(華東師大版)數(shù)學初二下冊 《函數(shù)及其圖象》全章復習與鞏固-知識講解(基礎)

《函數(shù)及其象》全章復與鞏固—知講解（基）【習標1.理解變量與常量、變量與函數(shù)直角坐標系、函數(shù)圖象、平面直角坐標系的概念，能正確畫平面直角坐標系，根據坐標確定點,以及點求出坐標，掌握點的坐標的特征；2.了解函數(shù)的三種表示方列法析法和圖象法利用圖象數(shù)形結合地分析簡單的函關系；3.理解正比例函數(shù)和一次函數(shù)的念，會畫它們的圖象，能結合圖象討論這些函數(shù)的基本性質能用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；4.能寫出實際問題中一次函數(shù)關與反比例函數(shù)關系的解析式及自變量的取值范圍，并能應用們解決簡單的實際問題；運用數(shù)形結合的方法，深刻理解和掌握函數(shù)的性質，學會用數(shù)學建模的方法與巧．【識絡【點理要一變與數(shù)常、量函（1）常量：在問題研究過程中取值始終保持不變的量，叫做常.（2）變量：在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量，叫做變.（3）函數(shù)：一般地，在一個變過程中.如果有兩個變量

與

，對于

的每一個值，y

都有唯一的值與之對應，那么我們就說

是自變量，y

是因變量，也稱y

是

的函數(shù)

是

的函數(shù)，如果當

＝

時

＝

b

，那么

b

叫做當自變量為

時的函數(shù)值函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象.要二平直坐系有數(shù)定義：把有順序的兩個數(shù)a與b組成數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(a，b)．要詮：有序，即兩個數(shù)的位置不能隨意交換，b)(b順序不同，含義就不同，如電影院的座位是排7號可以寫(，7)形式，而7，6)表示排．平直坐系在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標.水平的數(shù)軸稱為x軸橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸縱軸，取向上方向為正方向，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點如圖1).第1頁

共13頁

要詮：面直角坐標系是由兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成.點坐平面內任意一點P，過點P分向y軸作線，垂足在x軸、y軸對應的數(shù)a，b分叫點的橫坐標、縱坐標，有序數(shù)對a,b叫做點P坐標，記:P(a,b)，如圖要詮：（1表示點的坐標時，約定橫標寫在前，縱坐標寫在后，中間用“．（2點P(a，b)中，表點軸的離表示點到軸的離(3)對坐標平面內任意一點都有唯一的一對有序數(shù)對x，y)和它對應,反過來對于任意一對有數(shù)對，在坐標平面內都有唯一的一點與它對應，也就是說，坐標平面內的點與有序數(shù)對是一一對應的坐平（1象限建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成如圖所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下圖．要詮：（1坐標軸x軸y軸的(括原點不屬于任何象限．（2）方位來說：第一象限在坐標平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第象限在右下方（2坐標面的結構第2頁

共13頁

坐標平面內的點可以劃分為六個區(qū)域x軸y軸、一象限、第二象限、第三象限、第四象.這六個區(qū)域中，除了x軸與y軸一公共點（原點）外，其他區(qū)域之間均沒有公共.坐的征（1各個象限內和坐標軸上點坐標符號規(guī)律要詮：（1對于坐標平面內任意一個，不在這四個象限內，就在坐標軸.（2坐標軸上點的坐標特征：x軸上點的縱坐標為0；y上的點的橫坐標為0．（3）據點的坐標的符號情況可以判斷點在坐標平面上的大概位置；反之，根據點在坐標平面的位置也可以判斷點的坐標的符號情況．（2象限的角平分線上點坐標特征第一、三象限角平分線上點的橫、縱坐標相等，可表示(a；第二、四象限角平分線上點的橫、縱坐標互為相反數(shù)，可表示(a，-a)．（3關于坐標軸對稱的點的坐特征P(a，b)關于x軸對的點的坐標為(a,-b)；P(a，b)關于y軸對的點的坐標為(-a,b)；P(a，b)關于原點對稱的點的坐為(-a,-b)（4平行于坐標軸的直線上的平行于軸直線上的點的縱坐標相同；平行于軸直線上的點的橫坐標相.要三一函、一函的義一次函數(shù)的一般形式為

y，中k是常數(shù)，特別地，當b＝0，一次函數(shù)y即ykx（k≠0），是正比例函.、一函的象如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的形，就是這個函數(shù)的圖象要詮：直線

y

可以看作由直線y平移|b|個位長度而得（＞0時向上平移當＜0時，向下平移）.說明通過平，函數(shù)

y

與函數(shù)

ykx

的圖象之間可以相互轉.、一函的質掌握一次函數(shù)的圖象及性質（對比正比例函數(shù)的圖象和性質）第3頁

共13頁

要詮：理解

k

、

b

對一次函數(shù)ykx的象和性質的影響：（1）決定直線

y

從左向右的趨勢（及傾斜角的小——傾斜程度b決它與y

軸交點的位置，k、b起決定直線經過的象限．（2）兩條直線

l1

：

y1

和

l2

：

yx22

的位置關系可由其系數(shù)確定：k1

2

l1

與

l2

相交；k，l與l平；1121k，11

l與l重；1（3）直線與一次函數(shù)圖象的聯(lián)與區(qū)別一次函數(shù)的圖象是一條直線；特殊的直線x直線y、求次數(shù)表式

不是一次函數(shù)的圖象待定系數(shù)法：先設待求函數(shù)表達式（其中含有待定系數(shù)），再根據條件列出方程或方程組，求待定系數(shù)，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數(shù).、用數(shù)觀看程組與等第4頁

共13頁

的的方程（組等式問題

函從“數(shù)”的角度看

數(shù)問題

從“形”的角度看求關于、

的一元一次

為何值時，函數(shù)

y

的

確定直線

y

與軸方程的解

＝0（a≠0）

值為0？

（即直線＝0）交點的橫坐標求關于、y的二一次方程組解．

，1x．2

為何值時ya1函數(shù)x的值相等？22

與確定直線ya與直線1yx的點的坐標22求關于的一元一次不等式＞0（a≠0）解集

為值時，函數(shù)值大于0？

y

的

確定直線在x軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍要四反例數(shù)反比例數(shù)定一般地，形如

y

kx

(為常數(shù)，k)的數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是變量，y是函數(shù)，自變量的值范圍是不等于0的一實.反比例函數(shù)解析式的確定方法是待定系數(shù)法.由反比例函數(shù)

中，只有一個待定系數(shù)k，此只需要知道一對x、y的應值或圖象上的一個點的標，即可求出k的，從而確定其解析.要詮：

y

kx

中，自變量取值范圍是

，

y

x

(

)可以寫成()的式，也可以寫成

的形式反比例數(shù)圖和質（1反比例函數(shù)圖象反比例函數(shù)

y

kx

的圖象是雙曲線兩分支個支分別位于第一限第二、四象限它關于原點對稱反例函數(shù)的圖象與x軸、y軸沒有交，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交．要詮：觀察反比例函數(shù)

的圖象可得：和的都不能為，并且圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸，對稱中心是坐標原點．①

y

kx

(

的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為

yx和

兩條直線；第5頁

共13頁

②y

kx

(

的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點0，0k③y和x

(k≠0)在同一坐標系中的圖象關

軸對稱，也關于y

軸對稱注：正比例函數(shù)x與比例函數(shù)1

kx

，當k時兩圖象沒有交點；k0時兩圖象必有兩個點，且這兩個交點關于原1點成中心對稱.（2反比例函數(shù)的性質①圖象位置與反比例函數(shù)性質當

k

時，、y號，圖象在第一、三象限，且在每個象限內，y隨的大減??；當

k時，x、y異，圖象在第二、四象限，且在每個象內，隨的大而增.②若點

b)在反比例函數(shù)y

kx

的圖象上，則點（

）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關于原點對稱③正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質比較正比例函數(shù)解析式

反比例函數(shù)圖像

直線

有兩個分支組成的曲線（雙曲線）位置增減性

kkkk

，一、三象限；，二、四象限，隨x的大而增大，隨x的增大而減小

kkkk

，一、三象限，二、四象限，在每個象限，y隨的大而減小，在每個象限，y隨的大而增大④反比例函數(shù)y＝

中

的意義第6頁

共13頁

過雙曲線y

kx

(

k

≠0)上任一點作軸軸垂線，所得矩形的面積為

.過雙曲線y

kx

(k≠0)上任一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.要五實與索數(shù)學建的般路數(shù)學建模的關鍵是將實際問題數(shù)學化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程，為了既合乎實際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進行抽象化簡，而這一過恰是我們的分析、抽象、綜合、表達能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實際情景通過數(shù)學轉化為什樣的函數(shù)模型正確認實問的用在實際生活問題中，如何應用函數(shù)知識解題，關鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解式，然后根據函數(shù)的性質綜合方程（組式（組）及圖象求.要詮：注意結合實際，確定自變量的取值范圍，這是應用中的難點，也是中考的熱門考選擇最方問分析問題的實際背景中包含的變量及對應關系，結合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過比較函數(shù)的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數(shù)作為一種數(shù)學模型在分析解決實際問題中的重要作【型題類一函的念1.下列說法正確的是）A.變xy

滿足2y

，則

是

的函數(shù)；B.變xy

滿足|x

，則

是

的函數(shù)；C.變

y

滿足

yx

，則

是

的函數(shù)；D.變xy滿足y

2

2

，則y是的數(shù)【答案】；【解析】B、C、D三個項，對一個確定的x的，都有兩個值它應，不滿足單值對應的條件，所以不是函.【結華理解函數(shù)的概念，關鍵是函數(shù)與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，數(shù)值是唯一確定的舉反：【變式】如圖的四個圖象中，不表示某一函數(shù)圖象的是（）第7頁

共13頁

【答案】；類二平直坐系2.已知點A(-3，2)與點，y)同一條平行于軸的線上，且點到x軸距等于3，求B的坐標．【思路點撥】由“點A(-3，2)點B(x，y)同一條平行于y的直線上”可得點B的坐標；“點B到x軸距離等于3”可得B的坐標為﹣，即可確定B的坐．【答案與解析】解：如圖，∵點B與點在同條平行于的直線上，∴點B與點的橫標相同，∴x＝-3．∵點B到x軸距離為3，∴y＝3或y＝-3．∴點B的坐標是-3，3)或(-3，-3)【總結升華在B的坐標為3的條下，點B到的距離等于3，則點B可在第二象限也可能在第三象限，所以要分類討論，防止漏解．舉反：【變式1】若x軸的點P到y(tǒng)軸的距離為3則點的標為（）.A，0）B，0）或–3）C，3）D，3）或0，）【答案】B.第8頁

共13頁

【變式2角標系中在第二象限且P到軸的距離分別為2的標是_________若去掉點P在第象限這個條件，那么P的坐標________.【答案）.類三一函3.（春?高新區(qū)期末）已知點A（4，0及在第一象限的動點（x，yx+y=6，O為標原點設△OPA的面積為S．（1求S關x的數(shù)解析式；（2求x的值范圍；（3當S=6時，求P點標．【思路點撥）根據三角形的積公式即可得出結論根據1）中函數(shù)關系式及點P在第象限即可得出結論）代（）中函數(shù)關系即可得出值，進而得出y的．【答案與解析】解）∵A和P點坐標分別是4，0∴S=．∵x+y=6，∴y=6﹣x．∴S=2（6﹣x）=12﹣2x．∴所求的函數(shù)關系式為：﹣2x+12（2由（）得S=﹣2x+12＞0解得：＜6又∵點在一象限，∴x＞0，綜上可得的范為0＜x＜6（3∵S=6∴﹣2x+12=6，得x=3．∵x+y=6，∴y=6，P（3，3【結華本考查的是一次函數(shù)的質，熟知一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系是解答此題的關鍵．舉反：【變式秋南校級期末）已知一次函數(shù)y=kx+b的象經過點A（﹣2，5且y軸相于點P，直線﹣x+3與x軸交點B與軸相交于點，恰與關于x軸稱（1求這個一次函數(shù)的表達式（2求△ABP的積．【答案】解）當x=0時y=﹣x+3=3則Q（0，3∵點Q恰點P關x軸稱，∴P（0，﹣3第9頁

共13頁

把P（0，﹣3（﹣2，5）代y=kx+b得所以這個一次函數(shù)解析式為y=﹣4x﹣3（2當y=0時，﹣x+3=0，得x=6則（6，0

，解得，當y=0時，﹣4x﹣3=0，解得x=，直線y=﹣3與x軸的交點坐標為（﹣，0所以△ABP的積×（6+）×5+×（6+）×3=274.已知正比例函數(shù)

ykx

（

k

）函數(shù)值y

隨

的增大而減小，則一次函數(shù)

y

的圖象大致是圖中的（【答案】；【解析】∵y隨的增大而減小，∴k＜0．∵

y

中

的系數(shù)為1＞0，

k

＜0，∴過一、三、四象，故選B．【結華本題綜合考查正比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象和性質，k＞0時，函數(shù)值隨自變量的大而增大．舉反：【變式正例函數(shù)

的圖象上兩點A(x,y),B(,y)112

x1

時有

y1

2

,那么的值范圍(A．

m

B．

m

C．

D．

【答案】A；提示：由題意y隨著的大而減小，所以類四反例數(shù)

2

，選A答案.5.如圖所示P是比例函數(shù)

y

x

圖象上一點，若圖中陰影部分的面積是2，求此反比例函數(shù)的關系式．第10頁

共13頁

OBOB【思路點撥要函數(shù)關系式，必須先求出點的橫、縱坐標的絕對值是矩形的邊長．【答案與解析】

k

的值P點在函數(shù)的圖象上又是矩形的頂點，也就是說解：設P點坐為(x，y

)，由圖可知，P點第二象限，x，y

＞0．∴圖陰影部分矩形的長、寬分別為－

、

．∵矩的面積為2，∴－xy

＝2，∴xy

＝．∵

＝

k

，∴

k

＝－2．∴此比例函數(shù)的關系式是

y

x

．【總結升華】此類目，要充分用過雙曲線上任意一點作x軸、y軸垂所得矩形面積為k這一條件，進行坐標、線段、面積間的轉換．舉反：【變式如圖過反比例函數(shù)

y

x

(

的圖象上任意兩點AB分別作x軸垂線垂為

、

'

，連接OA，'與OB的點為P記AOP與梯形''B的積分別為

、

，試比較

與

的大小【答案】解：∵

S

AOP

AOA

，

SA

OB

且

S

111xSx22∴

.類五實與索6.（2016?臨沂）現(xiàn)代互聯(lián)網技術的廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展．小明計劃給朋友快一部分物品，經了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適．甲公司表示：快遞物品不超千的，按千克22第11

共13頁

元收費；超過1千，超過的部按每千克元收．乙公司表示：按每千克16元費，另加包裝費3元．設小明快遞物品x千克．（1請分別寫出甲、乙兩家快公司快遞該物品的費用y元）與x（千克）之間的函數(shù)關系式（2小明選擇哪家快遞公司更錢？【思路點撥）根據“甲公司費起步價超出重量×續(xù)重單價”可得出y關x的數(shù)系式，根據“乙公司的費用快重量×單+包裝費用”即可得出關x的函數(shù)關系式；（2分0＜x≤1和x＞