材料力學(xué) 第3章 扭轉(zhuǎn)

§3-1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例§3-2外力偶矩的計(jì)算扭矩和扭矩圖§3-3純剪切§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力§3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形§3-6圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形§3-7非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)§3-1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例1．受力特征：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對大小相等，方向相反的外力偶。

2．變形特征：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件稱為軸。受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的，所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)?！?-2外力偶矩的計(jì)算扭矩和扭矩圖直接計(jì)算1．外力偶矩按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完成：已知軸轉(zhuǎn)速－n轉(zhuǎn)/分鐘輸出功率－P千瓦求：力偶矩Me例3-2-1傳動(dòng)軸如圖所示，主動(dòng)輪A輸入功率PA=50kW，從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，計(jì)算各輪上所受的外力偶矩。

MAMBMCBCADMD解：計(jì)算外力偶矩2．扭矩與扭矩圖扭矩的正負(fù)號規(guī)定：按右手螺旋法則，T矢量背離截面為正，指向截面為負(fù)（或矢量與截面外法線方向一致為正，反之為負(fù)）T稱為截面n-n上的扭矩。用截面法求扭矩時(shí)，建議均假設(shè)各截面扭矩T為正，如果由平衡方程得到T為正，則說明是正的扭矩，如果為負(fù)，則是負(fù)的扭矩。在畫軸的扭矩圖，正的扭矩畫在x軸上方，負(fù)的扭矩畫在x軸下方。注意MeMeMeTx扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。xT例3-2-2計(jì)算例3-2-1中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。MAMBMCBCADMD解：已知477.5N·m955N·m637N·mT+-作扭矩圖如左圖示。例3-2-3已知：一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入P1=500kW，從動(dòng)輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。解：①計(jì)算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）③繪制扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––§3-3純剪切薄壁圓筒：壁厚（r：為平均半徑）1．實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力

2．實(shí)驗(yàn)后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3．結(jié)論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動(dòng)。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。acddxbdy′′①無正應(yīng)力②橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4．與的關(guān)系：微小矩形單元體如圖所示：5．薄壁圓筒剪應(yīng)力大?。?/p>

A：平均半徑所作圓的面積。二、切應(yīng)力互等定理：

上式稱為剪應(yīng)力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxbdy′′tz三、切應(yīng)變剪切胡克定律

單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。T=m剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因無量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來。1.橫截面變形后仍為平面；2.軸向無伸縮；3.縱向線變形后仍為平行。平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度?！?-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：距圓心為任一點(diǎn)處的與到圓心的距離成正比?！まD(zhuǎn)角沿長度方向變化率。Ttmaxtmax2.物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得：3.靜力學(xué)關(guān)系：TOdA令代入物理關(guān)系式得：—橫截面上距圓心為處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點(diǎn)到圓心的距離。Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。單位：mm4，m4。③盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。對于實(shí)心圓截面：DdO對于空心圓截面：dDOd④應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。⑤確定最大剪應(yīng)力：由知：當(dāng)Wt—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實(shí)心圓截面：對于空心圓截面：三、強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：，[t]—許用切應(yīng)力；軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切狀態(tài)，所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。理論與試驗(yàn)研究均表明，材料純剪切時(shí)的許用切應(yīng)力[t]與許用正應(yīng)力[σ]之間存在下述關(guān)系：對于塑性材料．[t]＝(0.5一0.577)[σ]對于脆性材料，[t]＝(0.8—1.0)[σl]式中，[σl]代表許用拉應(yīng)力。強(qiáng)度計(jì)算三方面：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：例3-4-1：一厚度為30mm、內(nèi)直徑為230mm的空心圓管，承受扭矩T=180kN·m。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用：(1)薄壁管的近似理論；(2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。解：(1)利用薄壁管的近似理論可求得(2)利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得例3-4-2：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為α=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為Ｔ，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為Ｔ的多少倍？（按強(qiáng)度計(jì)算）。解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)閐1、

D1，最大許可扭矩為Ｔ1例3-4-3：某汽車主傳動(dòng)軸鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，試校核軸的強(qiáng)度。解：計(jì)算截面參數(shù)：由強(qiáng)度條件：故軸的強(qiáng)度滿足要求。同樣強(qiáng)度下，空心軸使用材料僅為實(shí)心軸的三分之一，故空心軸較實(shí)心軸合理。

空心軸與實(shí)心軸的截面面積比(重量比)為：由上式解出：d=46.9mm。若將空心軸改成實(shí)心軸，仍使，則例3-4-4：功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力[]=30MPa,試校核其強(qiáng)度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計(jì)算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度③此軸滿足強(qiáng)度要求。x§3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由公式知：長為l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角

為對于階梯軸，兩端面間相對扭轉(zhuǎn)角為二、單位扭轉(zhuǎn)角

：或三、剛度條件或GIp—抗扭剛度，表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強(qiáng)弱。[

]稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。剛度計(jì)算的三方面：①校核剛度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。例3-5-1：圖示圓截面軸AC，承受扭力矩MA，MB與MC作用，試計(jì)算該軸的總扭轉(zhuǎn)角φAC(即截面C對截面A的相對轉(zhuǎn)角)，并校核軸的剛度。已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。解：1．扭轉(zhuǎn)變形分析利用截面法，得AB段、BC段的扭矩分別為：T1＝180N·m，T2＝-140N·m設(shè)其扭轉(zhuǎn)角分別為φAB和φBC，則：

各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。

由此得軸AC的總扭轉(zhuǎn)角為

2剛度校核軸AC為等截面軸，而AB段的扭矩最大，所以，應(yīng)校核該段軸的扭轉(zhuǎn)剛度。AB段的扭轉(zhuǎn)角變化率為：可見，該軸的扭轉(zhuǎn)剛度符合要求。例3-5-2：長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用剪應(yīng)力[]=30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若[

]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。②由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度解：①設(shè)計(jì)桿的外徑代入數(shù)值得：D0.0226m。40NmxT③右端面轉(zhuǎn)角為：例3-5-3：某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率N1=500馬力，輸出功率分別N2=200馬力及N3=300馬力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？③主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？

500400N1N3N2ACB解：①圖示狀態(tài)下,扭矩如圖，由強(qiáng)度條件得：

Tx–7.024–4.21(kNm)

綜上：②全軸選同一直徑時(shí)由剛度條件得：

③軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng)該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時(shí),軸的最大直徑才為75mm。Tx–4.21(kNm)2.814F彈簧的螺旋角5°,且D>>d,這樣的彈簧稱為密圈螺旋彈簧.略去簧絲曲率的影響，近似地用直桿公式推導(dǎo)這種彈簧的應(yīng)力與變形的計(jì)算公式.§3-6圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形一、彈簧絲橫截面上的應(yīng)力簧絲的橫截面上有兩個(gè)內(nèi)力分量即FSTFPF為便于分析，將桿的斜度視為0o截面法1.內(nèi)力的計(jì)算=+tQtTFsT近似值：FFsT2.應(yīng)力的計(jì)算作為近似計(jì)算，通?？陕匀ヅc剪力FS相應(yīng)的

，所以簧桿橫截面上最大切應(yīng)力為公式修正的原因：（1）當(dāng)D/d較小,簧絲曲率較大時(shí)會引起很大的誤差；（2）假定剪切引起的切應(yīng)力是均勻分布的.式中c為彈簧指數(shù),k為曲度系數(shù),可查教材中的表3.13.強(qiáng)度條件C44.555.566.577.58k1.41.351.311.281.251.231.211.201.18

§3-7非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)

(Torsionofnoncircularprismaticbars)非圓桿，如矩形截面桿扭轉(zhuǎn)后橫截面將發(fā)生翹曲(warping)

而不再是平面.等直非圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面雖發(fā)生翹曲(warping)，但當(dāng)?shù)戎睏U在兩端受外力偶作用，且端面可以自由翹曲時(shí)，其相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同.橫截面上仍然只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力.這一情況稱為純扭轉(zhuǎn)(puretorsion)，或自由扭轉(zhuǎn)(freetorsion).

若桿的兩端受到約束而不能自由翹曲，則相鄰兩橫截面的翹曲程度不同，這將在橫截面上引起附加的正應(yīng)力.這一情況稱為

約束扭轉(zhuǎn)(constrainttorsion).像工字鋼和槽鋼等薄壁桿件，約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生正應(yīng)力相當(dāng)大。但是實(shí)體桿件（如截面為矩形或橢圓形桿件）約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生正應(yīng)力很小與自由扭轉(zhuǎn)無太大差別。bhT矩形截面扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面切應(yīng)力如圖所示，邊緣上各點(diǎn)的切應(yīng)力形成與邊界相切的順流.

整個(gè)橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在長邊的中點(diǎn).一、矩形截面（Rectangularcrosssection)短邊中點(diǎn)的切應(yīng)力