傳染病問(wèn)題的模型

傳染病問(wèn)題的模型參賽選擇題號(hào)： 參賽報(bào)名組號(hào)： 95參賽隊(duì)員姓名： 孟高陽(yáng)白由田王英杰傳染病問(wèn)題的模型【摘要】隨著醫(yī)學(xué)的發(fā)展，我們已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發(fā)，危害人們的健康和生命。經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、地理位置等因素都會(huì)影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等。本文通過(guò)詳細(xì)分析、合理假設(shè)，對(duì)傳染病問(wèn)題建立模型，分析被傳人數(shù)多少與初始被感染人數(shù)和傳播時(shí)間等因素有關(guān)，同時(shí)我們運(yùn)用最淺顯的初等幾何知識(shí)、微分方程的求解以及利用Matlab軟件上機(jī)運(yùn)算等方法，得到了該模型的優(yōu)缺點(diǎn)，并做出了改進(jìn)方案?！娟P(guān)鍵詞】傳染病MatlabAutoCAD微分方程閾值相軌線分析、問(wèn)題重述在一個(gè)人口數(shù)量N的孤島上，一部分到島外旅游的居民回來(lái)使該島感染了一種高傳染性的疾病。請(qǐng)預(yù)測(cè)在某時(shí)刻t將會(huì)被感染的人數(shù)X。考慮一下模型，其中k>0為常數(shù):dX=kX(N-X) (1)dt ⑴本文主要通過(guò)以下四個(gè)方面對(duì)本問(wèn)題進(jìn)行分析:1、找出本模型所隱含的兩條主要假設(shè)；2、 利用所給模型的函數(shù)，做出關(guān)于被感染人數(shù)和傳播時(shí)間的圖形；3、 根據(jù)⑴所給數(shù)據(jù)，計(jì)算得出結(jié)論是否支持該模型；4、 通過(guò)進(jìn)一步分析，提出對(duì)本模型的改進(jìn)方案。II、模型一一、 模型假設(shè)1、 在疾病傳播期內(nèi)該島總?cè)藬?shù)N不變，不考慮人的生死、遷移、治愈以及具有免疫力的情況。2、 每天每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)為常數(shù)k。二、 假設(shè)依據(jù)根據(jù)題目給出方程可知，在t時(shí)刻共有kX(N-X)個(gè)健康者被感染，而沒(méi)有死亡的、遷移的、治愈的以及具有免疫力的人。孤島上的總?cè)藬?shù)沒(méi)有發(fā)生改變，旅游回來(lái)的居民攜帶著傳染病，每天由于人員的流動(dòng)性，并且沒(méi)有對(duì)島上的居民進(jìn)行有效的宣傳，因此隨著時(shí)間的推移，島上得病的人將會(huì)越來(lái)越多，而每天每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)基本穩(wěn)定，因此k為常數(shù)。三、符號(hào)說(shuō)明N表示島上的人口總數(shù)X表示被感染的人數(shù)X1表示初始被感染的人數(shù)k表示每天每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)四、數(shù)據(jù)處理dv1、根據(jù)學(xué)=kX(N-X)，可畫(huà)出dX/dt關(guān)于X的圖1-1,1:lx.//I-圖1-1

2、設(shè)初始時(shí)刻被感染病人數(shù)為X，可得方程：12)=kX(N-X)dt2)X⑴=X1解得：3)3)1+1+( —1)e-kNtX13、根據(jù)式(3)可知：當(dāng)初始被感染人數(shù)X]VN2時(shí)，得到如圖1-2,—“圖—“圖1-2當(dāng)初始被感染人數(shù)X]>N2時(shí)，得到如圖1-3,4、根據(jù)極限的運(yùn)算法則可知，當(dāng)tT8時(shí)，e-kNtT0,1+( -1)e-kNtT1，則X1XTN，即X的極限為N。五、 模型驗(yàn)證(1)由(f)可知，島上的人口有5000人，在傳染期的不同時(shí)刻被感染的人數(shù)如表1,天數(shù)t2610被感染人數(shù)X188740874853n(x/(n-x))-0.51.53.5表1N由方程X= N 可化簡(jiǎn)得,1+( -1)e-kNt1NX+X( -1)e-kNt二NX1N-XXe-kNt= ? 1XN-X1得到：t=—山X+S) (4)kNN-XN-X1將以上數(shù)據(jù)代入(4)式：cTOC\o"1-5"\h\z1 x2= (-0.5+In—\o"CurrentDocument"5000k N-X11 xv6= (1.5+n—1——)\o"CurrentDocument"5000k N-X11 x10= (3.5+n一)\o"CurrentDocument"5000k N-X1以上三式經(jīng)計(jì)算可得：In——i =1.5vN-X1k=1x10-4由計(jì)算結(jié)果得：

k>0且為常數(shù)，故這些數(shù)據(jù)支持所給模型。(2)由(1)可解得t二2(ln X一+1.5)N-X當(dāng)t=12時(shí)，X=4945，即t=12天時(shí)被感染的人數(shù)為4945人。六、模型分析優(yōu)點(diǎn)：當(dāng)X=N/2時(shí),竽達(dá)到最大值，此時(shí)〔優(yōu)點(diǎn)：當(dāng)X=N/2時(shí),竽達(dá)到最大值，此時(shí)〔=kN這可以表示傳染病高峰時(shí)刻，當(dāng)傳染強(qiáng)度k增加時(shí)，q將變小，即傳染高峰來(lái)得快，這與實(shí)際情況吻合。缺點(diǎn)：當(dāng)t*時(shí)，XTN，即所有人終將被傳染，全變?yōu)椴∪?，這顯然不符合實(shí)際情況。其原因是模型一中沒(méi)有考慮到病人可以治愈以及人的出生、死亡、流動(dòng)等情況，認(rèn)為人群中的健康者只能變?yōu)椴∪?，病人不?huì)再變成健康者。為了修正上述結(jié)果，我們重新考慮了模型的假設(shè)，在下面這個(gè)模型中我們討論了病人可以治愈的情況。III、模型二一、 模型假設(shè)1、 在疾病傳播期內(nèi)所考察的地區(qū)范圍不考慮人口的出生、死亡、流動(dòng)等種群動(dòng)力因素。總?cè)丝跀?shù)N(t)不變，人口始終保持一個(gè)常數(shù)N。人群分為以下三類(lèi)：易感染者，其數(shù)量比例記為s(t)，表示t時(shí)刻未染病但有可能被該類(lèi)疾病傳染的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；感染病者，其數(shù)量比例記為i(t),表示t時(shí)刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；恢復(fù)者，其數(shù)量比例記為r(t)，表示t時(shí)刻已從染病者中移出的人數(shù)(這部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有傳染性，也不會(huì)再次被感染，他們已退出該傳染系統(tǒng)。)占總?cè)藬?shù)的比例。2、 病人的日接觸率(每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù))為常數(shù)九，日治愈率(每天被治愈的病人占總病人數(shù)的比例)為常數(shù)卩，顯然平均傳染期為1/卩，傳染期接觸數(shù)為0=九/卩。二、 模型構(gòu)成由假設(shè)1中顯然有：s(t)+i(t)+r(t)=1 (6)對(duì)于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為7)記初始時(shí)刻的易感染者，染病者，恢復(fù)者的比例分別為s(s>0)，i(i>0)，r=0.00000用微分方程組表示如下：

8)di...dtds、8)<—=-九sidtdr.—=Uidts(t), i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計(jì)算來(lái)預(yù)估計(jì)s(t), i(t)的一般變化規(guī)律。三、符號(hào)說(shuō)明s(t)表示易感染者比例i(t)表示感染病者比例r(t)表示恢復(fù)者比例s,i,r分別表示初始時(shí)刻易感染者,染病者,恢復(fù)者的比例000四、數(shù)值計(jì)算在方程(8)中設(shè)九=1,卩=0.3,i(0)=0.02,s(0)=0.98，用MATLAB軟件編程:functiony=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];ts=0:50;x0=[0.20,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2))pauseplot(x(:,2),x(:,1))輸出的簡(jiǎn)明計(jì)算結(jié)果列入表2。i(t),s(t)的圖形以下兩個(gè)圖形：初值i(0)=0.02,s(0)=0.98對(duì)應(yīng)圖2-2中的P0點(diǎn)，隨著t的增加，(s,i)沿軌線自右向左運(yùn)動(dòng)。由表2、圖2-1、圖2-2可以看出，i(t)由初值增長(zhǎng)至約t=7時(shí)達(dá)到最大值，然后減少，tnifO；s(t)則單調(diào)減少，tns—0.0398。并分析i(t),s(t)的一般變化規(guī)律。t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398表2i(t),s(t)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果

四、相軌線分析我們?cè)跀?shù)值計(jì)算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i(t),s(t)的性質(zhì)。D={(s,i)|s>0，i>0，s+i<1}在方程(8)中消去d并注意到o的定義,t可得所以:s=s所以:s=s0(10)利用積分特性容易求出方程(10)的解為：i二(s+i)-s二丄In- (11)0 0bs0在定義域D內(nèi)，(11)式表示的曲線即為相軌線，如圖2-3所示。其中箭頭表示了隨著時(shí)間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向。、、I8S、、I8S圖2-3F面根據(jù)⑻，(11)式和圖2-3分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t^^時(shí)它們的極限值分別記作s，i和r)。8881、不論初始條件s，i如何，病人終將消失即i=00082、 最終未被感染的健康者的比例是，在(11)式中令i=0得到，是方程12)s+i-s+丄Ins12)00在(0,I/O)內(nèi)的根。在圖形上s是相軌線與s軸在在(0,I/O)內(nèi)的根。83、若s>l/o,0則開(kāi)始有d=si(t)先增加；令d=s3、若s>l/o,0則開(kāi)始有d=si(t)先增加；令d=s'丄-1]=0,可得當(dāng)Is0丿s=1/o時(shí)，i(t)達(dá)到最大值：i—s+i——(1+Inbs)

m0 0b 013)然后s<1/o時(shí)，有綸二ds［丄-1〕<oIso丿所以i(t)減小且趨于零，s(t)則單調(diào)減小至s，如8圖2-3中由P1(s，i)出發(fā)的軌線。004、若s0<1/0,,i(t)單調(diào)減小至零，s(t)單調(diào)減小至s,8圖2-3中由P(5,/)出發(fā)的軌線可以看出，如果僅當(dāng)病人比例i(t)有一段增長(zhǎng)的時(shí)期才200認(rèn)為傳染病在蔓延，那么l/o是一個(gè)閾值；當(dāng)s>l/o（即o>l/sO）時(shí)傳染病就會(huì)蔓延。而0減小傳染期接觸數(shù)O,即提高閾值l/o使得s<1/o（即o<1/s），傳染病就不會(huì)蔓延（健00康者比例的初始值s是一定的，通?？烧J(rèn)為s接近1）。00并且，即使s>1/o，從（12）,（13）式可以看出：o減小時(shí)，s增加（通過(guò)作圖分析），0 ai降低，也控制了蔓延的程度。我們注意到在o=九卩中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸m率九越?。会t(yī)療水平越高，日治愈率卩越大；于是o越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延。從另一方面看，◎s=九s?1/卩是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱(chēng)為交換數(shù)，其含義是一病人被Gs個(gè)健康者交換。所以當(dāng)s<1/G即Gs<1時(shí)必有Gs<1。00既然交換數(shù)不超過(guò)1，病人比例i（t）絕不會(huì)增加，傳染病不會(huì)蔓延。六、模型驗(yàn)證首先，由方程（6），（7）可以得到：仝=-九si=-Gpsi=-gs丄d dtjsjs打=-GJsss0ss=-gjrdnlns|s=-grn =e-Gr=0r s0 s00所以：s(所以：s(t)=se-Gr(t)0(14)d斗二pi二d斗二pi二p(1-r-s)二p(1-r-se-cr)d0t(15)當(dāng)r<1/g時(shí)，?。?5）式右端e-GTaylor展開(kāi)式的前3項(xiàng)得:d sG2r2r二p(1—r—s+Gsr--0 )d 0 0 2t在初始值r=0下解高階常微分方程得：01r(1r(t)二sG20apt(sg—1)+ath( —甲)0216)sG-1其中a2二(sg-1)2+2sig2，th^=-^從而容易由(16)式得出:0 00 ad a2pdt 2sg2ch2(ap.-^)02

然后取定參數(shù)s,b等，畫(huà)出(17)式的圖形，如圖2-4中的曲線，實(shí)際數(shù)據(jù)在圖中用0圓點(diǎn)表示，可以看出，理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯(cuò)。7006005004003Wim■200im圖2-4七、被傳染比例的估計(jì)在一次傳染病的傳播過(guò)程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值s與sTOC\o"1-5"\h\z0 g\o"CurrentDocument"之差，記作x，即x=s-s (18)0 g當(dāng)i很小，s接近于1時(shí)，由(12)式可得00\o"CurrentDocument"x+丄ln(l-—)沁0 (19)b s0取對(duì)數(shù)函數(shù)Taylor展開(kāi)的前兩項(xiàng)有1 x\o"CurrentDocument"x(1- - )沁0 (20)sb 2s2b00\o"CurrentDocument"1 1 1記s=丄+5，8可視為該地區(qū)人口比例超過(guò)閾值-的部分。當(dāng)8<-時(shí)(20)式給\o"CurrentDocument"0b b b(21)這個(gè)結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為8的2倍。對(duì)一種傳染病，當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水平不變，即8不變時(shí)，這個(gè)比例就不會(huì)改變。而當(dāng)閾值丄提高時(shí)，8減小，于是b這個(gè)比例就會(huì)降低。數(shù)學(xué)建模為我們提供了一個(gè)檢驗(yàn)自己數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和運(yùn)用能力的機(jī)會(huì)，作為參賽隊(duì)