S(五章3講)勢(shì)壘貫穿

量子力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理

Quantummechanicsandstatisticalphysics光電信息學(xué)院李小飛第五章：求解定態(tài)薛定諤方程第三講：勢(shì)壘貫穿

（量子隧道效應(yīng)）

1962年，年僅22歲（研究生）的BrianJosephson（猶太人）通過(guò)量子理論計(jì)算表明：中間用薄絕緣體隔開(kāi)的兩超導(dǎo)體之間存在電流，這種宏觀的量子效應(yīng)在其后幾年就被實(shí)驗(yàn)測(cè)量到。獲1973年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)Josephson

Junction絕緣體電子波遇到勢(shì)壘而產(chǎn)生的干涉和隧穿效應(yīng)1、計(jì)算過(guò)程特點(diǎn)：(1)勢(shì)壘，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處不為零，是擴(kuò)展態(tài)，能譜連續(xù)(2)經(jīng)典力學(xué)：若E<U0,則粒子不能進(jìn)入勢(shì)壘,在x=0處全被彈回若E>U0,則粒子將穿過(guò)勢(shì)壘運(yùn)動(dòng)。量子力學(xué)：由于粒子的波動(dòng)性，此問(wèn)題將與光透過(guò)一層介質(zhì)相似，總有一部分穿過(guò)勢(shì)壘。因此，計(jì)算的重點(diǎn)

是透射系數(shù)。

（１）方型勢(shì)壘0aU(x)

U0IIIIIIＥE>U0的情形令

0aU(x)U0IIIIIIE（３）定態(tài)薜定諤方程(經(jīng)過(guò)整理)（2）哈密頓算符（４）解方程向右傳播的入射波向左傳播的反射波由左向右的透射波因Ⅲ區(qū)無(wú)由右向左傳播的平面波，故分區(qū)取解則方程變?yōu)榉匠痰那蠼膺^(guò)程消去與,并設(shè)Ａ已知：由波函數(shù)的連續(xù)性條件

可得透射波振幅與入射波振幅

間的關(guān)系（4）定系數(shù)：利用概率流密度公式:求得入射波的概率流密度

透射波的概率流密度

反射波的概率流密度

（5）

以及反射波振幅與入射波振幅

間的關(guān)系

為了定量描述入射粒子透射勢(shì)壘的概率和反射概率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。透射系數(shù)（6）反射系數(shù)（7）以上二式說(shuō)明入射粒子部分地隧穿勢(shì)壘

到達(dá)第III區(qū)域，另一部分則被勢(shì)壘反射回來(lái)Ｉ區(qū)。表明概率守恒定義透射系數(shù)和反射系數(shù)當(dāng)然，上述結(jié)果對(duì)Ｅ-U0<0的情況也成立Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

令是實(shí)數(shù)其中

是虛數(shù)在(6)和(7)式中，把換為

，得：E<U0的情形這說(shuō)明，即使，也有大于零的透射系數(shù)。這種粒子能夠穿透比它動(dòng)能還要高的勢(shì)壘而不失去能量的現(xiàn)象稱(chēng)為量子隧道效應(yīng)（tunneleffect）.它是粒子具有波動(dòng)性的生動(dòng)表現(xiàn)。0aV0透射波x透射系數(shù):

反射系數(shù):

因與

同數(shù)量級(jí)，

則

故4可忽略于是透射系數(shù)1.低能粒子穿透表明

隨壘寬

和壘高

的增大而成指數(shù)減小。當(dāng)很小，或U0>>E，而

又不太小時(shí)，有k3a>>1，則（５）討論例:入射粒子為電子：設(shè)E=1eV,V0=2eV,a=2×10-10m=2?，算得T≈0.51。若a=5×10-8cm=5?，則T≈0.024，可見(jiàn)透射系數(shù)迅速減小。質(zhì)子與電子質(zhì)量比

μp/μe≈1840。對(duì)于a=2?

則T≈2×10-38?？梢?jiàn)透射系數(shù)明顯的依賴(lài)于粒子的質(zhì)量和勢(shì)壘的寬度。量子力學(xué)提出后，Gamow首先用勢(shì)壘穿透成功的說(shuō)明了放射性元素的α衰變現(xiàn)象。若入射粒子換成質(zhì)子：α衰變的理論解釋1928年，喬治·伽莫夫解釋原子核α衰變的模型，借助這模型，導(dǎo)引出粒子半衰期與能量關(guān)系的方程式透射系數(shù)

2.共振輸運(yùn)３.任意形狀的勢(shì)壘可把任意形狀的勢(shì)壘分割成許多小勢(shì)壘，這些小勢(shì)壘可以近似用方勢(shì)壘處理。對(duì)每一小方勢(shì)壘透射系數(shù)0a

bU(x)則貫穿整個(gè)勢(shì)壘的透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢(shì)壘透射系數(shù)之積，即此式的推導(dǎo)雖不太嚴(yán)格，但與嚴(yán)格推導(dǎo)的結(jié)果一致。dx４.場(chǎng)致發(fā)射（冷發(fā)射）

欲使金屬發(fā)射電子，可以將金屬加熱或用光照射給電子提供能量，這就是我們所熟知的熱發(fā)射和光電效應(yīng)。

但是，施加一個(gè)外電場(chǎng)，金屬中電子的所感受到的電勢(shì)如圖(b)所示。金屬中電子面對(duì)一個(gè)勢(shì)壘，能量最大的電子就能通過(guò)隧道效應(yīng)穿過(guò)勢(shì)壘漏出，從而導(dǎo)致所謂場(chǎng)致電子發(fā)射。圖（b）圖（a）５.隧道二極管1957年江崎玲於奈發(fā)明隧道二極管。它是高摻雜半導(dǎo)體形成的窄的PN結(jié)；

這種電流隨電壓增大反而變小的現(xiàn)象稱(chēng)為負(fù)微分電導(dǎo)效應(yīng)１９７３年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)當(dāng)加前向偏壓時(shí),N區(qū)電子可以通過(guò)隧道效應(yīng)，穿過(guò)禁帶進(jìn)入P區(qū)空帶。隨偏壓增大，隧道電流變大；隨后到達(dá)極大值然后逐漸下降（因?yàn)榭蛇M(jìn)入空態(tài)減少），最后下降到零（空態(tài)沒(méi)了）氮摻雜石墨烯產(chǎn)生負(fù)微分電導(dǎo)行為的物理機(jī)理Xiao-FeiLietal.Half-filledenergybandsinducednegative

differentialresistanceinnitrogen-dopedgraphene(2015)Nanoscale,IF(6.7)６.閃存與固態(tài)硬盤(pán)利用量子隧道效應(yīng)進(jìn)行穿隧注入(Tunnelinjection)寫(xiě)入，以及穿隧釋放(Tunnelrelease)抹除,可實(shí)現(xiàn)信息的讀寫(xiě)。他在1984年舊金山IEEE國(guó)際電子會(huì)議宣讀了自己的發(fā)現(xiàn)，

Intel于會(huì)者看到了它的巨大潛力，于1988年推出第一款商業(yè)性閃存…,現(xiàn)在的閃存市場(chǎng)：268億

舛岡富士雄博士在東芝公司工作期間，通過(guò)理論計(jì)算發(fā)現(xiàn)：(ScanningTunnelingMicroscope)７.掃描隧穿顯微鏡（STM）

S—樣品和針尖間的距離U

—加在樣品和針尖間的微小電壓A

—常數(shù)

—平均勢(shì)壘高度隧道電流公式05090307010(nm)硅晶體表面的STM掃描圖象神經(jīng)細(xì)胞的STM掃描圖象單原子搬運(yùn)，白春禮先生（中科院院長(zhǎng)）鑲嵌了48個(gè)

Fe原子的Cu

表面的掃描隧道顯微鏡照片。48個(gè)Fe

原子形成“電子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波世界上第一次測(cè)量到波函數(shù)形態(tài)

1986年度的諾貝爾物理獎(jiǎng)由賓尼、羅赫爾與魯斯卡三人分享。

前兩者就是掃描隧穿顯微鏡的直接發(fā)明者，（魯斯卡是1932年電子顯微鏡的發(fā)明者，這里只是為了追朔他的功勞）羅赫爾賓尼魯斯卡例1：0U(x)U0III作業(yè)1：作業(yè)２：作業(yè)３：已知核的勢(shì)能曲線如圖，計(jì)算α粒子的透射系數(shù)加５分１.2.電子通過(guò)單一勢(shì)壘時(shí)，透射系數(shù)一般很小，但是在通過(guò)雙勢(shì)壘時(shí)，卻可以出現(xiàn)透射系數(shù)為100%的情況，稱(chēng)為共振隧穿，試研究這種情況并給出共振隧穿發(fā)生的條件加５分附錄１：了解納米與分子電子學(xué)附錄２：1.方勢(shì)阱的透射與共振：入射粒子E>0，勢(shì)阱深度-V0，寬a。求透射系數(shù)T，并討論T的極大，極小條件。解：E-V0oax當(dāng)粒子能量E入射高度為u0的勢(shì)壘(E>u0)時(shí)，透射系數(shù)為：，其中此公式也適用于勢(shì)阱的透射，只須改定義即在k′表達(dá)式中以-V0替代勢(shì)壘高度u0。討論:(1)V0=0時(shí)，k′=k，T=1，此時(shí)無(wú)勢(shì)阱。T=1驗(yàn)證公式正確(2)V0≠0時(shí)，T<1，粒子不能以100％的幾率透過(guò)勢(shì)阱，有一定的幾率被反射，這是量子力學(xué)特有的效應(yīng)。(3)當(dāng)，即，T=1，取極大值