第三章 應(yīng)力分析與應(yīng)變分析

第三章應(yīng)力分析與應(yīng)變分析3.1應(yīng)力與點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)3.1.1六個(gè)基本假設(shè)3.1.2外力3.1.3應(yīng)力和內(nèi)力3.1.4點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)3.1.5張量與應(yīng)力張量2/5/202313.1應(yīng)力狀態(tài)基本概念金屬塑性加工是金屬與合金在外力作用下產(chǎn)生塑性變形的過程，所以必須了解塑性加工中工件所受的外力及其在工件內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變。本章講述變形工件內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的分析及其表示方法。這是塑性加工的力學(xué)基礎(chǔ)。2/5/20232型鋼軋制2/5/20233軋輥的斷裂2/5/20234錘鍛過程2/5/20235飛機(jī)蒙皮的成形破裂起皺能否一次成形，用什么樣的模具?變形量是否滿足要求（厚度減薄量等）?

要想定量的研究變形過程，建立理論公式，在研究塑性力學(xué)行為時(shí)，必須采用一些假設(shè)。FF2/5/202363.1.1六個(gè)基本假設(shè)（1）連續(xù)性假設(shè)。變形體內(nèi)均由連續(xù)介質(zhì)組成，即整個(gè)變形體內(nèi)不存在任何空隙。這樣，應(yīng)力、應(yīng)變、位移等物理量都是連續(xù)變化的，可化為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。

（2）勻質(zhì)性假設(shè)。變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的組織、化學(xué)成分都是均勻且相同的，即各質(zhì)點(diǎn)的物理性能均相同，且不隨坐標(biāo)的改變而變化。（3）各向同性假設(shè)。變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在各個(gè)方向上的物理性能、力學(xué)性能均相同，也不隨坐標(biāo)的改變而變化。（4）初應(yīng)力為零假設(shè)。物體在受力之前是處于自然平衡狀態(tài)，即物體變形時(shí)內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力僅由外力引起。（5）體積力為零假設(shè)。體積力如重力、磁力、慣性力等與面力相比十分微小，可忽略不計(jì)。（6）體積不變假設(shè)。

物體在塑性變形前后體積不變。2/5/20237在塑性理論中，分析問題需要從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)等角度考慮。靜力學(xué)角度是從變形體中質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力分析出發(fā)、根據(jù)靜力平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力平衡微分方程。幾何學(xué)角度是根據(jù)變形體的連續(xù)性和勻質(zhì)性假設(shè)，用幾何的方法導(dǎo)出小應(yīng)變幾何方程。物理學(xué)角度是根據(jù)實(shí)驗(yàn)和基本假設(shè)導(dǎo)出變形體內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系式，即本構(gòu)方程。此外，還要建立變形體由彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)并使繼續(xù)進(jìn)行塑性變形時(shí)所具備的力學(xué)條件，即屈服準(zhǔn)則。2/5/202383.1.2外力塑性成形是利用金屬的塑性，在外力作用下使其成形的一種加工方法。作用于金屬的外力分為兩類：面力或接觸力：作用于金屬表面的力，可以是集中的，但一般是分布的力。體積力：作用在金屬物體的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力。2/5/202391.面力作用力塑性加工設(shè)備的可動(dòng)工具部分對工件所作用的力，用于使金屬坯料產(chǎn)生塑性變形，又稱主動(dòng)力?？梢詫?shí)測或理論計(jì)算，用于驗(yàn)算設(shè)備強(qiáng)度和設(shè)備功率。在不同的加工工序中，可以是壓力、拉力或剪切力。反作用力一般情況下，作用力與反作用力互相平行，并組成平衡力系。摩擦力沿工具和工件接觸面切向阻礙金屬流動(dòng)的力，其方向平行于接觸面，并與金屬質(zhì)點(diǎn)流動(dòng)方向或流動(dòng)趨勢相反。摩擦力最大值不應(yīng)超過金屬的抗剪強(qiáng)度。摩擦力的存在往往會(huì)引起變形力的增加，對金屬的塑性往往是有害的。正壓力沿工具和工件接觸面法向阻礙工件整體移動(dòng)或金屬流動(dòng)的力，其方向垂直于接觸面，并指向工件。2/5/2023102/5/2023112.體積力體積力是與變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成正比的力，如重力、磁力和慣性力等。對于一般的塑性成形過程，由于體積力與加工中的面力比較起來要小的多，在實(shí)際工程計(jì)算中一般可以忽略。但在高速加工時(shí)，如高速錘鍛造、爆炸成形等，金屬塑性流動(dòng)的慣性力應(yīng)該考慮。如錘上模鍛時(shí)，坯料受到由靜到動(dòng)的慣性力作用，慣性力向上，有利于金屬充填上模，故錘上模鍛通常形狀復(fù)雜的部位設(shè)置在上模。2/5/2023123.1.2外力外力體積力面力重力慣性力電磁力特點(diǎn)：分布在物體體積的外力，它作用在物體內(nèi)部的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上特點(diǎn)：分布在物體表面的外力……作用力（主動(dòng)力）反作用力約束反力摩擦力正壓力2/5/2023133.1.3內(nèi)力和應(yīng)力內(nèi)力：在外力作用下，物體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間產(chǎn)生的相互作用的力。應(yīng)力：單位面積上的內(nèi)力。2/5/202314S為截面C-C上點(diǎn)Q的全應(yīng)力。全應(yīng)力為矢量，可分解成兩個(gè)分量，一個(gè)垂直于截面C-C，即C-C截面外法線N上的分量，稱為正應(yīng)力，一般用σ表示；另一個(gè)平行于截面C-C，稱為切應(yīng)力，用τ表示。則：2/5/202315若將C-C截得的下半部分放在空間直角坐標(biāo)系oxyz中，使C-C截面垂直于某坐標(biāo)軸，如y軸，即C-C截面外法線方向N平行于y軸，則過Q點(diǎn)的微分面稱為y面。將Q點(diǎn)的全應(yīng)力S在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影稱為應(yīng)力分量。每個(gè)應(yīng)力分量可用兩個(gè)下角標(biāo)的符合表示，第一個(gè)角標(biāo)表示該應(yīng)力分量所在的平面，第二個(gè)下角標(biāo)表示其作用方向。2/5/2023161.單向受力下的應(yīng)力及其分量

一點(diǎn)的應(yīng)力向量不僅取決于該點(diǎn)的位置，還取決于截面的方位。過試棒內(nèi)一點(diǎn)Q并垂直于拉伸軸線橫截面C-C上的應(yīng)力為：若過Q點(diǎn)做任意切面C1-C1，其法線N與拉伸軸成θ角，面積為F1。由于是均勻拉伸，故截面C1-C1上的應(yīng)力是均布的。此時(shí)截面上Q點(diǎn)的全應(yīng)力Sθ、正應(yīng)力σθ、切應(yīng)力τθ分別為：在單向勻速拉伸條件下，可用一個(gè)σ0來表示其一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。2/5/2023172.多向受力下的應(yīng)力分量（1）應(yīng)力分量的提出

設(shè)在直角坐標(biāo)系中有一個(gè)承受外力的物體，物體內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)Q，現(xiàn)在圍繞Q點(diǎn)切取一個(gè)矩形六面體作為單元體，六面體的棱邊分別平行于坐標(biāo)系的三根坐標(biāo)軸。取六面體中三個(gè)互相垂直的表面作為微分面，各個(gè)微分面上的全應(yīng)力都可以按坐標(biāo)軸方向分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)切應(yīng)力，三個(gè)微分面共有九個(gè)應(yīng)力分量，其中三個(gè)正應(yīng)力分量，六個(gè)切應(yīng)力分量?？梢杂眠@九個(gè)應(yīng)力分量來表示物體內(nèi)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。2/5/2023182.多向受力下的應(yīng)力分量（2）應(yīng)力分量的表示為了清楚的表示各個(gè)微分面上的應(yīng)力分量，我們給三個(gè)微分面命名為：X面、Y面、Z面；讓每一個(gè)應(yīng)力分量都帶上兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力分量的作用面，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力分量的作用方向。所以，九個(gè)應(yīng)力分量可以表示為：

可以看出，兩個(gè)下標(biāo)相同的應(yīng)力是正應(yīng)力，如σxx，一般寫成σx的形式；兩個(gè)下標(biāo)不相同的是剪切應(yīng)力，如τxy。2/5/2023192.多向受力下的應(yīng)力分量（3）應(yīng)力分量的正、負(fù)方向規(guī)定應(yīng)力分量的正、負(fù)按以下方法確定：在單元體上，外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面叫做正面，在正面上，指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號(hào)，指向負(fù)向的取負(fù)號(hào)；相反的，外法線指向坐標(biāo)軸負(fù)向的微分面叫做負(fù)面，在負(fù)面上，正向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取負(fù)號(hào)，指向負(fù)向的取正號(hào)。按照這個(gè)規(guī)定，正應(yīng)力分量以拉為正，壓為負(fù)。2/5/2023202.多向受力下的應(yīng)力分量（4）剪應(yīng)力互等定律

由于單元體是處于靜力平衡狀態(tài)，所以繞單元體各軸的合力矩必須等于零，由此可以得到如下的關(guān)系式：這個(gè)式子叫做剪應(yīng)力互等定律。它表明了：為了保持單元體的平衡，剪應(yīng)力總是成對出現(xiàn)。因此，實(shí)際上只需六個(gè)應(yīng)力分量就可以表示點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。即九個(gè)應(yīng)力分量只有六個(gè)是獨(dú)立的。2/5/2023213.1.4點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：指受力物體內(nèi)一點(diǎn)任意方位微分面上所受的應(yīng)力情況。只有了解變形體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，才能推斷整個(gè)變形體的應(yīng)力狀態(tài)。要想了解一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)必須知道過該點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力分布。但是過該點(diǎn)的截面有無窮多個(gè)，我們沒有辦法一一列舉。為此必須采用其他方式進(jìn)行描述。若已知過一點(diǎn)的三個(gè)相互垂直的微分面上的九個(gè)應(yīng)力分量，如何求得過改點(diǎn)任意微分面上的應(yīng)力分量？2/5/2023223.1.4點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已知某個(gè)坐標(biāo)系中Q點(diǎn)的三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)面上的九個(gè)應(yīng)力分量?，F(xiàn)過Q點(diǎn)作一個(gè)任意斜切微分面ABC，這樣就組成一個(gè)微小四面體QABC。外法線方向?yàn)镹，則這個(gè)斜面與三個(gè)坐標(biāo)軸x、y、z的方向余弦分別為：l=cos（N，x）；m=cos（N，y）；n=cos（N，z）。假設(shè)斜面ABC面積為dF，則dF在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影面積分別為：dFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndF2/5/2023233.1.4點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)現(xiàn)設(shè)斜面上的全應(yīng)力為S，它在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量分別為Sx，Sy，Sz，由于四面體QABC處于平衡狀態(tài)，由靜力平衡條件由∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0即有：

SxdF–σxdFx–τyxdFy–τzxdFz=0SydF–σydFy–τxydFy–τzydFz=0SzdF–σzdFz–τyzdFy–τxzdFz=0整理得：或2/5/2023243.1.4點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)全應(yīng)力：全應(yīng)力S在法線N上的投影就是斜微分面上的正應(yīng)力σ，它等于Sx，Sy，Sz在N上的投影之和，即：斜切微分面上的切應(yīng)力為：2/5/202325綜上可知，變形體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以通過該點(diǎn)且平行于坐標(biāo)面的三個(gè)微分面上的九個(gè)應(yīng)力分量來表示?；蛘哒f，通過變形體內(nèi)任意點(diǎn)垂直于坐標(biāo)軸所截取的三個(gè)相互垂直的微分面上各應(yīng)力已知時(shí)，便可確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

2/5/202326應(yīng)力邊界條件方程如果該四面體素的斜面恰好為變形體的外表面上的微面素，并假定此面素單位面積上的作用力在坐標(biāo)軸方向的分力分別為px、py、pz，則2/5/202327應(yīng)力邊界條件方程的物理意義：建立了過外表面上任意點(diǎn)，單位表面力與過該點(diǎn)垂直坐標(biāo)軸截面上應(yīng)力分量的關(guān)系。2/5/2023283.5.1求和約定和應(yīng)力張量（1）求和約定為了簡化公式和書寫的方便，我們常采用求和約定的方式來書寫公式。例如我們探討一矩陣與向量的乘法：

2/5/202329其中等式右邊各項(xiàng)可以寫為或去掉求和符號(hào)而直接寫為。其中有一特征：同一項(xiàng)中i為重復(fù)下標(biāo)，逢重復(fù)下標(biāo)就相加，該下標(biāo)稱為啞標(biāo)。非重復(fù)下標(biāo)j稱為自由標(biāo)。啞標(biāo)啞標(biāo)自由標(biāo)2/5/202330求和約定的注意要點(diǎn)：啞標(biāo)是說明求和的記號(hào)，用什么字母表示無關(guān)緊要。如2/5/202331方程式左右兩邊的自由標(biāo)必須相同。例如：2/5/202332練習(xí)：把如下公式展開，以為例?！?，”表示求導(dǎo)數(shù)其中2/5/202333（2）應(yīng)力張量在斜面上的應(yīng)力分析中，我們得到用矩陣表示為2/5/202334變形體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以通過該點(diǎn)且平行于坐標(biāo)面的三個(gè)微分面上的九個(gè)應(yīng)力分量來表示。根據(jù)這九個(gè)應(yīng)力分量的特點(diǎn)，我們可以采用一種新的方法來表示它們，如下表所示。2/5/202335x面y面z面x方向y方向z方向2/5/202336去掉表中虛線，則變成矩陣，并可用一個(gè)符號(hào)表示該矩陣。2/5/202337該矩陣的特點(diǎn)：由材料力學(xué)剪切應(yīng)力互等定律，有則此矩陣為一對稱矩陣。該對稱矩陣稱為二階對稱應(yīng)力張量，矩陣中的元素稱為應(yīng)力張量分量。2/5/202338張量在力學(xué)中是一個(gè)十分重要的概念。標(biāo)量是一個(gè)僅由數(shù)的大小表征的量，如溫度、質(zhì)量、能量等。矢量是由數(shù)的大小和方向來表征的量，如力、速度等，它可由空間中的有向線段表示。張量則是由數(shù)的大小、方向和方位來表征的量，如應(yīng)力張量、應(yīng)變速度張量等。2/5/202339標(biāo)量可以表示在數(shù)軸上，數(shù)的大小有正負(fù)之分。不存在坐標(biāo)變換，可以稱之為零階張量。矢量在坐標(biāo)系中可以分解，隨著坐標(biāo)系選取的不同，矢量的分量也隨之發(fā)生變化。存在坐標(biāo)變換。為正交矩陣，有矢量可以稱之為一階張量2/5/202340而張量相當(dāng)于矢量的某種集合，既包含了每一矢量的大小和方向，還體現(xiàn)了這些矢量之間的相互關(guān)系。其與坐標(biāo)系的選取有關(guān)，存在坐標(biāo)變換。具有如此坐標(biāo)變換的張量稱為二階張量2/5/202341直角坐標(biāo)系下的應(yīng)力張量2/5/202342柱坐標(biāo)系下的應(yīng)力張量2/5/202343課堂練習(xí)已知變形體某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，當(dāng)斜面法線方向與三個(gè)坐標(biāo)軸夾角余弦時(shí)，求該斜面上的全應(yīng)力S，全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的分量Sx、Sy、Sz，，及斜面上的法線應(yīng)力sn和切應(yīng)力tn。2/5/20234