第三章 條件平差

測量平差

太原理工大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)系第三章

條件平差

第三章

條件平差

§3-1條件平差原理

§3-2高程網(wǎng)條件平差

§3-3導(dǎo)線網(wǎng)條件平差計算

§3-4三角網(wǎng)條件平差計算§3-5附有參數(shù)的條件平差§3-6條件平差估值的統(tǒng)計性質(zhì)

§3-1條件平差原理設(shè)在某個測量作業(yè)中，有n個觀測值，均含有相互獨立的偶然誤差，相應(yīng)的權(quán)陣為，改正數(shù)為，平差值為，表示為其中在這n個觀測值中，有t個必要觀測數(shù)，多余觀測數(shù)為r。

條件平差原理可以列出r個平差值線性條件方程

式中，ai、bi、…、ri（i=1,2,……n）為各平差值條件方程式中的系數(shù)，a0、b0、…、r0為各平差值條件方程式中的常數(shù)項。相應(yīng)的改正數(shù)條件方程式

式中wa、wb、…、wr稱為改正數(shù)條件方程的閉合差條件平差原理

若取上式可分別表達成矩陣形式如下

條件平差原理按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，引入乘系數(shù)（聯(lián)系數(shù)向量），構(gòu)成函數(shù)：

為引入最小二乘法，將Φ對V求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零得上式兩端轉(zhuǎn)置，得條件平差原理由于P是主對角線陣，則

P=PT

，得將上式兩邊左乘權(quán)逆陣P

–1，得

此式稱為改正數(shù)方程，其純量形式為（i=1，2，…，n）將上式代入，得

此式稱為聯(lián)系數(shù)法方程（簡稱法方程）。

條件平差原理取法方程的系數(shù)陣

AP-1AT=N，由上式易知N陣關(guān)于主對角線對稱，得法方程表達式

法方程數(shù)陣N的秩即N是一個r階的滿秩方陣，且可逆。移項得上式兩邊左乘法方程系數(shù)陣N的逆陣N–1，得聯(lián)系數(shù)K的唯一解：代入前式，可計算出V，再將V代入,即可計算出所求的觀測值的最或然值。

精度評定

精度評定包括單位權(quán)方差和單位權(quán)中誤差的計算、平差值函數(shù)()的協(xié)因數(shù)QFF及其中誤差的計算等。

計算單位權(quán)方差和中誤差的估值

單位權(quán)中誤差的計算公式為在一般情況下，觀測值的真誤差△是不知道的，也就不可能利用上式計算單位權(quán)中誤差。但在條件平差中，可以通過觀測值的改正數(shù)V來計算單位權(quán)方差和中誤差：

式中r為多余觀測值個數(shù)，r=n–t。協(xié)因數(shù)陣

條件平差的基本向量L、W、K、V、都可以表達成隨機向量L的函數(shù)將向量L、K、V、組成列向量，并以Z表示之協(xié)因數(shù)陣按協(xié)因數(shù)傳播律，得Z的協(xié)因數(shù)陣為

由上式可見，平差值與閉合差W、聯(lián)系數(shù)K、改正數(shù)V是不相關(guān)的統(tǒng)計量，又由于它們都是服從正態(tài)分布的向量，所以與W、K、V也是相互獨立的向量。

平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)

設(shè)有平差值函數(shù)

對上式全微分得

取全微分式的系數(shù)陣為

由協(xié)因數(shù)傳播律得

平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)代入式得即此式即為平差值函數(shù)式的協(xié)因數(shù)表達式。該平差值函數(shù)的方差條件平差的計算步驟

（1）根據(jù)實際問題，確定出總觀測值的個數(shù)n、必要觀測值的個數(shù)t及多余觀測個數(shù)r=n-t，進一步列出最或是值條件方程或改正數(shù)條件方程；（2）組成法方程式；（3）計算出聯(lián)系數(shù)K；（4）計算出觀測值改正數(shù)V；并計算出觀測值的平差值；（5）計算單位權(quán)方差和單位權(quán)中誤差；（6）列出平差值函數(shù)關(guān)系式，并對其全微分，求出其線性函數(shù)的系數(shù)陣f，計算出平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)QFF

，計算出平差值函數(shù)的協(xié)方差DFF。

§3-2高程網(wǎng)條件平差

高程網(wǎng)包括水準網(wǎng)和三角高程網(wǎng)。對高程網(wǎng)進行條件平差時，一般以已知高程點的高程值作為起算數(shù)據(jù)，以各測段的觀測高差值作為獨立觀測值，寫出其滿足的條件關(guān)系式，按照條件平差的原理解算各高差值的改正數(shù)和平差值，然后再計算出各待求點的高程平差值，并進行精度評定。

高程網(wǎng)條件方程的個數(shù)及條件方程式

進行條件平差時，首先要確定條件方程的個數(shù)。從上節(jié)內(nèi)容可知道，在一般情況下，條件方程式的個數(shù)與多余觀測的個數(shù)r相符。而要確定多余觀測個數(shù)就必須先確定必要觀測個數(shù)t。高程測量（包括三角高程測量和水準測量）的主要目的是確定未知點的高程值。如圖所示高程網(wǎng)中，有2個已知高程點A、B，3個未知高程點C、D、E和8個高差觀測值。從圖中可以看出，要確定3個未知點的高程值，至少需要知道其中的3個高差觀測值（如h1、h2、h3，或h6

、h7

、h8

，或h2、h4

、h5

等多種選擇），即必要觀測個數(shù)t=3。

高程網(wǎng)條件方程的個數(shù)及條件方程式則多余觀測個數(shù)r=n–t=8-3=5，可以寫出這5個條件方程式相對應(yīng)的改正數(shù)條件方程式形式其中高程網(wǎng)條件方程的個數(shù)及條件方程式

這些條件方程式（或改正數(shù)條件方程式），大體上分為兩類：其一是閉合路線情況，如條件方程式中前四個條件方程式，可稱為閉合條件方程式；其二是附合路線情況，如條件方程式中第五個，反應(yīng)的是從A點出發(fā)后測得的B點的高程值是否與B點的已知高程值相等的問題，可稱為附合條件方程式?！?-3導(dǎo)線網(wǎng)條件平差計算

導(dǎo)線網(wǎng)，包括單一附合導(dǎo)線、單一閉合導(dǎo)線和結(jié)點導(dǎo)線網(wǎng)，是目前較為常用的控制測量布設(shè)方式之一，其觀測值有長度觀測值和角度觀測值。

單一附合導(dǎo)線條件平差

單一附合導(dǎo)線條件平差如圖3-6所示，在這個導(dǎo)線中有四個已知點、n-1個未知點、n+1個水平角觀測值和n條邊長觀測值，總觀測值數(shù)為2n+1。從圖中可以分析，要確定一個未知點的坐標，必須測一條導(dǎo)線邊和一個水平角，即需要兩個觀測值；要確定全部n-1個未知點，則需觀測n-1個導(dǎo)線邊和n-1個水平角，即必要觀測值數(shù)t=2n-2；則多余觀測個數(shù)r=(2n+1)–t=3。也就是說，在單一附合導(dǎo)線中，只有三個條件方程。下面討論其條件方程式及改正數(shù)條件方程式的寫法。單一附合導(dǎo)線條件平差設(shè)AB邊方位角已知值為TAB=T0，CD邊方位角已知值為TCD、計算值為Tn+1，B點坐標的已知值為(,)或者(x1,y1)，C點坐標的已知值為(,)、計算值為(xn+1,yn+1)。三個條件中，有一個方位角附合條件、兩個坐標附合條件。

方位角附合條件：從起始方位角推算至終邊的方位角平差值應(yīng)等于其已知值，即

縱橫坐標附合條件：從起始點推算至終點所得到的坐標平差值應(yīng)與終點的已知坐標值相等，即單一附合導(dǎo)線條件平差1.方位角附合條件式則方位角附合條件式可寫為整理得

其中單一附合導(dǎo)線條件平差2.縱坐標附合條件式終點C坐標平差值表示為而第i邊的坐標增量為

式中單一附合導(dǎo)線條件平差其中Ti是第i邊的近似坐標方位角則上式可表示為上式按泰勒級數(shù)展開，取至一次項，得其中，為由觀測值計算出的近似坐標增量。

單一附合導(dǎo)線條件平差上式代入，整理得上式即為縱坐標條件方程式，也可寫為統(tǒng)一形式：

單一附合導(dǎo)線條件平差3.橫坐標附合條件式可以仿照縱坐標條件推導(dǎo)過程，寫出橫坐標條件式

為使計算方便，保證精度，在實際運算中，S、x、y常以米為單位，w、vS、vβ以厘米為單位，

單一閉合導(dǎo)線條件平差單一閉合導(dǎo)線條件平差1.多邊形內(nèi)角和閉合條件由于導(dǎo)線網(wǎng)構(gòu)成了多邊形，其n+1個轉(zhuǎn)折角的平差值應(yīng)滿足多邊形內(nèi)角和條件

寫成轉(zhuǎn)折角改正數(shù)條件方程形式

其中

單一閉合導(dǎo)線條件平差2.坐標增量閉合條件參照單一附合導(dǎo)線縱橫坐標附合條件推導(dǎo)方法，可以得出坐標閉合條件的改正數(shù)條件方程式：如果S、x、y以米為單位，w、vS、vβ以厘米為單位，則

邊角權(quán)的確定及單位權(quán)中誤差取角度觀測值的權(quán)及中誤差為：pβ、；取邊長觀測值的權(quán)及中誤差為：pS、；取常數(shù)，則角度及邊長觀測值的權(quán)為

一般情況下，可以認為同一導(dǎo)線網(wǎng)中測角精度相等，但是由于導(dǎo)線邊長變化較大使得測邊精度不等?？梢匀。瑒t有邊角權(quán)的確定及單位權(quán)中誤差由于導(dǎo)線網(wǎng)中，既有角度又有邊長，單位權(quán)中誤差應(yīng)按下式計算：

如前所述，由于在計算邊角權(quán)時，通常取測角中誤差作為單位權(quán)中誤差（即m0=mβ），所以在算出的單位權(quán)中誤差的同時，實際上也就計算出了測角中誤差。測邊中誤差可按下式計算：§3-4三角網(wǎng)條件平差計算

三角網(wǎng)的種類比較多，網(wǎng)的布設(shè)形式也比較復(fù)雜。根據(jù)觀測內(nèi)容的不同，有測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、邊角同測網(wǎng)等；根據(jù)網(wǎng)中起始數(shù)據(jù)的多少，有自由三角網(wǎng)和非自由三角網(wǎng)。自由三角網(wǎng)是指僅具有必要起算數(shù)據(jù)的三角網(wǎng)，網(wǎng)中沒有多余的已知數(shù)據(jù)。如果測角三角網(wǎng)中，只有兩個已知點（或者已知一個已知點的坐標、一條已知邊的長度和一個已知的方位角），根據(jù)數(shù)學(xué)理論，以這兩個已知點為起算數(shù)據(jù)，再結(jié)合必要的角度測量值，就能夠解算出網(wǎng)中所有未知點的坐標。如果三角網(wǎng)中除了必要的起算數(shù)據(jù)外還有其它的已知數(shù)據(jù)，或者說已知數(shù)據(jù)有冗余，就會增加對網(wǎng)形的約束，從而增強其可靠性，這種三角網(wǎng)稱之為非自由三角網(wǎng)。無論多么復(fù)雜的三角網(wǎng)，都是由單三角形、大地四邊形和中點多邊形組合而成的。

網(wǎng)中條件方程的個數(shù)

三角網(wǎng)平差的目的，是要確定三角點在平面坐標系中的坐標最或然值。必須事先知道三角網(wǎng)中的四個數(shù)據(jù)，如兩個三角點的4個坐標值，或者一個三角點的2個坐標值、一條邊的長度和一個方位角，這4個已知數(shù)據(jù)我們稱之為三角網(wǎng)的必要起算數(shù)據(jù)。要對三角網(wǎng)進行平差計算，還必須先知道網(wǎng)中的總觀測數(shù)n、判定必要觀測數(shù)t，從而確定了多余觀測數(shù)：r=n-t由條件平差原理知，多余觀測數(shù)與條件方程數(shù)是相等的，有了多余觀測數(shù)，也就確定出了條件方程的個數(shù)。因此，問題的關(guān)鍵是判定必要觀測數(shù)t。條件方程的形式

1.圖形條件方程圖形條件，又叫三角形內(nèi)角和條件，或三角形閉合差條件。在三角網(wǎng)中，一般對三角形的每個內(nèi)角都進行了觀測。根據(jù)平面幾何知識，三角形的三個內(nèi)角的平差值的和應(yīng)為180?，三角形ABP，其內(nèi)角平差值的和應(yīng)滿足下述關(guān)系：

此即為三角形內(nèi)角和條件方程。由于三角形是組成三角網(wǎng)的最基本的幾何圖形，因此，通常稱三角形內(nèi)角和條件為圖形條件。因此圖形條件也是三角網(wǎng)的最基本、最常見的條件方程形式。相對應(yīng)的改正數(shù)條件方程為

條件方程的形式

2.水平條件方程水平條件，又稱圓周條件，這種條件方程一般見于中點多邊形中。在中點P上設(shè)觀測站時，周圍的五個角度都要觀測。這五個觀測值的平差值之和應(yīng)等于360?，即

相應(yīng)的改正數(shù)條件方程為

條件方程的形式

3.極條件方程極條件是一種邊長條件，一般見于中點多邊形和大地四邊形中。先看中點多邊形的情況。中心P點為頂點，有五條邊，從其中任一條邊開始依次推算其它各邊的長度，最后又回到起始邊，則起始邊長度的平差值應(yīng)與推算值的長度相等。整理得條件方程的形式4.方位角條件方程方位角條件，嚴格地說是方位角附合條件，是指從一個已知方位角出發(fā)，推算至另一個已知方位角后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等。設(shè)AB邊的方位角，EF邊的已知方位角為。如果從AB向EF推算，設(shè)EF方位角的推算值的最或然值為，近似值為TEF。則方位角附合條件方程為

其中

條件方程的形式5.邊長條件方程邊長條件，嚴格地說是邊長附合條件，是指從一個已知邊長出發(fā)，推算至另一個已知邊長后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等。三角網(wǎng)中，設(shè)AB邊的已知長度為，EF邊的已知長度為。如果沿圖中所示的推算路線，從AB向EF推算，得EF邊長推算值的最或然值為，近似值為SEF。則邊長附合條件方程為

其中條件方程的形式6.坐標條件方程坐標條件方程，是指從一個已知點出發(fā)，推算至另一個已知點后，所得推算值應(yīng)與該點的已知坐標值相等。三角網(wǎng)中，設(shè)B點的已知坐標為（，），E點的已知坐標為（，）。如果沿圖中所示的路線，從B→C→E進行推算，得E點坐標推算值的最或然值為（，），近似值為(xE,yE)。則坐標條件方程為

§3-5附有參數(shù)的條件平差

設(shè)條件平差中有觀測值n個，必要觀測值t個，多余觀測數(shù)r個，取u個非觀測量作為參數(shù)（設(shè)為），則要列出的條件方程數(shù)為c=r+u附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型為

用Δ和的估值v和代替，則附有參數(shù)的條件平差法的