新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測(cè)練專題06 一網(wǎng)打盡外接球與內(nèi)切球問題（精講精練）（原卷版）

專題06外接球與內(nèi)切球問題【命題規(guī)律】縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題是高考命題的熱點(diǎn)之一．高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答．從近幾年全國高考命題來看，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見，此部分是重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，屬于中等難度．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球核心考點(diǎn)二：正四面體外接球核心考點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球核心考點(diǎn)四：直棱柱外接球核心考點(diǎn)五：直棱錐外接球核心考點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型核心考點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型核心考點(diǎn)八：共斜邊拼接模型核心考點(diǎn)九：垂面模型核心考點(diǎn)十：二面角模型核心考點(diǎn)十一：坐標(biāo)法核心考點(diǎn)十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型核心考點(diǎn)十三：錐體內(nèi)切球核心考點(diǎn)十四：棱切球【真題回歸】1．（2022·全國·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·全國·高考真題（理））已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2020·全國·高考真題（理））已知SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓，若⊙SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2020·全國·高考真題（理））已知△ABC是面積為SKIPIF1<0的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】1、補(bǔ)成長(zhǎng)方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示．（3）正四面體SKIPIF1<0可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)SKIPIF1<0，如圖3所示．（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球【規(guī)律方法】1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．2、長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體外接球的體積是SKIPIF1<0，那么正方體的體對(duì)角線等于（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0.例2．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)（文））長(zhǎng)方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別是2，4，4，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例3．（2022·貴州黔南·高三開學(xué)考試（理））自2015年以來，貴陽市著力建設(shè)“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級(jí)為“公園中的城市”．截至目前，貴陽市公園數(shù)量累計(jì)達(dá)到1025個(gè)．下圖為貴陽市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的外接球的表面積為________SKIPIF1<0．核心考點(diǎn)二：正四面體外接球【規(guī)律方法】如圖，設(shè)正四面體SKIPIF1<0的的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為SKIPIF1<0，即正四面體外接球半徑為SKIPIF1<0．【典型例題】例4．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））已知正四面體SKIPIF1<0外接球SKIPIF1<0表面積為SKIPIF1<0，則該正四面體棱長(zhǎng)為______；若SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最小值為______．例5．（2022·江蘇南京·高三開學(xué)考試）已知一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球與以其一個(gè)頂點(diǎn)為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長(zhǎng)度為___________.例6．（2022·福建·福州三中模擬預(yù)測(cè)）表面積為SKIPIF1<0的正四面體的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球【規(guī)律方法】四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長(zhǎng)方體來解決這類問題．如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，三式相加可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【典型例題】例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則其外接球的表面積為___________.例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若該四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例9．（2020·全國·模擬預(yù)測(cè)（文））在三棱錐SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點(diǎn)四：直棱柱外接球【規(guī)律方法】如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心SKIPIF1<0的位置，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；第二步：算出小圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0【典型例題】例10．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（理））已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，若該正三棱柱的外接球體積為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí)，該正三棱柱的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例11．（2022·湖南岳陽·高三階段練習(xí)）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，當(dāng)該三棱柱體積最大時(shí)，其外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例12．（2021·四川瀘州·二模（文））直六棱柱的底面是正六邊形，其體積是SKIPIF1<0，則該六棱柱的外接球的表面積的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點(diǎn)五：直棱錐外接球【規(guī)律方法】如圖，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將SKIPIF1<0畫在小圓面上，SKIPIF1<0為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0必過球心SKIPIF1<0；第二步：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，算出小圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；=2\*GB3②SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【典型例題】例13．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期中（文））三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例14．（2022·福建·寧德市民族中學(xué)高三期中）已知三棱錐P-ABC中，SKIPIF1<0底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例15．（2021·四川成都·高三開學(xué)考試（文））已知在三棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)棱SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型【規(guī)律方法】1、正棱錐外接球半徑：SKIPIF1<0．2、側(cè)棱相等模型：如圖，SKIPIF1<0的射影是SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的三條側(cè)棱相等SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0在圓錐的底上，頂點(diǎn)SKIPIF1<0點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)．解題步驟：第一步：確定球心SKIPIF1<0的位置，取SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，再算出棱錐的高SKIPIF1<0（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0．【典型例題】例16．（2022·江西·金溪一中高三階段練習(xí)（文））在正三棱錐S－ABC中，SKIPIF1<0，△ABC的邊長(zhǎng)為2，則該正三棱錐外接球的表面積為______．例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐SKIPIF1<0，其外接球球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則該正三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值為__________．例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，底面邊長(zhǎng)為6．則該正三棱錐外接球的表面積為_______．例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐SKIPIF1<0體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則三棱錐外接球的表面積為____________．例20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為___________.核心考點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型【規(guī)律方法】找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．【典型例題】例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0是該球的直徑，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為_____.例22．（2022·河南·一模（理））三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0，AD是該球的直徑，SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正三角形，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為______．例23．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知三棱錐P﹣ABC中，SKIPIF1<0，AC=2，PA為其外接球的一條直徑，若該三棱錐的體積為SKIPIF1<0，則外接球的表面積為___________．核心考點(diǎn)八：共斜邊拼接模型【規(guī)律方法】如圖，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的，SKIPIF1<0為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0為公共斜邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)SKIPIF1<0就是四面體SKIPIF1<0外接球的球心，公共的斜邊SKIPIF1<0就是外接球的一條直徑．【典型例題】例24．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0將矩形SKIPIF1<0折成一個(gè)直二面角SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球的體積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例25．三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑為例26．在平行四邊形SKIPIF1<0中，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若將其沿SKIPIF1<0折成直二面角SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點(diǎn)九：垂面模型【規(guī)律方法】如圖1所示為四面體SKIPIF1<0，已知平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，其外接球問題的步驟如下：（1）找出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的外接圓圓心，分別記為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（2）分別過SKIPIF1<0和SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為SKIPIF1<0．（3）過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足記為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（4）在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，如圖2所示，底面四邊形SKIPIF1<0的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且SKIPIF1<0為該圓的直徑．圖1圖2【典型例題】例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑為______例28．（2022·安徽馬鞍山·一模（文））三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的等邊三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則該三棱錐的外接球的表面積為________．例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的等邊三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則該三棱錐的外接球的體積為______例30．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為__________．核心考點(diǎn)十：二面角模型【規(guī)律方法】如圖1所示為四面體SKIPIF1<0，已知二面角SKIPIF1<0大小為SKIPIF1<0，其外接球問題的步驟如下：（1）找出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的外接圓圓心，分別記為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（2）分別過SKIPIF1<0和SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為SKIPIF1<0．（3）過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足記為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（4）在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，如圖2所示，底面四邊形SKIPIF1<0的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且SKIPIF1<0為該圓的直徑．【典型例題】例31．（2022·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為______.例32．（2022·江西贛州·高三階段練習(xí)（文））已知菱形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為2，且SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0把SKIPIF1<0折起，得到三棱錐SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為___________.例33．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，△SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為3的正三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則此三棱錐外接球的體積為________．例34．（2022·廣東汕頭·高三階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，將菱形SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0對(duì)折，使二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，則所得三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為___________.核心考點(diǎn)十一：坐標(biāo)法【規(guī)律方法】對(duì)于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為SKIPIF1<0，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長(zhǎng)．坐標(biāo)的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，大大降低了解題的難度．【典型例題】例35．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）直角SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0上的一動(dòng)點(diǎn)，沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，使二面角SKIPIF1<0為直二面角，當(dāng)線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)度最小時(shí)，四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例37．（2022·山西·一模（理））如圖①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D，E分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，使SKIPIF1<0，如圖②.若F是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則四面體SKIPIF1<0的外接球體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點(diǎn)十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型【規(guī)律方法】1、球內(nèi)接圓錐如圖SKIPIF1<0，設(shè)圓錐的高為SKIPIF1<0，底面圓半徑為SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0．通常在SKIPIF1<0中，由勾股定理建立方程來計(jì)算SKIPIF1<0．如圖SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，球心在圓錐內(nèi)部；如圖SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖SKIPIF1<0、圖SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．2、球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，其外接球的半徑為SKIPIF1<0，三者之間滿足SKIPIF1<0．例38．球內(nèi)接圓臺(tái)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．【典型例題】例39．（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)高三階段練習(xí)）已知一圓臺(tái)高為7，下底面半徑長(zhǎng)4，此圓臺(tái)外接球的表面積為SKIPIF1<0，則此圓臺(tái)的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例40．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，側(cè)面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的外接球的表面積為______．例41．（2022·上海·曹楊二中高三階段練習(xí)）已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為___________.例42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的表面積為______.核心考點(diǎn)十三：錐體內(nèi)切球【規(guī)律方法】等體積法，即SKIPIF1<0【典型例題】例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）球O是棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0的內(nèi)切球，球SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0、面SKIPIF1<0、面SKIPIF1<0、球O都相切，則球SKIPIF1<0的表面積是_______________．例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)接于球SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0過球心SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的半徑與正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)切球的半徑之比為__________.例45．（2022·山東濟(jì)南·二模）在高為2的直三棱柱SKIPIF1<0中，AB⊥AC，若該直三棱柱存在內(nèi)切球，則底面△ABC周長(zhǎng)的最小值為___________.核心考點(diǎn)十四：棱切球【規(guī)律方法】找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形【典型例題】例46．（2022?涪城區(qū)校級(jí)開學(xué)）一個(gè)正方體的內(nèi)切球SKIPIF1<0、外接球SKIPIF1<0、與各棱都相切的球SKIPIF1<0的半徑之比為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例47．（2022?江蘇模擬）正四面體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為4，若球SKIPIF1<0與正四面體的每一條棱都相切，則球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例48．（2022?昆都侖區(qū)校級(jí)一模）已知正三棱柱的高等于1，一個(gè)球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【新題速遞】一、單選題1．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知某圓臺(tái)的體積為SKIPIF1<0，其上底面和下底面的面積分別為SKIPIF1<0，且該圓臺(tái)兩個(gè)底面的圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知A，B，C均在球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為6，則球O的體積為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的球面上的四點(diǎn)，記SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，四棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·黑龍江·海倫市第一中學(xué)高三期中）已知四面體ABCD的所有頂點(diǎn)在球O的表面上，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球O的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0的球面上，若該正四棱錐的高為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐的體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））已知正三棱錐SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為6，體積為SKIPIF1<0，A，B，C三點(diǎn)均在以S為球心的球S的球面上，P是該球面上任意一點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知體積為SKIPIF1<0的正三棱柱SKIPIF1<0的所有頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的球面上，當(dāng)球SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0取得最小值時(shí)，該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)SKIPIF1<0與高SKIPIF1<0的比值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·福建·浦城縣第三中學(xué)高三期中）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一.”下圖解釋了這段話中由一個(gè)長(zhǎng)方體得到塹堵、陽馬、鱉臑的過程.在一個(gè)長(zhǎng)方體截得的塹堵和鱉臑中，若塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為1，則鱉臑體積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題9．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0，以正方體中心SKIPIF1<0為球心的球SKIPIF1<0與正方體的各條棱相切，點(diǎn)SKIPIF1<0為球面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．球SKIPIF1<0在正方體外部分的體積為SKIPIF1<0B．若點(diǎn)SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則SKIPIF1<0C．若點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0下方，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大為SKIPIF1<0D．若點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<010．（2022·福建泉州·高三開學(xué)考試）已知正四棱臺(tái)SKIPIF1<0的所有頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的最大值為60°11．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，其軸截面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為6的為正三角形，SKIPIF1<0為底面的圓心，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0的一條直徑，球SKIPIF1<0內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），點(diǎn)SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0與圓錐側(cè)面的交線上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．圓錐的表面積是SKIPIF1<0 B．球SKIPIF1<0的體積是SKIPIF1<0C．四棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<012．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中模擬預(yù)測(cè)）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等SKIPIF1<0“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個(gè)圓柱容球，SKIPIF1<0為圓柱上下底面的圓心，SKIPIF1<0為球心，EF為底面圓SKIPIF1<0的一條直徑，若球的半徑SKIPIF1<0，則（

）A．球與圓柱的表面積之比為SKIPIF1<0B．平面DEF截得球的截面面積最小值為SKIPIF1<0C．四面體CDEF的體積的取值范圍為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<013．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在五面體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小均為SKIPIF1<0．設(shè)五面體SKIPIF1<0的各個(gè)頂點(diǎn)均位于球SKIPIF1<0的表面上，則（

）A．有且僅有一個(gè)SKIPIF1<0，使得五面體SKIPIF1<0為三棱柱B．有且僅有兩個(gè)SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．