0,x<0,A.兀 B,0C.2 D.兀+1考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案D解析f(—2)=0,f(0)=兀，f(兀)=兀+12,x€[-1,1],4.已知函數(shù)f(x)= 若f(f(x)) =2,則x的取值范圍是( )x,x?[-1,1],?[-1,1](—8,—1)U(1,+8)D.{2}U[-1,1]考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值

答案D解析若xC[-1,1],則f(x)=2,f(f(x)) =f(2)=2,符合題意；若x>1,則f(x)=x,f(f(x)) =f(x)=x=2,此時只有x=2符合題意；若x<-1,則f(x)=x,f(f(x)) =f(x)=x=2,但因為x<-1,答案D解析若xC[-1,1],則f(x)=2,f(f(x)) =f(2)=2,符合題意；若x>1,則f(x)=x,f(f(x)) =f(x)=x=2,此時只有x=2符合題意；若x<-1,則f(x)=x,f(f(x)) =f(x)=x=2,但因為x<-1,此時沒有x符合題意.5.某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米m元收費；用水超過10立方米的，超過部分按每立方米 2m元收費.某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為( )13立方米C.18立方米考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)應(yīng)用問題答案A14立方米D.26立方米解析該單位職工每月應(yīng)繳水費mx,0<x<10,y與實際用水量x滿足的關(guān)系式為y=2mx—10m,x>10.由y=16m，可知x>10.令2mx—10m=16m,解得x=13(立方米).6.著名的Dirichlet1,x取有理數(shù)時,函數(shù)D(x)=0,x取無理數(shù)時,則D(D(x))等于( )011C.0x取無理數(shù)時x取有理數(shù)時x取有理數(shù)時D.0,x取無理數(shù)時考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值答案解析??D(x)€{0,1},，D(x)為有理數(shù),?.D(D(x))=1.7.若集合A={a,bc},B={d,e},則從A到B7.若集合A={a,bA.5B.6C.8D.9考點題點答案C解析用樹狀圖寫出所有的映射為:+oo)=[0,+OO).+oo)=[0,+OO).f(x)的解析式為 c-d,b-dc—e,a-d ac-d,b-ec—e,二、填空題2x,0WxWl,8.函數(shù)f(x)=2,1<x<2,3,x>2考點分段函數(shù)題點 分段函數(shù)的定義域、值域答案[0,+8)解析 定義域為[0,1]U(1,2)U[29.函數(shù)f(x)的圖像如圖，則函數(shù)c-d,b-dc—e,e 共8個.c-d,b-ec—e,的定義域是考點分段函數(shù)題點求分段函數(shù)解析式2x,0<x<1,答案f(x)=2,1<x<2,3,x>2kx,代入(1,2),得k=2,解析當kx,代入(1,2),得k=2,f(x)=2x.當1<x<2時，f(x)=2,當x>2時，f(x)=3,2x0<x<1f(x)=2,1<x<2,3,x>2.1,x>0,10.已知f(x)= 則不等式xf(x)+xW2的解集是0,x<0,考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)與不等式結(jié)合答案{x|x<1}解析當x>0時，f(x)=1,代入xf(x)+xW2,解得xw1,???0WxW1；當x<0時，f(x)=0,代入xf(x)+xW2,解得x<2, x<0.綜上可知x<1.b,a>b,11.若定義運算aOb= 則函數(shù)f(x)=xO(2—x)的值域是 .a,a<b,考點分段函數(shù)題點 分段函數(shù)的定義域、值域答案(—8,1]2-x,x>1,解析 由題意知f(x)=x,x<1.畫出圖像為由圖易得函數(shù)f(x)的值域為(一8,1].三、解答題12.設(shè)函數(shù)f(x)x12.設(shè)函數(shù)f(x)x2+bx+c,x<0,2,x>0,若f(—2)=f(0),f(—1)=—3,求關(guān)于x的方程f(x)=x的解.考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值解:當x<0時，f(x)=x2+bx+c,?一 一2一??f(-2)=(-2)-2b+c,f(0)=c,f(-1)=(-1)2-b+c.-f(-2)=f(0),f(-1)=-3,—22—2b+c=c,?? 2―1—b+c=—3,b=2,解得c=—2.x2+2x—2,x<0,則f(x)=°n2,x>0,2當xW0時，由f(x)=x，得x+2x—2=x,得x=—2或x=1.由于x=1>0,故舍去.當x>0時，由f(x)=乂得x=2,???方程f(x)=x的解為一2,2.-2x,x<-1,13.已知函數(shù)f(x)=2,-1<x<1,2x,x>1.3 1 1(1)求f-2,f2,f(4.5),ff2(2)若f(a)=6,求a的值.考點分段函數(shù)題點分段函數(shù)求值3解(1):―2C(—8,—1),??.f3??.f3=-2X-3=3.2 21,,,f2=2.1又2c(1,+8),，ff2=f(2)=2X2=4.4.5e(1,+8),.?.f(4.5)=2X4.5=9.(2)經(jīng)觀察可知a?[—1,1],否則f(a)=2.右aC(—00,—1),令-2a=6,得a=—3,符合題意；若aC(1,+8),令2a=6,彳導(dǎo)a=3,符合題意