S(五章3講)勢壘貫穿

量子力學與統(tǒng)計物理

Quantummechanicsandstatisticalphysics光電信息學院李小飛第五章：求解定態(tài)薛定諤方程第三講：勢壘貫穿

（量子隧道效應）

1962年，年僅22歲（研究生）的BrianJosephson（猶太人）通過量子理論計算表明：中間用薄絕緣體隔開的兩超導體之間存在電流，這種宏觀的量子效應在其后幾年就被實驗測量到。獲1973年諾貝爾物理學獎Josephson

Junction絕緣體電子波遇到勢壘而產(chǎn)生的干涉和隧穿效應1、計算過程特點：(1)勢壘，波函數(shù)在無窮遠處不為零，是擴展態(tài)，能譜連續(xù)(2)經(jīng)典力學：若E<U0,則粒子不能進入勢壘,在x=0處全被彈回若E>U0,則粒子將穿過勢壘運動。量子力學：由于粒子的波動性，此問題將與光透過一層介質(zhì)相似，總有一部分穿過勢壘。因此，計算的重點

是透射系數(shù)。

（１）方型勢壘0aU(x)

U0IIIIIIＥE>U0的情形令

0aU(x)U0IIIIIIE（３）定態(tài)薜定諤方程(經(jīng)過整理)（2）哈密頓算符（４）解方程向右傳播的入射波向左傳播的反射波由左向右的透射波因Ⅲ區(qū)無由右向左傳播的平面波，故分區(qū)取解則方程變?yōu)榉匠痰那蠼膺^程消去與,并設Ａ已知：由波函數(shù)的連續(xù)性條件

可得透射波振幅與入射波振幅

間的關系（4）定系數(shù)：利用概率流密度公式:求得入射波的概率流密度

透射波的概率流密度

反射波的概率流密度

（5）

以及反射波振幅與入射波振幅

間的關系

為了定量描述入射粒子透射勢壘的概率和反射概率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。透射系數(shù)（6）反射系數(shù)（7）以上二式說明入射粒子部分地隧穿勢壘

到達第III區(qū)域，另一部分則被勢壘反射回來Ｉ區(qū)。表明概率守恒定義透射系數(shù)和反射系數(shù)當然，上述結果對Ｅ-U0<0的情況也成立Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

令是實數(shù)其中

是虛數(shù)在(6)和(7)式中，把換為

，得：E<U0的情形這說明，即使，也有大于零的透射系數(shù)。這種粒子能夠穿透比它動能還要高的勢壘而不失去能量的現(xiàn)象稱為量子隧道效應（tunneleffect）.它是粒子具有波動性的生動表現(xiàn)。0aV0透射波x透射系數(shù):

反射系數(shù):

因與

同數(shù)量級，

則

故4可忽略于是透射系數(shù)1.低能粒子穿透表明

隨壘寬

和壘高

的增大而成指數(shù)減小。當很小，或U0>>E，而

又不太小時，有k3a>>1，則（５）討論例:入射粒子為電子：設E=1eV,V0=2eV,a=2×10-10m=2?，算得T≈0.51。若a=5×10-8cm=5?，則T≈0.024，可見透射系數(shù)迅速減小。質(zhì)子與電子質(zhì)量比

μp/μe≈1840。對于a=2?

則T≈2×10-38。可見透射系數(shù)明顯的依賴于粒子的質(zhì)量和勢壘的寬度。量子力學提出后，Gamow首先用勢壘穿透成功的說明了放射性元素的α衰變現(xiàn)象。若入射粒子換成質(zhì)子：α衰變的理論解釋1928年，喬治·伽莫夫解釋原子核α衰變的模型，借助這模型，導引出粒子半衰期與能量關系的方程式透射系數(shù)

2.共振輸運３.任意形狀的勢壘可把任意形狀的勢壘分割成許多小勢壘，這些小勢壘可以近似用方勢壘處理。對每一小方勢壘透射系數(shù)0a

bU(x)則貫穿整個勢壘的透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢壘透射系數(shù)之積，即此式的推導雖不太嚴格，但與嚴格推導的結果一致。dx４.場致發(fā)射（冷發(fā)射）

欲使金屬發(fā)射電子，可以將金屬加熱或用光照射給電子提供能量，這就是我們所熟知的熱發(fā)射和光電效應。

但是，施加一個外電場，金屬中電子的所感受到的電勢如圖(b)所示。金屬中電子面對一個勢壘，能量最大的電子就能通過隧道效應穿過勢壘漏出，從而導致所謂場致電子發(fā)射。圖（b）圖（a）５.隧道二極管1957年江崎玲於奈發(fā)明隧道二極管。它是高摻雜半導體形成的窄的PN結；

這種電流隨電壓增大反而變小的現(xiàn)象稱為負微分電導效應１９７３年諾貝爾物理學獎當加前向偏壓時,N區(qū)電子可以通過隧道效應，穿過禁帶進入P區(qū)空帶。隨偏壓增大，隧道電流變大；隨后到達極大值然后逐漸下降（因為可進入空態(tài)減少），最后下降到零（空態(tài)沒了）氮摻雜石墨烯產(chǎn)生負微分電導行為的物理機理Xiao-FeiLietal.Half-filledenergybandsinducednegative

differentialresistanceinnitrogen-dopedgraphene(2015)Nanoscale,IF(6.7)６.閃存與固態(tài)硬盤利用量子隧道效應進行穿隧注入(Tunnelinjection)寫入，以及穿隧釋放(Tunnelrelease)抹除,可實現(xiàn)信息的讀寫。他在1984年舊金山IEEE國際電子會議宣讀了自己的發(fā)現(xiàn)，

Intel于會者看到了它的巨大潛力，于1988年推出第一款商業(yè)性閃存…,現(xiàn)在的閃存市場：268億

舛岡富士雄博士在東芝公司工作期間，通過理論計算發(fā)現(xiàn)：(ScanningTunnelingMicroscope)７.掃描隧穿顯微鏡（STM）

S—樣品和針尖間的距離U

—加在樣品和針尖間的微小電壓A

—常數(shù)

—平均勢壘高度隧道電流公式05090307010(nm)硅晶體表面的STM掃描圖象神經(jīng)細胞的STM掃描圖象單原子搬運，白春禮先生（中科院院長）鑲嵌了48個

Fe原子的Cu

表面的掃描隧道顯微鏡照片。48個Fe

原子形成“電子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波世界上第一次測量到波函數(shù)形態(tài)

1986年度的諾貝爾物理獎由賓尼、羅赫爾與魯斯卡三人分享。

前兩者就是掃描隧穿顯微鏡的直接發(fā)明者，（魯斯卡是1932年電子顯微鏡的發(fā)明者，這里只是為了追朔他的功勞）羅赫爾賓尼魯斯卡例1：0U(x)U0III作業(yè)1：作業(yè)２：作業(yè)３：已知核的勢能曲線如圖，計算α粒子的透射系數(shù)加５分１.2.電子通過單一勢壘時，透射系數(shù)一般很小，但是在通過雙勢壘時，卻可以出現(xiàn)透射系數(shù)為100%的情況，稱為共振隧穿，試研究這種情況并給出共振隧穿發(fā)生的條件加５分附錄１：了解納米與分子電子學附錄２：1.方勢阱的透射與共振：入射粒子E>0，勢阱深度-V0，寬a。求透射系數(shù)T，并討論T的極大，極小條件。解：E-V0oax當粒子能量E入射高度為u0的勢壘(E>u0)時，透射系數(shù)為：，其中此公式也適用于勢阱的透射，只須改定義即在k′表達式中以-V0替代勢壘高度u0。討論:(1)V0=0時，k′=k，T=1，此時無勢阱。T=1驗證公式正確(2)V0≠0時，T<1，粒子不能以100％的幾率透過勢阱，有一定的幾率被反射，這是量子力學特有的效應。(3)當，即，T=1，取極大值