圖形的全等(北師大版七年級(jí)下冊(cè))

2圖形的全等1.全等圖形.(1)全等圖形的定義：能夠_________的兩個(gè)圖形稱為全等圖形.(2)全等圖形的判別：形狀_____，大小_____時(shí)，才能稱為全等圖形.【點(diǎn)撥】全等圖形的判別只與兩個(gè)圖形的形狀和大小有關(guān)，與圖形的位置和方向無關(guān).(3)全等圖形的性質(zhì)：全等圖形的_____和_____都相同.完全重合相同相同形狀大小2.全等三角形.(1)定義：能夠_________的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.(2)對(duì)應(yīng)元素：兩個(gè)三角形全等時(shí)，重合的頂點(diǎn)是_______，重合的邊是_______，重合的角是_______.(3)表示：全等三角形用符號(hào)：≌表示，讀作：_______.注意：在表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常要把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的_____寫在對(duì)應(yīng)的位置上.(4)性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊_____，對(duì)應(yīng)角_____，對(duì)應(yīng)邊上的高、中線、角平分線也_____，對(duì)應(yīng)周長、面積也_____.歸納：全等三角形的一切對(duì)應(yīng)元素都_____.完全重合對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角全等于字母相等相等相等相等相等【預(yù)習(xí)思考】面積相等的兩個(gè)長方形全等嗎？提示：不一定，因?yàn)閮蓚€(gè)長方形的形狀不一定相同，如長和寬分別是2,6與3,4的兩個(gè)長方形面積相等，但不全等.全等三角形的對(duì)應(yīng)元素【例1】如圖所示，△ABC≌△EDA，∠BAC與∠DEA是對(duì)應(yīng)角，AB與ED是對(duì)應(yīng)邊，寫出其他對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角.

【解題探究】(1)確定對(duì)應(yīng)邊.①由△ABC≌△EDA，∠BAC與∠DEA是對(duì)應(yīng)角，可得一組對(duì)應(yīng)邊：即BC與DA.②由于兩個(gè)三角形只有3組對(duì)應(yīng)邊，且AB與ED是對(duì)應(yīng)邊,所以第三組對(duì)應(yīng)邊是AC與EA.(2)確定對(duì)應(yīng)角.由對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角得：∠ABC與∠EDA，∠ACB與∠EAD是對(duì)應(yīng)角.【規(guī)律總結(jié)】確定對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊的方法1.找對(duì)應(yīng)邊的方法.(1)有公共邊的,公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊.(2)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊.(3)兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊.(4)兩個(gè)全等的三角形中,一對(duì)最長的邊是對(duì)應(yīng)邊,一對(duì)最短的邊也是對(duì)應(yīng)邊.2.找對(duì)應(yīng)角的方法.(1)有對(duì)頂角或公共角的,對(duì)頂角或公共角一定是對(duì)應(yīng)角.(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角(3)兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.(4)兩個(gè)全等的三角形中,一對(duì)最大的角是對(duì)應(yīng)角,一對(duì)最小的角也是對(duì)應(yīng)角.【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖所示，△ABC≌△CDA，且AB與CD是對(duì)應(yīng)邊，那么下列說法錯(cuò)誤的是()(A)∠1與∠2是對(duì)應(yīng)角(B)∠B與∠D是對(duì)應(yīng)角(C)BC與AC是對(duì)應(yīng)邊(D)AC與CA是對(duì)應(yīng)邊【解析】選C.因?yàn)閷?duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，公共邊是對(duì)應(yīng)邊，BC與DA是對(duì)應(yīng)邊.2.如圖，△ABC≌△DEF，AC∥DF，則∠C的對(duì)應(yīng)角為()(A)∠F(B)∠AGE(C)∠AEF(D)∠D【解析】選A.由△ABC≌△DEF得點(diǎn)C與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)，故∠C與∠F是對(duì)應(yīng)角.3.如圖，△ABC≌△DCB，其中A和D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，AC和DB是對(duì)應(yīng)邊，指出其他的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.對(duì)應(yīng)邊___________，對(duì)應(yīng)角___________.【解析】因?yàn)椤鰽BC≌△DCB，A和D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，AC和DB是對(duì)應(yīng)邊，所以AB=DC，BC=CB,∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC.答案：AB與DC，BC與CB∠A與∠D，∠ABC與∠DCB，∠ACB與∠DBC全等三角形的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】(8分)如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB的度數(shù).【規(guī)范解答】因?yàn)椤鰽BC≌△ADE，所以∠DAE=∠BAC.……………

2分又因?yàn)椤螮AB=120°，∠CAD=10°，所以∠BAC=(∠EAB-∠CAD)=(120°-10°)=55°，所以∠DAB=∠CAD+∠BAC=10°+55°=65°.………………

5分又因?yàn)樵凇鰽BF中，∠B=25°，所以∠AFB=180°-∠B-∠BAF=180°-25°-65°=90°，所以∠DFB=180°-∠AFB=90°.……………

8分【互動(dòng)探究】上例的求解過程中，運(yùn)用了哪些知識(shí)？提示：全等三角形的性質(zhì)、角的和差、三角形內(nèi)角和、補(bǔ)角的性質(zhì)等.【規(guī)律總結(jié)】全等三角形性質(zhì)的兩點(diǎn)應(yīng)用(1)求線段：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可以直接確定對(duì)應(yīng)邊的數(shù)量關(guān)系，也可以間接求解相關(guān)線段的長度等.(2)求角：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可以直接確定對(duì)應(yīng)角的數(shù)量關(guān)系，也可以間接求解相關(guān)角的大小等.【跟蹤訓(xùn)練】4.如圖，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，則DE的長是()(A)5 (B)4 (C)3 (D)2【解析】選A.因?yàn)椤鰽BC≌△DEF,所以DE=AB.因?yàn)锽E=4，AE=1,所以DE=AB=BE+AE=4+1=5.5.如圖，△ACB≌△A′CB′，∠B′CB=30°，則∠ACA′的度數(shù)為()(A)20° (B)30° (C)35° (D)40°【解析】選B.因?yàn)椤鰽CB≌△A′CB′,所以∠ACB=∠A′CB′,即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，所以∠ACA′=∠B′CB.又∠B′CB=30°,所以∠ACA′=30°.6.如圖所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下結(jié)論：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC.其中正確的個(gè)數(shù)是()(A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè)【解析】選B.因?yàn)椤鰽BC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E,所以EF=BC，∠EAF=∠BAC,所以∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,AC與AE不是對(duì)應(yīng)邊，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB，所以①②錯(cuò)誤，③④正確.【變式備選】如圖，D,E是△ABC的邊AC,BC上的點(diǎn)，△ADB≌△EDB≌△EDC.下列結(jié)論：①AD=ED；②BC=2AB；③∠1=∠2=∠3；④∠4=∠5=∠6.其中正確的有()(A)4個(gè) (B)3個(gè) (C)2個(gè) (D)1個(gè)【解析】選A.因?yàn)椤鰽DB≌△EDB,所以AD=ED，AB=EB，∠1=∠2，∠4=∠5.因?yàn)椤鱁DB≌△EDC,所以BE=CE，∠2=∠3，∠5=∠6,所以∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6,BC=2BE,又AB=BE，所以BC=2AB.所以4個(gè)結(jié)論均正確.1.下列四個(gè)幾何體中，從正面、左面和上面看到的形狀圖是全等圖形的幾何體是()(A)球(B)圓柱(C)三棱柱(D)圓錐【解析】選A.球從三個(gè)方向看到的圖形都是全等圓形，故A符合題意.2.已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α的度數(shù)是()(A)72° (B)60° (C)58° (D)50°【解析】選D.因?yàn)閳D中的兩個(gè)三角形全等，a與a，c與c分別是對(duì)應(yīng)邊，那么它們的夾角就是對(duì)應(yīng)角，所以∠α=50°.3.如圖所示，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=3，則EC的長為_____.【解析】因?yàn)椤鰽BE≌△ACF,所以AC=AB=5,所以EC=AC-AE=2.答案：24.如圖，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=______度.【解析】因?yàn)樵凇鰽BC中，