定向、定位、高效-統(tǒng)計(jì)與概率復(fù)習(xí)的認(rèn)識與思考

定向、定位、高效

——統(tǒng)計(jì)與概率復(fù)習(xí)的認(rèn)識與思考福建省南安一中林少安E-mail:lsa280@2015.7.16一.考綱要求

二.考點(diǎn)分布

三.試題特點(diǎn)

四.復(fù)習(xí)建議

定向、定位、高效

——統(tǒng)計(jì)與概率復(fù)習(xí)的認(rèn)識與思考（一）《2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》對本內(nèi)容的考試范圍與要求文理科共同部分1．隨機(jī)抽樣：會用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法．2．用樣本估計(jì)總體：能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點(diǎn)；理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并給出合理的解釋；會用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想；會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題．一．考綱要求3．變量的相關(guān)性：會作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系；能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程（線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶）．

4．事件與概率：了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別；了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．5．古典概型：會計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．6．隨機(jī)數(shù)與幾何概型：能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率；了解幾何概型的意義．7．回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)：了解回歸的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用；了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想、方法及其初步應(yīng)用．理科部分8．離散型隨機(jī)變量：會求某些取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的分布列；了解超幾何分布，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用；了解條件概率的概念，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡單的實(shí)際問題；理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，會求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡單問題；借助直觀直方圖了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．（二）全國卷與福建卷考試內(nèi)容要求的主要差異：比較顯示，《2015年全國考試大綱》、《2015年考試大綱的說明》、《2015年福建省考試說明》要求基本保持一致，存在的主要差異是：1．《全國考試說明》未涉及的內(nèi)容主要有：“會列頻率分布表”．2．《全國考試說明》和《福建考試說明》不要求記憶“線性回歸方程系數(shù)公式”，《全國考試大綱》無此限定，但在考試中若涉及的話，有提供線性回歸方程系數(shù)公式；對“獨(dú)立性檢驗(yàn)”，《福建考試說明》和《全國考試大綱》只要求“2*2列聯(lián)表”，《全國考試說明》無此限定．3．《全國考試大綱》未涉及“會求取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的分布列”，但《福建考試說明》和《全國考試說明》均有要求，且近幾年國家卷對離散型隨機(jī)變量的分布列經(jīng)?？疾椋?．《全國考試說明》對超幾何分布的要求是屬于了解層次，《全國考試大綱》與《福建考試說明》對超幾何分布的要求是屬于了解層次．比較顯示，《2015年全國考試大綱》、《2015年全國考試大綱的說明》、《2015年福建省考試說明》要求基本保持一致，存在的主要差異是：1．《全國考試說明》未涉及的內(nèi)容主要有：“會列頻率分布表”；對于隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，要求“會計(jì)算”，沒有特別限制“會用列舉法計(jì)算”，但近幾年國家卷的概率問題也只需運(yùn)用列舉法計(jì)算．2．《全國考試說明》和《福建考試說明》不要求記憶“線性回歸方程系數(shù)公式”，《全國考試大綱》無此限定，但在考試中若涉及的話，有提供線性回歸方程系數(shù)公式；對“獨(dú)立性檢驗(yàn)”，《福建考試說明》與《全國考試大綱》只要求“2*2列聯(lián)表”，《全國考試說明》無此限定．二、考點(diǎn)分布（一）2011——2015年全國課標(biāo)卷Ⅰ統(tǒng)計(jì)與概率考點(diǎn)分布由上述統(tǒng)計(jì)表可知，全國課標(biāo)卷Ⅰ對統(tǒng)計(jì)與概率的考查，充分體現(xiàn)了以核心知識為重點(diǎn)、以基本問題為栽體、以現(xiàn)實(shí)生活為背景的交會命題特點(diǎn)，全面考查統(tǒng)計(jì)與概率的基本思想和方法以及學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．核心知識理科：頻率分布表、頻率分布直方圖與莖葉圖、古典概型、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)分布列及期望、樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、回歸分析．文科：頻率分布表、頻率分布直方圖與莖葉圖、古典概型、樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、回歸分析．基本問題理科：頻率與概率、等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、隨機(jī)抽樣、樣本估計(jì)總體思想等．文科：頻率與概率、等可能事件、互斥事件、隨機(jī)抽樣、樣本估計(jì)總體思想等．（二）全國卷與福建卷在考點(diǎn)分布的主要差異：由上述統(tǒng)計(jì)表可知，全國卷與福建卷在考點(diǎn)分布的主要差異：1．全國卷文理科對幾何概型都未涉及，福建卷文理科對此是常考點(diǎn)；2．全國卷理科對正態(tài)分布、條件概率等時(shí)有涉及（2014年課標(biāo)（Ⅰ）理科卷將正態(tài)分布作為解答題進(jìn)行考查，2014年（Ⅱ）理科卷考查條件概率

），而福建卷理科則從未涉及；3．全國卷文理科對相關(guān)關(guān)系及相關(guān)系數(shù)時(shí)有涉及（2012年課標(biāo)（Ⅰ）文科涉及到相關(guān)系數(shù)，2015年課標(biāo)（Ⅰ）文理解答題涉及到正相關(guān)），而福建卷文理科對相關(guān)系數(shù)則從未涉及．4．全國卷文理科解答題對頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖是?？键c(diǎn)，福建卷文科解答題時(shí)有涉及，福建卷理科解答題較少涉及．5．全國卷文理科解答題有涉及回歸方程（2015年課標(biāo)（Ⅰ）文理科第19題，且是非線性回歸，2014年課標(biāo)（Ⅱ）理科卷理科第19題，是線性回歸），福建卷文科有涉及（2012年第18題，回歸直線方程及回歸分析），福建卷理科則從未涉及．6．全國卷文理科解答題對獨(dú)立性檢驗(yàn)尚未涉及，福建卷文科有涉及（2013年第19題），福建卷理科則尚未涉及．三、試題特點(diǎn)（一）題型結(jié)構(gòu)全國卷有一道選擇題或填空題、一道解答題，共2道題；福建卷經(jīng)常是一道選擇題、一道填空題、一道解答題，共3道題．（二）分?jǐn)?shù)比例全國卷對統(tǒng)計(jì)與概率考查的分值為17分，占全卷分值約11%，福建卷的分值為22分，占全卷分值約15%．（三）難度定位全國卷與福建卷對這一部分的考查難度相對穩(wěn)定，選擇、填空題均以基礎(chǔ)題呈現(xiàn)，屬于中等難度．選擇題在前六題的位置，填空題在前二題的位置；解答題屬于中等難度，且基本定位在前三題的位置．【評析】從上述統(tǒng)計(jì)表可以發(fā)現(xiàn)，全國卷對頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等圖表特點(diǎn)的理解的考查力度是較大的．此類試題的呈現(xiàn)方式及解決方案：呈現(xiàn)方式：以頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等圖表呈現(xiàn)數(shù)據(jù)．解決方案：首先，從圖表中讀取數(shù)據(jù)信息，如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等；其次，利用概率模型（古典概型、二項(xiàng)分布等）做概率分析（離散隨機(jī)變量的分布列、均值、方差），進(jìn)而作出決策．（四）全國卷命題特點(diǎn)1．以圖表作為情景材料呈現(xiàn)與福建卷有一定差異，特別是理科2011年至2014年全國卷理科對分布列及期望均有考查，2011年至2014年全國卷文科對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差）均有考查．【評析】理解分布列及期望、樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的意義和作用，并以此為依據(jù)，利用樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題．2．以分布列及期望、樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征為核心考點(diǎn)3．與其他分支相關(guān)知識融合的綜合應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用綜合有兩大類，一類是概率與統(tǒng)計(jì)、程序設(shè)計(jì)融合，重在數(shù)據(jù)處理能力的檢測；另一類是把概率與數(shù)學(xué)其他分支相關(guān)知識融合，重在綜合分析能力檢測．與福建卷命題思路是相吻合

與福建卷有一定的差異【評析】將統(tǒng)計(jì)與概率和函數(shù)的融合是全國卷的特色．4．試題不拘泥于知識內(nèi)容的層次要求這一命題思想應(yīng)值得我們關(guān)注

此題源于這道課本習(xí)題的改編再創(chuàng)造（探源：此題是基于人教A版教材選修2-3第75頁A組第2題．原題：商場經(jīng)營的某種包裝的大米質(zhì)量(單位：)服從正態(tài)分布，任選一袋這種大米，質(zhì)量在的概率是多少?）【評析】雖然考試大綱說明對正態(tài)分布及其應(yīng)用的要求是屬于了解層次，但也可以以解答題的形式來考查．這也告訴我們一個(gè)事實(shí)，解答題是不拘泥于知識內(nèi)容的層次要求．【評析】不能忽視閱讀材料的教學(xué)；不能忽視所謂的“非主干知識”．5．關(guān)注以實(shí)際問題為背景的回歸分析問題統(tǒng)計(jì)案例包括線性回歸分析和假設(shè)檢驗(yàn)兩類，涉及相關(guān)性檢驗(yàn)與獨(dú)立性檢驗(yàn)，是統(tǒng)計(jì)案例中的重要內(nèi)容．統(tǒng)計(jì)案例的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，培養(yǎng)他們對數(shù)據(jù)的直觀感覺，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)（如估計(jì)結(jié)果的隨機(jī)性，統(tǒng)計(jì)推斷可能犯錯(cuò)誤），體會統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用的廣泛性，因此統(tǒng)計(jì)與案例的考查將是高考試題的一個(gè)生長點(diǎn)．【評析】2015年課標(biāo)Ⅰ理18對回歸方程求解要求較高，需將非線性回歸方程的求解，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的求解．這揭示了這么一個(gè)事實(shí)，不能忽視教材內(nèi)容要求．思考：獨(dú)立性檢驗(yàn)怎么考？（五）全國卷與福建卷命題思路的主要差異：1．在解答題情景材料呈現(xiàn)方面，全國卷文理科經(jīng)常以頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖及散點(diǎn)圖等圖表作情景材料呈現(xiàn)，而福建卷文科時(shí)而有以頻率分布表作為情景材料呈現(xiàn)，福建卷理科較少涉及．

2．全國卷文理科解答題背景材料經(jīng)常是相近的，甚至是同題（2011年題干及問題1是一樣的；2012年題干相同，問題1是只是數(shù)據(jù)不一樣；2015年同題），福建卷文理科試題背景材料基本不同．3．古典概型概率都是全國卷與福建卷考查熱點(diǎn)，但考查的題型不一樣，全國卷對古典概型概率經(jīng)常在選擇、填空題中考查，福建卷在選擇、填空題中基本不考查，而是在解答題中考查；4．知識交匯方面，全國卷常將統(tǒng)計(jì)與概率和函數(shù)交匯(2012年文理科，2013年課標(biāo)（Ⅱ）文理科，2015年課標(biāo)（Ⅰ）文理科)，而福建卷則較少涉及；5．對超幾何分布的考查，全國卷相對弱化．1．明確考綱，回歸課本涉及本專題內(nèi)容的考查，學(xué)生失誤和失分最多的是會而不對、對而不全和全而不準(zhǔn)，主要原因有下面兩個(gè)問題：其一，對概念理解不透，基本的概率模型判斷不準(zhǔn)確，搞不清各事件之間的關(guān)系是互斥還是相互獨(dú)立，不了解數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義等；其二，高三數(shù)學(xué)教學(xué)過度依賴教輔材料，長期處于“高消耗、低效能”的脫離課本的復(fù)習(xí)狀態(tài)，導(dǎo)致高三數(shù)學(xué)備考陷入“題海戰(zhàn)術(shù)”，“題型套路”泛濫成災(zāi)而難以自拔．因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)讓課本在備考中發(fā)揮更大的價(jià)值，讓學(xué)生知道知識的來龍去脈，如準(zhǔn)確識別概率模型，正確把握基本事件等，領(lǐng)悟課本知識與高考試題的內(nèi)在聯(lián)系，養(yǎng)成從課本到高考、再從高考回到課本的良性循環(huán)的復(fù)習(xí)習(xí)慣，做到以不變應(yīng)萬變．四、復(fù)習(xí)建議2．關(guān)注素材，重視圖表圖表語言是數(shù)學(xué)語言的一種形式，它具有直觀、簡潔、信息量大等特點(diǎn)．統(tǒng)計(jì)與概率的試題經(jīng)常以圖表作為情景材料呈現(xiàn)，試題采用圖表的形式將各類條件呈現(xiàn)出來，這樣做既能言簡意賅地表述條件，避免冗長的文字表述，又能考查考生讀表（圖）、識表（圖）和用表（圖）的能力，使考生從圖表中獲取有效信息，迅速投人到方案的設(shè)計(jì)之中．因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)重視統(tǒng)計(jì)圖表的識別、繪制和應(yīng)用的訓(xùn)練，提高靈活運(yùn)用圖表信息作出統(tǒng)計(jì)推斷和決策的能力．3．提煉方法，強(qiáng)化思想統(tǒng)計(jì)與概率試題往往以頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等圖表呈現(xiàn)，要求考生從圖表中讀出信息，如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等，進(jìn)而根據(jù)各統(tǒng)計(jì)量的含義作出決策．這就要求學(xué)生要有較高的數(shù)據(jù)處理能力與用樣本估計(jì)總體的思想．在復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)據(jù)處理方法，能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差）．引導(dǎo)學(xué)生理解用樣本估計(jì)總體的思想，學(xué)會正確把握各統(tǒng)計(jì)量的含義，能夠利用統(tǒng)計(jì)量說明問題，會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題．4．關(guān)注生活，注重應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與概率與實(shí)際問題聯(lián)系十分廣泛，來源于實(shí)際，又服務(wù)于實(shí)際生活，因此在高考試卷中常扮演著考查考生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題能力的角色．學(xué)生答題過程中，普遍感覺困難，原因在于讀不懂題目，不熟悉題目背景，缺乏語言轉(zhuǎn)換能力，不了解數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義．因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，要關(guān)注生活背景、社會現(xiàn)實(shí)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技發(fā)展等各個(gè)方面，并從中提煉出具有社會價(jià)值的數(shù)學(xué)應(yīng)用背景．應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生善于從普通語言中捕捉信息、將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力，使學(xué)生能以數(shù)學(xué)語言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)交流．此外，復(fù)習(xí)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生解決此類問題不能機(jī)械地套用模式，而要認(rèn)真分析，抽象出其中的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識加以解決．5．重視交匯，提升能力統(tǒng)計(jì)與概率可以和數(shù)學(xué)的很多分支綜合，體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用的廣泛性．一方面，將統(tǒng)計(jì)和概