線性方程組的表示消元法

關(guān)于線性方程組的表示消元法第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日2定義1§1線性方程組的表示、消元法第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日3讓第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日4借助于矩陣乘法，線性方程組可表示為第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日5第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日6線性方程組研究的主要問題為：（1）線性方程組是否有解？（2）線性方程組如有解，有多少個解?（3）線性方程組如有解，如何求解？如解有無窮多，如何表示所有的解？第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日7引例求解線性方程組用消元法解下列方程組的過程．消元法解線性方程組第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日8解第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日9用“回代”的方法求出解：第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日10解得(2)第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日11

從上面的例子我們可以看出，用消元法解線性方程組，實際上是對線性方程組施行了以下三種變換：

(1)互換兩個方程的位置；

(2)用一非零數(shù)c乘某一方程；

(3)把其中一個方程的k倍加到另一個方程上我們稱以上三種變換為線性方程組的初等變換

第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日12

這三種初等變換只改變了線性方程組的系數(shù)和常數(shù)，而未知量保持不變。因此，如果將未知量與系數(shù)和常數(shù)項分離開來，實際上是對系數(shù)和常數(shù)項構(gòu)成的增廣矩陣作了三種初等行變換。因此解線性方程組時只需對由系數(shù)和常數(shù)項所構(gòu)成的增廣矩陣作初等行變換。

第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日13問題：（1）為什么經(jīng)過一系列的初等行變換以后得到的新的方程組的解為原方程組的解。我們需要給出它的理論依據(jù)。(2)是否任意一個線性方程組都有解，在什么條件下方程組無解？

第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日14第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日15第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日16階梯矩陣定義例第一，二，三行的首元所在的列依次為2，1，3，不是嚴(yán)格增的，故不是階梯行.第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日17（1）可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．行階梯形矩陣特點：第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日18回顧:消元法解方程的過程實際上就是用一系列初等行變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣(特別是若當(dāng)階梯形)的過程.現(xiàn)重新用初等行變換化增廣矩陣為Jordan階梯形的方法求解線性方程組第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日19解第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日20第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日21第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日22階梯形第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日23若當(dāng)階梯形于是得到原方程組的同解方程組第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日24例

解線性方程組第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日25解：寫出增廣矩陣，對其進行初等行變換化簡：以為增廣矩陣的線性方程組有一矛盾方程0=47，從而原方程組無解。

第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日26注：若原方程組與同解方程組中出現(xiàn)矛盾方程，則原方程組無解。

第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日27例

用消元法解線性方程組第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日28解：第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日29所以原方程組的解為，與用Gramer法則所得結(jié)果一樣。

第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日30例

解齊次線性方程組AX=0，其中系數(shù)矩陣第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日31解：

與原方程組同解的齊次線性方程組BX=0的一般形式為，

第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日32很顯然對于任意的都能解出令，得

方程組的解為

第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日33從上面的例子可以看出，求解線性方程組分為以下幾步：1.對增廣矩陣作初等行變換化為階梯形；2.若階梯形增廣矩陣對應(yīng)的最后一個不為零的方程為，則原方程組無解；否則方程組一定有解.3.有解的情況下:當(dāng)階梯形增廣矩陣非零數(shù)行等于未知數(shù)個數(shù)時,則解唯一;否則非零行數(shù)就小于未知數(shù),這時候方程組有無窮多解.要解出方程組,就需要繼續(xù)對階梯形增廣矩陣進行初等行變換,最終化為若當(dāng)階梯形.若當(dāng)階梯形增廣矩陣對應(yīng)的方程組實際上就是解(讓非首元對應(yīng)的未知數(shù)取任意數(shù)).第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日34證明：必要性。設(shè)滿足。若，則

A可逆，有唯一解矛盾，故。

充分性。當(dāng)n=1時，有非零解，假設(shè)n-1時結(jié)論成立。

定理1

設(shè)A為n階方陣，則齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是。

第三十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日35當(dāng)為n時，設(shè)A經(jīng)初等變換化為階梯形矩陣B：，其中C為n-1階方陣，P為n階可逆矩陣。取行列式得。解同解方程組。若b=0，則是一個非零解；

第三十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日36若，則，由歸納假設(shè)，齊次線性方程組有非零解