第六節(jié)分段低次插值

§6分段低次插值多項式插值的問題前面根據(jù)區(qū)間[a,b]上給出的節(jié)點做插值多項式Ln(x)近似

f(x),一般總認為Ln(x)次數(shù)n越高逼近f(x)的精度越好，但實際上并非如此。這是因為對任意的插值節(jié)點，當(dāng)∞→n時，Ln(x)

不一定收斂到f(x)，本世紀初龍格（Runge）就給出了一個等距節(jié)點插值多項式Ln(x)

不收斂的f(x)

的例子。設(shè)函數(shù)為它在[?5,5]上各階導(dǎo)數(shù)均存在，在[?5,5]上取

n+1個等距節(jié)點xI=-5+10i/n,(i=0,1,…,n)

所構(gòu)造的拉格朗日插值多項式1拉格朗日插值多項式因此隨著插值結(jié)點數(shù)增加，插值多項式的次數(shù)也相應(yīng)增加，而對于高次插值容易帶來劇烈振蕩，帶來數(shù)值不穩(wěn)定。為了既要增加插值結(jié)點，減小插值區(qū)間，以便更好的逼近被插值函數(shù)，又要不增加插值多項式的次數(shù)以減少誤差，我們可以采用分段插值的辦法。見P45只在內(nèi)收斂，而在這區(qū)間外是發(fā)散的2分段線性插值所謂分段線性插值就是通過插值點用折線段連接起來逼f(x)。設(shè)已知節(jié)點a=x0<x1<…<xn=b,

及相應(yīng)的函數(shù)值f0,f1,…,fn,

求一折線函數(shù)

Ih

(x)滿足：則稱為分段線性插值函數(shù)3由定義可知Ih

(x)在每個小區(qū)間[xk

,xk+1]上可表示為若用插值基函數(shù)表示，則在整個區(qū)間[a,b]上為4其中基函數(shù)

lj(x)滿足條件lj(xk)=δjk

(j,k=0,1,2,…,n)其形式是5對于分段線性插值的余項估計有下列結(jié)果：定理6.3

設(shè)給定節(jié)點為a=x0＜x1＜…＜xn=b,f(xi)=yi,

f”(x)在［a,b］上存在,則對任意的x∈[a,b]有:分段線性插值基函數(shù)lj(x)只在

xj附近不為零，在其他地方均為零，這種性質(zhì)稱為局部非零性質(zhì)。6收斂性證明：當(dāng)x屬于[xk

,xk+1]時故又現(xiàn)在要證明考慮7這里ω(h)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)模，即對任意兩點

x′,x″∈[a,b]，只要

|x′?x″|≤h

，就有|f(x′)

?f(x″)|≤(h)稱ω(h)為在f(x)在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)模，當(dāng)x∈[a,b]時，就有由前式可知，當(dāng)x∈[a,b]時，有因此，只要f(x)∈C[a,b]，就有在[a,b]上一致成立，故Ih(x)在[a,b]上一致收斂到f(x)。8分段三次埃爾米特插值分段線性插值函數(shù)Ih

(x)

的導(dǎo)數(shù)是間斷的，若在節(jié)點xk(k=0,1,…,n)上除已知函數(shù)值fk外還給出導(dǎo)數(shù)值這樣就可構(gòu)造一個導(dǎo)數(shù)連續(xù)的分段插值函數(shù)Ih

(x)

,它滿足條件:代表區(qū)間上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)集合）在每個小區(qū)間上是三次多項式9由兩點三次hermite

插值多項式?？芍?，Ih

(x)在區(qū)間[xk

,

xk

+1]上的表達式為若在整個區(qū)間[a,b]上定義一組分段三次插值基函數(shù)αj(x)及βj(x)

(j

=0,1,…,n)

，10則Ih

(x)可表示為其中其中αj(x)及βj(x)分別表示為111213收斂性證明:由于αj(x),βj(x)的局部非零性質(zhì)，當(dāng)x∈[xk

,

xk+1]時于是Ih

(x)

可表為為了研究Ih

(x)

的收斂性，由αj(x),βj(x)直接得估計式14當(dāng)x∈[xk

,

xk+1]時于是有即對x∈[a,b]成立,其中

ω(h)是

f(x)在[a,b