第五章 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)長(zhǎng)春理工大學(xué)工科基礎(chǔ)教學(xué)部2023/2/4一、概率密度函數(shù)

通用函數(shù)pdf求離散分布在某點(diǎn)處的概率，

連續(xù)分布的概率密度函數(shù)值格式：Y=pdf(‘name’,x,A)

%返回由name

指定的單參數(shù)分布的概率密度，x為樣本數(shù)據(jù)Y=pdf(‘name’,x,A,B)或Y=pdf(‘name’,x,A,B,C)%返回由name指定的雙參數(shù)或三參數(shù)分布的概率密度說(shuō)明：name

用來(lái)指定分布類型，其取值可以是：

'beta','bino','chi2','exp','ev','f','gam','gev','gp','geo','hyge','logn','nbin','ncf','nct','ncx2','norm','poiss','rayl','t','unif','unid','wbl'2023/2/4一、概率密度函數(shù)專用函數(shù)當(dāng)需要某一分布的某類運(yùn)算功能時(shí)，將分布字符與功能字符連接起來(lái)，就得到所要的命令.例如，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：normpdf2023/2/4一、概率密度函數(shù)常用的概率密度函數(shù)：舉例-概率密度函數(shù)例2：計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)在點(diǎn)0.7733的概率密度值.例1：繪制正態(tài)分布N(0,1)和N(1,4)的圖像.>>x=-8:0.1:8;y=pdf('norm',x,0,1);y1=pdf('norm',x,1,2);plot(x,y,x,y1,':')>>normpdf(0.7733,0,1)%或輸入pdf('norm',0.7733,0,1)結(jié)果：ans=0.2958舉例-概率密度函數(shù)在命令窗口鍵入ex504，回車后得結(jié)果如圖.例3：繪制卡方分布的概率密度函數(shù)在n分別等于1,5,15時(shí)的圖形.x=0:0.5:30;

y1=chi2pdf(x,1);y2=chi2pdf(x,5);y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y1,':')holdonplot(x,y2,'+')plot(x,y3,'o')axis([0,30,0,0.2])xlabel('卡方分布')在MATLAB編輯器中編輯M文件：ex504.m二、分布函數(shù)通用函數(shù)cdfMATLAB中函數(shù)cdf可以計(jì)算隨機(jī)變量的分布函數(shù)值.格式：cdf(‘name’,x,A)cdf(‘name’,x,A,B)cdf(‘name’,x,A,B,C)專用函數(shù)2023/2/4binocdf(k,n,p)normcdf(x,m,s)poisscdf(k,lambda)chi2cdf(x,n)unifcdf(x,a,b)tcdf(x,n)expcdf(x,lambda)fcdf(x,n1,n2)舉例-分布函數(shù)例4：某市公安局在長(zhǎng)度為t

的時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為t/2的泊松分布，且與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼叫的概率.2023/2/4解：設(shè)呼叫次數(shù)為X，則該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求1-P{X≤0}.>>1-poisscdf(0,2.5)%t=5,l=t/2=2.5結(jié)果：ans=

0.9179.因此，至少收到1次呼叫的概率為0.9179.方法二：1-P{X≤0}=1-P{X=0}>>1-poisspdf(0,2.5)結(jié)果：ans=0.9179例5：設(shè)XN(3,4)，求P{2X5}，P{|X|>2}.舉例-分布函數(shù)2023/2/4>>x=-5:0.1:11;y=normpdf(x,3,2);plot(x,y)>>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)p2=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)結(jié)果：p1=

0.5328，p2=

0.6853.三、逆概率分布函數(shù)通用函數(shù)Inv逆概率分布函數(shù)是分布函數(shù)F(x)的反函數(shù)，即給定a，求滿足F(xa)=P{X≤xa}=a的xa，也稱xa為該分布的下分位點(diǎn).專用函數(shù)2023/2/4x=unifinv(p,a,b)x=expinv(p,lambda)x=norminv(p,m,s)x=chi2inv(p,n)x=tinv(p,n)x=finv(p,n1,n2)舉例-逆概率分布函數(shù)例6：公共汽車門的高度是按成年男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)不超過(guò)1%設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X(單位：cm）服從正態(tài)分布N(175,36)，求車門的最低高度.2023/2/4解：設(shè)h為車門高度，求滿足條件P{X>h}=1-P{X≤h}≤0.01的h.>>h=norminv(0.99,175,6)%求滿足條件P{X≤h}≥0.99的h的最小值運(yùn)行結(jié)果為h=

188.9581四、期望和方差離散型隨機(jī)變量的期望和方差可借助sum函數(shù)實(shí)現(xiàn)，連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差則借助int函數(shù)實(shí)現(xiàn).對(duì)于常見的分布可用以“stat”結(jié)尾的函數(shù)計(jì)算給定參數(shù)的某種分布的期望和方差.2023/2/4例7：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求E(X)，D(X).X-2-1012P0.30.10.20.10.3舉例—期望和方差>>X=[-2-1012];p=[0.30.10.20.10.3];EX=sum(X.*p)%也可輸入EX=sum(X*p')DX=sum(X.^2.*p)-EX.^2結(jié)果：EX=

0，DX=2.6000舉例-期望和方差例8：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度，求E(X)和D(X).>>symsxf_x=3*x^2;EX=int(x*f_x,0,1)DX=int(x^2*f_x,0,1)-EX^2例9：求參數(shù)為8的泊松分布的期望和方差.

結(jié)果：EX=

3/4，DX=

3/80>>[m,v]=poisstat(8)結(jié)果：m=8，v=8五、基本統(tǒng)計(jì)量用于數(shù)據(jù)描述的常用命令：mean(X）%X為向量，返回向量的均值；X為矩陣，返回由矩陣每一列的均值構(gòu)成的行向量median(X)%中位數(shù)std(X)%標(biāo)準(zhǔn)差var(X)%樣本方差moment(X,n)%n階中心矩range(X)%極差skewness(X)%偏度kurtosis(X)%峰度cov(X,Y)%樣本協(xié)方差cov(X)%當(dāng)X為矩陣，返回X的樣本協(xié)方差舉例-基本統(tǒng)計(jì)量例10：隨機(jī)抽取6個(gè)滾珠測(cè)得直徑（單位：mm）如下：14.7015.2114.9014.9115.3215.32求樣本均值，樣本方差.>>X=[14.7015.2114.9014.9115.3215.32];Xbar=mean(X)%樣本均值D=var(X)%樣本方差結(jié)果：Xbar=15.0600，D=

0.0671注：還可按計(jì)算公式得到的樣本方差：n=length(X);D1=sum((X(1,:)-Xbar).^2)/(n-1)%D與D1輸出結(jié)果相同六、參數(shù)估計(jì)mle利用統(tǒng)計(jì)工具箱中的mle函數(shù)可以進(jìn)行極大似然估計(jì)mle函數(shù)不僅可以返回極大似然估計(jì)值，還可以返回置信區(qū)間.格式：[phat,pci]=mle(name,x,)說(shuō)明：①

輸入?yún)?shù)：name為分布類型，x是樣本，為顯著水平（默認(rèn)為0.05）；②

輸出參數(shù)：phat是指定分布的極大似然估計(jì)值，pci為置信度為(1-)×100%的置信區(qū)間.六、參數(shù)估計(jì)normfit正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)的函數(shù)格式：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,)說(shuō)明：①輸入?yún)?shù)：x是正態(tài)總體N(,2)的樣本，為顯著水平；②輸出參數(shù)：muhat和sigmahat分別為總體均值和標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值，muci和sigmaci分別為置信度為(1-)×100%的置信區(qū)間；expfit，binofit，unifit，poissfit，betafit的用法類似normfit，返回的參數(shù)估計(jì)為極大似然估計(jì)(MLE).舉例-區(qū)間估計(jì)例11：設(shè)某種油漆的9個(gè)樣品，其干燥時(shí)間（單位：小時(shí)）分別為6.05.75.86.57.06.35.66.15.0設(shè)干燥時(shí)間總體服從正態(tài)分布N(,2)，求

和

的置信度為0.95的置信區(qū)間（未知）.>>X=[6.05.75.86.57.06.35.66.15.0];[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,0.05)結(jié)果：muhat=

6%的極大似然估計(jì)值

sigmahat=0.5745%的極大似然估計(jì)值

muci=5.55846.4416%的置信區(qū)間sigmaci=

0.3880

1.1005

%的置信區(qū)間七、假設(shè)檢驗(yàn)—單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)ztest對(duì)正態(tài)分布總體N(,2)，在方差2已知的條件下，對(duì)于進(jìn)行檢驗(yàn)格式：[h,sig,ci,zval]=ztest(x,0,,,tail)%完整形式說(shuō)明：x為樣本，0為均值（原假設(shè)H0：=0）,為總體標(biāo)準(zhǔn)差，為顯著水平（默認(rèn)值為0.05），tail是雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)和單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的標(biāo)識(shí)，tail取值如下：h=0表示接受原假設(shè)，h=1表示拒絕原假設(shè)；sig為觀察值的概率，當(dāng)sig為小概率時(shí)則對(duì)原假設(shè)提出質(zhì)疑；ci為真正均值的1-置信區(qū)間；zval為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值.tail

=

0，表示備擇假設(shè)H1:m≠m0（默認(rèn)，雙邊檢驗(yàn)）；tail

=

1，表示備擇假設(shè)H1:m>m0（右邊檢驗(yàn)）；tail

=-1，表示備擇假設(shè)H1:m<m0（左邊檢驗(yàn)）.舉例：假設(shè)檢驗(yàn)例12：某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖，包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器正常時(shí)，其均值為0.5公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為0.015.某日開工后檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常，隨機(jī)地抽取所包裝的糖9袋，稱得凈重（單位：kg）為：0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512問(wèn)機(jī)器是否正常（顯著水平=0.05）？解：提出假設(shè)：H0:=0=0.5，H1:0.>>X=[0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512];>>[h,sig,ci,zval]=ztest(X,0.5,0.015,0.05,0)舉例：假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果為h=1sig=0.0248%

樣本觀察值的概率ci=0.50140.5210%

置信區(qū)間，均值0.5在此區(qū)間之外zval=2.2444

%

統(tǒng)計(jì)量的值%表示在顯著水平=0.05下可拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常.七、假設(shè)檢驗(yàn)—單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)ttest對(duì)正態(tài)分布總體

N(,2)，在方差2未知的條件下，對(duì)于進(jìn)行檢驗(yàn)格式：[h,sig,ci]=ttest(x,0,,tail)例13：設(shè)某種電子元件的壽命X（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布，,2均未知.現(xiàn)測(cè)得16只元件的壽命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170問(wèn)是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225小時(shí)（=0.05）？舉例：假設(shè)檢驗(yàn)解：2未知，在=0.05下檢驗(yàn)假設(shè)：H0:=0=225，H1:>0=225.>>X=[159280101212224379179264222362...168250149260485170];[h,sig,ci]=ttest(X,225,0.05,1)結(jié)果：h=0%接受原假設(shè)，認(rèn)為元件的平均壽命不大于225小時(shí)sig=0.2570，ci=198.2321Inf%均值225在該置信區(qū)間內(nèi)七、假設(shè)檢驗(yàn)—兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)ttest2對(duì)兩個(gè)正態(tài)分布總體的采樣X(jué)、Y進(jìn)行t檢驗(yàn)格式：

[h,sig,ci]=ttest2(x,y,,tail)例14：在平爐上進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法是否會(huì)增加鋼的產(chǎn)率