20-21 第6章 6.3 6.3.4 平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

6.3.4

平面向量數(shù)乘算的坐表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握兩數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則．(重點(diǎn))2.理解用坐標(biāo)表示兩向量共線(xiàn)的條件．(難點(diǎn))3.能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線(xiàn)，并掌握三點(diǎn)共線(xiàn)的判斷方法．(重點(diǎn))4.兩直線(xiàn)平行與兩向量共線(xiàn)的判定．(易混點(diǎn))

核心素養(yǎng)1.通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.通過(guò)平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).貝貝和晶晶同做一道數(shù)學(xué)題“一人從地到地，依次經(jīng)過(guò)B地地、D地，且相鄰兩地之間的距離均為505km.從地到E地的行程有多少？”其解答方法是：貝貝：505505505505010505505515＋5052020(km)．晶晶：505×42．可以看出晶的計(jì)算較簡(jiǎn)捷，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，構(gòu)建了乘法運(yùn)算體系后，給這類(lèi)問(wèn)題的解決帶來(lái)了很大的方便．問(wèn)題：當(dāng)a∥b時(shí)，a，的坐標(biāo)成比例嗎？λa與a的坐標(biāo)有什么關(guān)系？1．?dāng)?shù)乘算的坐標(biāo)表示符號(hào)表示：已知a＝，)，則λa(λx，λy(2)文字描述：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)．1/13

112212211122＝11222222112212211122＝1122222211x11221122121＝－8,8)AC(3y∵AC點(diǎn)共線(xiàn)，2．平面量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)＝(，y)，＝(x，y)，其中b≠0，，b共線(xiàn)的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝b.如果用坐標(biāo)表示，向量，bb≠0)共線(xiàn)的充要條件是xy－＝0.思考：兩向量(，y)b(x，)共線(xiàn)的坐標(biāo)條件能表示成

xx

嗎？[示]才能使用．

不一定，x，y有一者為零時(shí)，比例式?jīng)]有意義，只有y≠0，1．思考析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”x若a(，y)，＝(x，y)，且a與共線(xiàn)，則＝22

()若a(，y)，＝(x，y)，且xy≠xy，則與b不共線(xiàn)．()→→→若A，B三點(diǎn)共線(xiàn)，則向量B，BC都是共線(xiàn)向量．()[案]

×

(2)√

√2.知，－4,0)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______．－1,3)[據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為－．]3．已知a＝(－3,2)，＝，y)，且a∥，則＝________.－4

[a∥b∴－3－2×60解得y－4.]4．若A(3，－6)，－5,2)，(6，y三點(diǎn)共線(xiàn)，則y＝________.－9

→→→→[∥

∴－＋6)8×30解得＝－向量共線(xiàn)的判定與證明【例1】下列各組向量中，共線(xiàn)的是()A．a(chǎn)＝(－，b＝(4,6)B．a(chǎn)＝，＝(3,2)C．a(chǎn)＝(1－2)＝(7,14)2/13

→→→1→→→112122D．＝(－，b＝(6，－4)→→(2)已知A1，－1)，，，，向量A與CD平行嗎？直線(xiàn)平行于直線(xiàn)CD嗎？D

[A中，－×34≠0B中×3×≠，中×14(－2)7≠0D中(×－－×60.選D](2)[解]

∵AB(1(－3(－＝，→

＝(21,75)．又×－×10→→∴AB∥CD又C，AB，∴2×42×6≠0∴A，C不線(xiàn)，∴與CD重合，∴AB∥CD向量共線(xiàn)的判定方法提醒：向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表達(dá)式極易寫(xiě)錯(cuò)，如寫(xiě)成x－y0或x－yy＝0是不對(duì)的，因此要理解并記熟這一公式，可簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相減．[進(jìn)訓(xùn)練]1．已知A(1，－3)，，求證：，B三點(diǎn)共線(xiàn)．3/13

＋3＝＝，－，13)(8,4)，22＋3＝＝，－，13)(8,4)，222→→→→133→→[明]，7∵7×4×＝0∴AB∥，且B，有公共點(diǎn)A∴A，C三共線(xiàn).已知平面向量共線(xiàn)求參數(shù)【例2】已知a＝1,2＝(－3,2)當(dāng)為何值時(shí)ka＋b與a－3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？[]

法一：共線(xiàn)向量定理)abk(1,2)(－＝－3,2k，a3＝－3((10－，當(dāng)ka與－3平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)λ使ka＝λa)由－3,2k＝λ，－4)所以

解得kλ＝－

13

.當(dāng)k－時(shí)，ab3平行，這時(shí)a＝－3

11a＝－(－b，因?yàn)棣耍?/p>

13

<0所以ka與－3反向．法二：坐標(biāo)法)由題知ka＝(k3,2＋2)a3＝(10－，因?yàn)閗a與－3平行，所以－3)×(10＋2)0解得k－

13

.4/13

333112212，所以2sinαcos333112212，所以2sinαcos＝＝2－2－＋12這時(shí)ka＝3－＋2ab，所以當(dāng)k－時(shí)，a與－b平，并且反向．3利用向量平行的條件處理求值問(wèn)題的思路利用共線(xiàn)向量定理λb≠0列方程組求解．利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式y(tǒng)－＝直接求解．[進(jìn)訓(xùn)練]2知量a(1,2)＝2)＝)∥(2aλ＝________.12

[題可得2a＝，∵∥(2a，c＝，λ，1∴4－20即λ＝.]向量共線(xiàn)的綜合應(yīng)用【例3】已知向量＝(cosα－b＝(sin且∥則2sinαcosα等()A．3

B．－C．－

45

D．

45如圖所示，已知點(diǎn)，CAC與OB的交點(diǎn)的坐標(biāo)．1)C[為a∥，所cos×1(2)×＝0α－2sinαα－

1αcos2tanαsin2＋2tanα＋2×＝＝－

.]

5/13

→→→→→→→→→→→4→→→→→→→→→→→44→→→→x→→→→42＝＝444(2)[解]

法一：(定理法)OPB三點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)OPλOB(4，λ，則POP＝－4,4)，＝OC＝－．由AC線(xiàn)(4×6λ×(2)解得λ，所POB，所以P的坐標(biāo)為(．法二坐標(biāo)法)設(shè)y)OP(xy，因OB，與B線(xiàn)，所以＝，即＝.44又P－4y，＝(－2,6)，與C線(xiàn)，則x4)×6y×－2)＝0解得＝＝3所以點(diǎn)的坐標(biāo)為(．應(yīng)用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求解幾何問(wèn)題的步驟[進(jìn)訓(xùn)練]→→→→3.如圖所示已知△B＝OD＝OB，AD與BC相交于點(diǎn)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．[]

→1→因C＝

，所以C

6/13

因?yàn)镈＝222→－5＝＝22→→又CM，＝44因?yàn)镃M，所以＝04412因?yàn)镈＝222→－5＝＝22→→又CM，＝44因?yàn)镃M，所以＝0441271122121→→12－＝－OP∴＝＋21121→→＝

，所以D設(shè)M(xy，則AM(，y5)→37AD，因?yàn)椤?，所以?/p>

72

x2(－5)0即x4y＝20.①→→7

，→→75∥－4即x16y－20.②聯(lián)立①②解得x，＝，故點(diǎn)M坐標(biāo)為，7

.共線(xiàn)向量與線(xiàn)段分點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算[究問(wèn)題]1．P，的坐標(biāo)分別(，，(x，y)如何求線(xiàn)段PP的中點(diǎn)P的坐標(biāo)？[示]

如圖所示，∵P為P的中點(diǎn)，∴P，→→→→1→→→∴(

)＝

x＋y＋y，2

，7/13

12221122121＝時(shí)OP＋＝＋＝OP＋－OP3331121112＋3121212221122121＝時(shí)OP＋＝＋＝OP＋－OP3331121112＋31212＝時(shí)，3112＝＋＝＋31112→－＋3312121＝λ12P＝＋λPP(OP)＋－112212，＝＋λ121122＋xy＋∴線(xiàn)段P2的中點(diǎn)坐標(biāo)，2．P，的坐標(biāo)分別(，，(x，y)點(diǎn)P線(xiàn)段的一個(gè)三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是什么？[示]

點(diǎn)是線(xiàn)段PP的一個(gè)三等分點(diǎn)，分兩種情況：→→→→→→1→→→→①PPPPPP(→→OP

＝

23＝

2＋xy＋，3

；→2→②當(dāng)PP→→→→2→＝＋1

23

→→2

)＝

1→2→＝

2y＋2y，3→→3．PP

(λ≠－時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？→→→→→→→→→→提示∵→λ→∴

→→1λ

＝

1λ(，)(，y)1λ＋λ8/13

1211λ1λ1211λ1λ12121λ＋λ→→1，0.3→→3＝

1λλx11，y1λ＋λ1λ＋λ

λx＋λy＝，

，λx＋λy∴，→→【例4】已知點(diǎn)(3－與點(diǎn)(－1,2)點(diǎn)在直線(xiàn)上且|AP＝|，求點(diǎn)的坐標(biāo)．［思路探究］P直線(xiàn)AB，包括P線(xiàn)段AB和在線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上，因此應(yīng)分類(lèi)討論.[]

→→設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為(xy，|AP＝2|PB|.當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)，＝2，∴－3y＝2(－y，∴得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AP－2，∴－3y＝－2(1x,2)，∴解得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為(5,8)綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為5,8)→→→→1．若將本條件＝2||改為AP＝”其他條件變，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．9/13

→→1，2→→→→3→→1，2→→→→322111212121＝λP11[]

因＝3PB所以(x3＋4)－1x－y，所以

，解得，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為

12．若將本條件改為“經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2,3)的直線(xiàn)分別交x軸y軸于點(diǎn)，B，→→且AB＝3|AP”，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．[]

→→由題設(shè)知，A，P點(diǎn)共線(xiàn)，且AB＝3|，設(shè)(x,，B，y，

①點(diǎn)在A(yíng)之間，則有AB3，∴－，)3(－3)解得x－3＝9點(diǎn)A的坐標(biāo)分別為(3,0)．②點(diǎn)不在A(yíng)，之間，則有AB3AP同理，可求得點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別為，，－．綜上，點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別為(－，或，，－．求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)注意的問(wèn)題設(shè)P(x)P(xy)．若點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則xy)為x＋y＋y，2求線(xiàn)段上或延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，不必過(guò)分強(qiáng)調(diào)公式的記憶，可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題后列出方程組求解，同時(shí)要注意分類(lèi)討論．→→若(λ≠0)

1221212112121221212112122111x2211221221①0λ1，P線(xiàn)段上；②λ1，P重合；③λ1，點(diǎn)P在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上；④λ0，點(diǎn)P在線(xiàn)段反向延長(zhǎng)線(xiàn)上．一、知識(shí)必備兩個(gè)向量共線(xiàn)條件的表示方法已知a＝(x，)，b＝，)，當(dāng)≠0，a＝b.y－＝x當(dāng)y≠0，＝，即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例．2二、方法必備向量共線(xiàn)的問(wèn)題常涉及兩個(gè)方面1．已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)或四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷三點(diǎn)

(兩個(gè)向量是否共線(xiàn)一般先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出需要判斷的平面向量的坐標(biāo)再依據(jù)下面的結(jié)論來(lái)判斷向量是否平行：已＝(y)＝(xy)，b≠0，x－y＝0，則a∥b.2．已知向共線(xiàn)求參數(shù)．解題時(shí)要注意方程思想的運(yùn)用，向量共線(xiàn)、向量相等都可以作為列方程的依據(jù)證明或判斷三點(diǎn)共線(xiàn)兩直線(xiàn)平行時(shí)要注意聯(lián)系平面幾何的相關(guān)知識(shí)．由向量共線(xiàn)求參數(shù)的問(wèn)題中參數(shù)的設(shè)置一般有兩種一是向量的坐標(biāo)本身含有參數(shù)二是相關(guān)向量用已知兩個(gè)向量的含參關(guān)系式表示解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)選擇向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示的兩種形式，建立方程(組)求解．1．下列各向量中，共線(xiàn)的是()

→→，4534→→，45345→→→→→A．a(chǎn)＝，b(3，－B．a(chǎn)＝，＝(4，－C．a(chǎn)＝2，－，＝D．＝，，＝(2，2)D[AB各對(duì)向量都不共線(xiàn)，D中＝2a兩個(gè)向量共線(xiàn)．]→2兩點(diǎn)(2B平行且方向相反的向量a以是()A．(1，－2)C．(－

B．(9,3)D．(－4，－8)D[題意，得B，所以aλ＝λ2)(中λ＜0)符合條件的只有D，故選D．]3．與向量a(－3,4)平行的單位向量是_______．