新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測(cè)練專題09 排列組合高考常見小題全歸類（精講精練）（原卷版）

專題09排列組合高考常見小題全歸類【命題規(guī)律】排列組合是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當(dāng)．本節(jié)內(nèi)容與生活實(shí)際聯(lián)系緊密，考生可適當(dāng)留意常見的排列組合現(xiàn)象，如體育賽事排賽、彩票規(guī)則等，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維意識(shí)．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用核心考點(diǎn)二：直接法核心考點(diǎn)三：間接法核心考點(diǎn)四：捆綁法核心考點(diǎn)五：插空法核心考點(diǎn)六：定序問(wèn)題（先選后排）核心考點(diǎn)七：列舉法核心考點(diǎn)八：多面手問(wèn)題核心考點(diǎn)九：錯(cuò)位排列核心考點(diǎn)十：涂色問(wèn)題核心考點(diǎn)十一：分組問(wèn)題核心考點(diǎn)十二：分配問(wèn)題核心考點(diǎn)十三：隔板法核心考點(diǎn)十四：數(shù)字排列核心考點(diǎn)十五：幾何問(wèn)題核心考點(diǎn)十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題核心考點(diǎn)十七：排隊(duì)問(wèn)題核心考點(diǎn)十八：構(gòu)造法模型和遞推模型核心考點(diǎn)十九：環(huán)排問(wèn)題【真題回歸】1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種3．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．172804．（2020·海南·高考真題）要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種5．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種6．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12．設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（

）A．5 B．8 C．10 D．157．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________．8．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種．【方法技巧與總結(jié)】1、如圖，在圓中，將圓分SKIPIF1<0等份得到SKIPIF1<0個(gè)區(qū)域SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，現(xiàn)取SKIPIF1<0種顏色對(duì)這SKIPIF1<0個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有SKIPIF1<0種．2、錯(cuò)位排列公式SKIPIF1<03、數(shù)字排列問(wèn)題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)（1）解題原則：排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問(wèn)題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．4、定位、定元的排列問(wèn)題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問(wèn)題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5、解決相鄰問(wèn)題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有SKIPIF1<0種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有SKIPIF1<0種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有SKIPIF1<0種．6、解決不相鄰問(wèn)題的方法為“插空法”，其模型為將SKIPIF1<0個(gè)不同元素排成一排，其中某SKIPIF1<0個(gè)元素互不相鄰（SKIPIF1<0），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（SKIPIF1<0）個(gè)元素排成一排，共有SKIPIF1<0種排法；然后把SKIPIF1<0個(gè)元素插入SKIPIF1<0個(gè)空隙中，共有SKIPIF1<0種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有SKIPIF1<0·SKIPIF1<0種．7、解決排列、組合綜合問(wèn)題時(shí)需注意“四先四后”：（1）先分類，后分步：某些問(wèn)題總體不好解決時(shí)，常常分成若干類，再由分類加法計(jì)數(shù)原理解決或分成若干步，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理解決．常常既要分類，又要分步，其原則是先分類，再分步．（2）先特殊，后一般：解排列、組合問(wèn)題時(shí)，常先考慮特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考慮其他情形．（3）先分組，后分配：對(duì)不同元素且較為復(fù)雜的平均分組問(wèn)題，常?！跋确纸M，再分配”．（4）先組合，后排列：對(duì)于既要選又要排的排列組合綜合問(wèn)題，常?？紤]先選再排．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨(dú)特的烹飪方式．九宮格下面是相通的，實(shí)現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個(gè)層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：“中間格“火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長(zhǎng)時(shí)間加熱以鎖住食材原香；“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味．現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格．現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時(shí)可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（

）A．108 B．36 C．9 D．6例2．（2022春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？茧A段練習(xí)）某市抽調(diào)5位醫(yī)生分赴4所醫(yī)院支援抗疫，要求每位醫(yī)生只能去一所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少安排一位醫(yī)生．由于工作需要，甲?乙兩位醫(yī)生必須安排在不同的醫(yī)院，則不同的安排種數(shù)是（

）A．90 B．216 C．144 D．240例3．（2022春·山東聊城·高三山東聊城一中?？计谀┠炒笮吐?lián)歡會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙的6個(gè)節(jié)目中選取4個(gè)進(jìn)行演出，要求甲、乙2個(gè)節(jié)目中至少有一個(gè)參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們演出順序不能相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為（

）A．720 B．520 C．600 D．264核心考點(diǎn)二：直接法【典型例題】例4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍．”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（

）種A．54 B．72 C．96 D．120例5．某校開展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過(guò)初選，選出SKIPIF1<0共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒(méi)有并列名次），SKIPIF1<0和SKIPIF1<0去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)SKIPIF1<0說(shuō)“很遺?，你和SKIPIF1<0都末拿到冠軍；對(duì)SKIPIF1<0說(shuō)“你當(dāng)然不是最差的”．試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（

）A．720種 B．600種 C．480種 D．384種例6．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（

）A．24種 B．6種 C．4種 D．12種核心考點(diǎn)三：間接法【典型例題】例7．將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種例8．某學(xué)校計(jì)劃從包含甲?乙?丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊(duì)去西部支教，若甲?乙?丙三位教師至少一人被選中，則組隊(duì)支教的不同方式共有（

）A．21種 B．231種 C．238種 D．252種例9．中園古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué)．某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次．講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂(lè)”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種． D．120種核心考點(diǎn)四：捆綁法【典型例題】例10．（2022·四川自貢·統(tǒng)考一模）在某個(gè)單位迎新晚會(huì)上有A、B、C、D、E、F6個(gè)節(jié)目，單位為了考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下具體要求，節(jié)目C必須安排在第三位，節(jié)目D、F必須安排連在一起，則該單位迎新晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（

）種A．36 B．48 C．60 D．72例11．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“四書”“五經(jīng)”是我國(guó)SKIPIF1<0部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語(yǔ)》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書節(jié)活動(dòng)期間舉辦“四書”“五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排SKIPIF1<0次講座，若要求《大學(xué)》《論語(yǔ)》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例12．（2022春·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┠骋惶斓恼n程表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則共有（

）種不同的排法A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點(diǎn)五：插空法【典型例題】例13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）電視臺(tái)在電視劇開播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4個(gè)商業(yè)廣告2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”．中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徽、羽，如果用上這五個(gè)音階，排成一個(gè)五音階音序，且商、角不相鄰，徽位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音序有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）A，B，C，D，E，F(xiàn)這6位同學(xué)站成一排照相，要求A與C相鄰且A排在C的左邊，B與D不相鄰且均不排在最右邊，則這6位同學(xué)的不同排法數(shù)為（

）A．72 B．48 C．36 D．24核心考點(diǎn)六：定序問(wèn)題（先選后排）【典型例題】例16．滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的有序數(shù)組SKIPIF1<0共有（

）個(gè)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例17．某次演出有5個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目間的先后順序已確定，則不同的排法有（

）A．120種 B．80種 C．20種 D．48種例18．花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色．如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（

）A．2520 B．5040 C．7560 D．10080核心考點(diǎn)七：列舉法【典型例題】例19．（2022春·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）2021年8月17日，國(guó)家發(fā)改委印發(fā)的《2021年上半年各地區(qū)能耗雙控目標(biāo)完成情況晴雨表》顯示，青海?寧夏?廣西?廣東?福建?新疆?云南?陜西?江蘇?浙江?安徽?四川等12個(gè)地區(qū)能耗強(qiáng)度同比不降反升，全國(guó)節(jié)能形勢(shì)十分嚴(yán)峻．某地市為響應(yīng)節(jié)能降耗措施，決定對(duì)非繁華路段路燈在晚高峰期間實(shí)行部分關(guān)閉措施．如圖，某路段有十盞路燈（路兩邊各有五盞），現(xiàn)欲在晚高峰期關(guān)閉其中的四盞燈，為保證照明的需求，要求相鄰的路燈不能同時(shí)關(guān)閉且相對(duì)的路燈也不能同時(shí)關(guān)閉，則不同的關(guān)閉方案有（

）A．15種 B．16種 C．17種 D．18種例20．三人互相傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．8種 C．10種 D．16種例21．（2022·上海浦東新·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)．若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有A．18個(gè) B．16個(gè)C．14個(gè) D．12個(gè)核心考點(diǎn)八：多面手問(wèn)題【典型例題】例22．我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有種不同的選法．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例23．某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語(yǔ)，4人只會(huì)法語(yǔ)，2人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語(yǔ)翻譯，4人當(dāng)法語(yǔ)翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110例24．“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，在我國(guó)南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種核心考點(diǎn)九：錯(cuò)位排列【典型例題】例25．編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（

）A．10種 B．20種 C．30種 D．60種例26．將編號(hào)為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的小球放入編號(hào)為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例27．若5個(gè)人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數(shù)有（

）A．20 B．90 C．15 D．45核心考點(diǎn)十：涂色問(wèn)題【典型例題】例28．（2022春·陜西寶雞·高三?？奸_學(xué)考試）某兒童游樂(lè)園有5個(gè)區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36

B．48

C．54

D．72例29．（2022春·寧夏銀川·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，用五種不同的顏色給圖中的O，A，B，C，D，E六個(gè)點(diǎn)涂色（五種顏色不一定用完），要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂法種數(shù)是（

）A．480 B．720 C．1080 D．1200例30．（2022秋·河北石家莊·高二石家莊市第十五中學(xué)?？计谥校┯盟姆N顏色給正四棱錐SKIPIF1<0的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂法有（

）A．72種 B．36種 C．12種 D．60種核心考點(diǎn)十一：分組問(wèn)題【典型例題】例31．2021年春節(jié)期間電影《你好，李煥英》因“搞笑幽默不庸俗，真心實(shí)意不煽情”深受熱棒，某電影院指派5名工作人員進(jìn)行電影調(diào)查問(wèn)卷，每個(gè)工作人員從編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)影廳選一個(gè)，可以多個(gè)工作人員進(jìn)入同一個(gè)影廳，若所有5名工作人員的影廳編號(hào)之和恰為10，則不同的指派方法種數(shù)為（

）A．91 B．101 C．111 D．121例32．已知有6本不同的書．（1）分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？核心考點(diǎn)十二：分配問(wèn)題【典型例題】例33．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人報(bào)名參加了SKIPIF1<0三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目需1名或2名志愿者，若甲不能參加SKIPIF1<0項(xiàng)目，乙不能參加SKIPIF1<0、SKIPIF1<0項(xiàng)目，那么共有______種不同的志愿者選拔方案．例34．（2022·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，其中甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)；現(xiàn)從6人中任選4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，則共有___________種不同的選法例35．（2022·四川南充·高三統(tǒng)考期中）隨著高三學(xué)習(xí)時(shí)間的增加，很多高三同學(xué)心理壓力加大．通過(guò)心理問(wèn)卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某校高三年級(jí)有5位學(xué)生心理問(wèn)題凸顯，需要心理老師干預(yù)．已知該校高三年級(jí)有3位心理老師，每位心理老師至少安排1位學(xué)生，至多安排3位學(xué)生，則共有______種心理輔導(dǎo)安排方法．核心考點(diǎn)十三：隔板法【典型例題】例36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）六元一次方程SKIPIF1<0的正整數(shù)解有________組．例37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將10本完全相同的科普知識(shí)書，全部分給甲?乙?丙3人，每人至少得2本，則不同的分法數(shù)為（

）A．720種 B．420種 C．120種 D．15種例38．（2022春·山東濟(jì)寧·高三濟(jì)寧一中?？奸_學(xué)考試）SKIPIF1<0展開式為多項(xiàng)式，則其展開式經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（

）A．12項(xiàng) B．24項(xiàng) C．39項(xiàng) D．78項(xiàng)核心考點(diǎn)十四：數(shù)字排列【典型例題】例39．（2022春·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)字．如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個(gè)數(shù)字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胗颐娴谋砀裰校](méi)有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”），那么最多可以表示無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有______個(gè)例40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成_____個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．例41．（2022·天津?qū)氎妗ぬ旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)?？级＃┯脭?shù)字SKIPIF1<0組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為____．核心考點(diǎn)十五：幾何問(wèn)題【典型例題】例42．（2022秋·山東聊城·高二?？计谥校恼襟w六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中相互平行或相互垂直的有（

）A．24對(duì) B．16對(duì) C．18對(duì) D．48對(duì)例43．（2022·全國(guó)·高考真題）在直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0三邊所在直線的方程分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（

）A．95 B．91 C．88 D．75例44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0分子是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，SKIPIF1<0是單純由碳原子結(jié)合形成的穩(wěn)定分子，它具有60個(gè)頂點(diǎn)和若干個(gè)面，．各個(gè)面的形狀為正五邊形或正六邊形，結(jié)構(gòu)如圖．已知其中正六邊形的面為20個(gè)，則正五邊形的面為（

）個(gè)．A．10 B．12C．16 D．20核心考點(diǎn)十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題【典型例題】例45．（2022秋·內(nèi)蒙古·高二?？计谥校┤鐖D，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），SKIPIF1<0段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短路徑有（

）A．SKIPIF1<0種 B．SKIPIF1<0種 C．SKIPIF1<0種 D．SKIPIF1<0種例46．（2022·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在某城市中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩地有如圖所示的方格型道路網(wǎng)，甲隨機(jī)沿路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從SKIPIF1<0地出發(fā)去往SKIPIF1<0地，且不經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0地，則不同的路徑共有________條．例47．5400的正約數(shù)有（

）個(gè)A．48 B．46 C．36 D．38核心考點(diǎn)十七：排隊(duì)問(wèn)題【典型例題】例48．（2022春·福建福州·高三福州四中?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙三人相約一起去做核酸檢測(cè)，到達(dá)檢測(cè)點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)有SKIPIF1<0兩支正在等待檢測(cè)的隊(duì)伍，則甲、乙、丙三人不同的排隊(duì)方案共有______種．例49．（2022秋·安徽·高三蕪湖一中校聯(lián)考階段練習(xí)）某醫(yī)院對(duì)9個(gè)人進(jìn)行核酸檢測(cè)，為了防止排隊(duì)密集，將9人分成兩組，第一組5人，排隊(duì)等候，由于甲、乙兩人不熟悉流程，故無(wú)論在哪一組，排隊(duì)都不在第一位，則第一組的不同排法種數(shù)為_________．（用數(shù)字作答）例50．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）有七名同學(xué)排隊(duì)進(jìn)行核酸檢測(cè)，其中小王站在正中間，并且小李?小張兩位同學(xué)要站在一起，則不同的排隊(duì)法有___________種．核心考點(diǎn)十八：構(gòu)造法模型和遞推模型【典型例題】例51．賈同學(xué)、王同學(xué)、文同學(xué)三人在操場(chǎng)踢球，每次傳球，傳球者將球隨機(jī)將傳給另外兩位同學(xué)之一，足球最開始在文同學(xué)腳下，則：①SKIPIF1<0次傳球之后，共有___________種可能的傳球方法；②SKIPIF1<0次傳球之后，足球回到文同學(xué)腳下的傳球方法有___________種．例52．一只螞蟻從一個(gè)正四面體SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，每次從一個(gè)頂點(diǎn)爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)，則螞蟻爬行五次還在點(diǎn)SKIPIF1<0的爬行方法種數(shù)是__________．核心考點(diǎn)十九：環(huán)排問(wèn)題【典型例題】例53．21個(gè)人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)字“3”的人出來(lái)表演節(jié)目，并且表演過(guò)的人不再參加報(bào)數(shù)．那么在僅剩兩個(gè)人沒(méi)有表演過(guò)節(jié)目的時(shí)候，共報(bào)數(shù)的次數(shù)為A．19 B．38 C．51 D．57例54．現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個(gè)數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個(gè)座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（

）．A．6種 B．8種 C．12種 D．16種【新題速遞】一、單選題1．（2022·云南昆明·昆明一中模擬預(yù)測(cè)）如圖所示某城區(qū)的一個(gè)街心花園，共有五個(gè)區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計(jì)為代表城市特點(diǎn)的一個(gè)標(biāo)志性塑像，要求在周圍ABCD四個(gè)區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．48 D．842．（2022春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某醫(yī)院進(jìn)行年度體檢，有抽血、腹部彩超、胸部CT、電圖、血壓測(cè)量等五個(gè)檢查項(xiàng)目．為了體檢數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，抽血必須作為第一個(gè)項(xiàng)目完成，而李老師決定腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)不連在一起接著檢查．則不同順序的檢查方案一共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種3．（2022春·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某單位準(zhǔn)備從新入職的4名男生和3名女生中選2名男生和1名女生分配到某部門3個(gè)不同的崗位，不同的分配方案有（

）A．18種 B．36種 C．60種 D．108種4．（2022春·河南許昌·高三階段練習(xí)）中國(guó)空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．2022年10月31日15：37分，我國(guó)將“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上太空，完成了最后一個(gè)關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”也和“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對(duì)接，成為“T”字形架構(gòu)，我國(guó)成功將中國(guó)空間站建設(shè)完畢．2023年，中國(guó)空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營(yíng)階段．假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲、乙等5名航天員進(jìn)艙開展實(shí)驗(yàn)，其中“天和核心艙”安排2人，“問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙”安排2人，“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”安排1人．若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（

）A．9種 B．24種 C．26種 D．30種5．（2022·四川南充·統(tǒng)考一模）在某次紅藍(lán)雙方舉行的聯(lián)合軍演的演練中，紅方參加演習(xí)的有4艘軍艦，3架飛機(jī)；藍(lán)方有2艘軍艦，4架飛機(jī)．現(xiàn)從紅、藍(lán)兩方中各選出2件裝備（1架飛機(jī)或一艘軍艦都作為一件裝備，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機(jī)兩兩不同）先進(jìn)行預(yù)演，則選出的四件裝備中恰有一架飛機(jī)的不同選法共有（

）A．60種 B．120種 C．132種 D．168種6．（2022春·四川·高三四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）某群主發(fā)了SKIPIF1<0元的紅包，分成四份，四人領(lǐng)取，均為正整數(shù)元，已知其中“運(yùn)氣王”（“運(yùn)氣王”是指領(lǐng)到紅包金額最多的人）領(lǐng)到SKIPIF1<0元，則這四個(gè)人不同領(lǐng)取紅包的方法總數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·河南·馬店第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串?dāng)?shù)依次為1，2，3．到了晚上，水果店老板要收攤了，假設(shè)每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)是（

）A．144 B．96 C．72 D．608．（2022春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）將6名志愿者分配到3個(gè)社區(qū)參加服務(wù)工作，每名志愿者只分配到1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少分配1名志愿者，若分配到3個(gè)小區(qū)的志愿者人數(shù)均不相同，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．180種 D．360種二、多選題