第四章 數(shù)據(jù)分布特征描述

第四章

數(shù)據(jù)分布特征的描述描述數(shù)據(jù)分布特征的指標(biāo)主要有三大類：一是描述數(shù)據(jù)分布集中趨勢的指標(biāo)；二是描述數(shù)據(jù)分布離散程度的指標(biāo)；三是描述分布偏斜程度的指標(biāo)。統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的分類總量指標(biāo)（絕對數(shù)）—數(shù)量指標(biāo)相對指標(biāo)（相對數(shù)）—質(zhì)量指標(biāo)平均指標(biāo)（平均數(shù)）—質(zhì)量指標(biāo)絕對數(shù)?，F(xiàn)象的規(guī)模、水平一般以絕對數(shù)形式表現(xiàn)。相對數(shù)。相對數(shù)由兩個(gè)互相聯(lián)系的數(shù)值對比求得。常用的相對數(shù)包括：結(jié)構(gòu)相對數(shù)、動(dòng)態(tài)相對數(shù)、比較相對數(shù)、強(qiáng)度相對數(shù)、利用程度相對數(shù)、計(jì)劃完成相對數(shù)等。平均數(shù)。平均數(shù)反映現(xiàn)象總體的一般水平或分布的集中趨勢。第一節(jié)總量指標(biāo)和相對指標(biāo)一、總量指標(biāo)（一）總量指標(biāo)的概念和作用總量指標(biāo)是反映現(xiàn)象在具體時(shí)間、地點(diǎn)、條件下的總規(guī)模或總水平的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。總量指標(biāo)也稱為絕對指標(biāo)或絕對數(shù)。總量指標(biāo)在社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中的作用：①可以反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)和企業(yè)的基本情況，反映一個(gè)國家的基本國情和國力。②它是計(jì)算相對指標(biāo)、平均指標(biāo)等描述指標(biāo)的基礎(chǔ)。③是制定政策、編制計(jì)劃、實(shí)行社會(huì)經(jīng)濟(jì)管理的基本依據(jù)。（二）總量指標(biāo)的種類1、總量指標(biāo)按其反映的時(shí)間狀況不同，分為時(shí)期指標(biāo)和時(shí)點(diǎn)指標(biāo)。時(shí)期指標(biāo)反映現(xiàn)象在某一時(shí)期發(fā)展過程的總數(shù)量；時(shí)點(diǎn)指標(biāo)則反映現(xiàn)象在某一時(shí)刻上的狀況總量。2、總量指標(biāo)按計(jì)量單位不同，分為實(shí)物量指標(biāo)、價(jià)值量指標(biāo)和勞動(dòng)量指標(biāo)。實(shí)物量指標(biāo)是以所反映現(xiàn)象的實(shí)物單位為計(jì)量單位的總量指標(biāo)；價(jià)值量指標(biāo)是以貨幣為計(jì)量單位的總量指標(biāo)；勞動(dòng)量指標(biāo)是以勞動(dòng)時(shí)間為計(jì)量單位的總量指標(biāo)。時(shí)期指標(biāo)和時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的不同特點(diǎn)：①時(shí)期指標(biāo)的數(shù)值是連續(xù)計(jì)數(shù)的；時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的數(shù)值則是間斷計(jì)數(shù)的。②時(shí)期指標(biāo)具有累加性；時(shí)點(diǎn)指標(biāo)則不具有。③時(shí)期指標(biāo)數(shù)值的大小受時(shí)期長短的制約；時(shí)點(diǎn)指標(biāo)數(shù)值的大小與時(shí)點(diǎn)的間隔長短無直接關(guān)系。二、相對指標(biāo)（一）相對指標(biāo)的概念和作用相對指標(biāo)又稱相對數(shù)，它是兩個(gè)有聯(lián)系的指標(biāo)數(shù)值對比的結(jié)果。注：用來對比的兩個(gè)數(shù)既可以是絕對數(shù)，也可以是平均數(shù)和相對數(shù)。相對指標(biāo)的主要作用：①能具體表明社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的比例關(guān)系。②能使一些不能直接對比的事物找出共同比較的基礎(chǔ)。③相對指標(biāo)便于記憶、易于保密。相對指標(biāo)的表現(xiàn)形式：有名數(shù)、無名數(shù)。有名數(shù)是將對比的分子指標(biāo)和分母指標(biāo)的計(jì)量單位結(jié)合起來使用。無名數(shù)是一種抽象化的數(shù)值，一般分為系數(shù)、倍數(shù)、成數(shù)、百分?jǐn)?shù)、千分?jǐn)?shù)等。（二）相對指標(biāo)的種類和計(jì)算方法相對指標(biāo)通常分為：結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)、比例相對指標(biāo)、比較相對指標(biāo)、計(jì)劃完成相對指標(biāo)、強(qiáng)度相對指標(biāo)和動(dòng)態(tài)相對指標(biāo)。1、結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)

計(jì)算各組總量占總體或樣本總量的比重，用以反映總體或樣本結(jié)構(gòu)狀況的綜合指標(biāo)。1、結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)①可以反映總體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的特征。②通過不同時(shí)期相對數(shù)的變動(dòng)，可以看出事物的變化過程及其發(fā)展趨勢。③結(jié)構(gòu)相對數(shù)一般用百分?jǐn)?shù)表示。④各組結(jié)構(gòu)相對數(shù)之和等于100%或1。例：我國規(guī)模以上工業(yè)增加值的輕重工業(yè)構(gòu)成表2、比例相對指標(biāo)比例相對數(shù)是總體或樣本中不同部分加以對比，用以反映總體或樣本內(nèi)部的比例關(guān)系和協(xié)調(diào)關(guān)系的綜合指標(biāo)。例：我國規(guī)模以上工業(yè)增加值的輕重工業(yè)構(gòu)成表（2007年）3、比較相對指標(biāo)反映某一現(xiàn)象在同一時(shí)期內(nèi)或同一時(shí)點(diǎn)上不同空間下的不平衡程度的綜合指標(biāo)。比較相對數(shù)可以是兩個(gè)總量指標(biāo)對比，也可以是相對指標(biāo)或平均指標(biāo)對比。4、計(jì)劃完成相對數(shù)長期計(jì)劃的檢查：5、強(qiáng)度相對指標(biāo)概念：是性質(zhì)不同但又有內(nèi)在聯(lián)系的兩個(gè)絕對指標(biāo)的對比，是用以反映某現(xiàn)象的強(qiáng)度、密度或普遍程度的綜合指標(biāo)。強(qiáng)度相對數(shù)的兩種表示方法：(1)一般用無名數(shù)表示。(2)少數(shù)用百分?jǐn)?shù)或千分?jǐn)?shù)表示。注：強(qiáng)度相對數(shù)不是平均數(shù)，不是同類指標(biāo)數(shù)值之比。例：表現(xiàn)社會(huì)服務(wù)能力的強(qiáng)度相對數(shù)是用服務(wù)單位數(shù)與人口比較。表現(xiàn)現(xiàn)象普遍成都的強(qiáng)度相對數(shù)，如人口密度、公路網(wǎng)密度等。6、動(dòng)態(tài)相對指標(biāo)概念：是不同時(shí)期同一指標(biāo)數(shù)值之比，用以反映現(xiàn)象在不同時(shí)期發(fā)展變化程度的綜合指標(biāo)。動(dòng)態(tài)相對數(shù)的計(jì)算結(jié)果用百分?jǐn)?shù)或倍數(shù)表示。例：我國2001-2007年若干統(tǒng)計(jì)指標(biāo)資料相對指標(biāo)的種類和計(jì)算方法數(shù)據(jù)分布的特征描述數(shù)據(jù)分布的特征：一、集中趨勢:反映數(shù)據(jù)向其中心靠攏或聚集程度；二、離散趨勢:數(shù)據(jù)遠(yuǎn)離中心的趨勢；三、偏態(tài)和峰態(tài):偏態(tài)是對數(shù)據(jù)分布對稱性的度量；峰度是指數(shù)據(jù)分布的平峰或尖峰程度（形狀）。數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢(平均指標(biāo))(位置)離散趨勢(變異指標(biāo))(分散程度)偏態(tài)和峰度（形狀）數(shù)據(jù)分布的特征和測度數(shù)據(jù)的特征和測度分布的形狀集中趨勢離散程度眾數(shù)中位數(shù)均數(shù)離散系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差四分位差偏態(tài)峰度數(shù)據(jù)的特征和測度集中趨勢離散程度第二節(jié)平均指標(biāo)數(shù)據(jù)分布集中程度的描述指標(biāo)1.概念也稱平均指標(biāo)或平均數(shù)。用來反映標(biāo)志值的典型水平或標(biāo)志值分布的中心位置或集中趨勢2.作用反映變量分布的集中趨勢和一般水平?？捎脕肀容^同一總體在不同空間的發(fā)展水平可用來分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系是統(tǒng)計(jì)推斷中一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量。第二節(jié)平均指標(biāo)集中趨勢

(centraltendency)一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度測量集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢測度值集中趨勢指標(biāo)的分類數(shù)值平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)位置平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)及其他分位數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的基本公式（最基本指標(biāo)）：分為：簡單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：（一）簡單算術(shù)平均數(shù)把每項(xiàng)數(shù)據(jù)直接加總后除以它們的項(xiàng)數(shù)通常用于對未分組的數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式：Xi代表變量，代表算數(shù)平均數(shù)，n變量值個(gè)數(shù)，∑求和分組例題：采用簡單算術(shù)平均法計(jì)算，即全體隊(duì)員的平均年齡為（單位：周歲）：若采用簡單平均：分組數(shù)據(jù)不能簡單平均！因?yàn)楦鹘M變量值的次數(shù)不等?。ǘ┘訖?quán)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式：加權(quán)—為了體現(xiàn)各變量值輕重不同的影響作用，對各個(gè)變量值賦予不盡相同的權(quán)數(shù)（fi

）.（二）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)設(shè)分組后各組的變量值或組中值為：x1

，x2

，…，xn相應(yīng)的頻數(shù)為：f1，f2，…，fn正確的計(jì)算是：[例]表某班級40名同學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原始成績（單位：分）簡單算術(shù)平均數(shù)算式：表40名同學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)成績匯總表（單位：分）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)算式：55×2+65×8+75×16+85×10+95×4=3060權(quán)數(shù)（fi

，也稱權(quán)重）權(quán)數(shù)——指在計(jì)算總體平均數(shù)或綜合水平的過程中對各個(gè)數(shù)據(jù)起著權(quán)衡輕重作用的變量?？梢允墙^對數(shù)形式，也可以是比重形式（如頻率）表示。事實(shí)上比重權(quán)數(shù)更能夠直接表明權(quán)數(shù)權(quán)衡輕重作用當(dāng)權(quán)數(shù)完全相等（f1=f2=…=fn）時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就成了簡單算術(shù)平均數(shù)。一種是以絕對數(shù)表示，稱次數(shù)或頻數(shù)f；另一種是以比重表示，稱頻率。用頻率計(jì)算的公式和直接用次數(shù)計(jì)算的公式在內(nèi)容上是相等的，即變量數(shù)列的權(quán)數(shù)有兩種形式：（三）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)1、各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零。2、各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方之和等于最小值。算術(shù)平均數(shù)有兩點(diǎn)不足：1、算術(shù)平均數(shù)易受極端變量值的影響，使的代表性變小，而且受極大值的影響大于受極小值的影響。2、當(dāng)組距數(shù)列為開口組時(shí)，由于組中值不易確定，使的代表性也不很可靠。二、調(diào)和平均數(shù)1.集中趨勢的測度值之一；2.算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式；3.易受極端值的影響；4.有簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。原來只是計(jì)算時(shí)使用了倒數(shù)調(diào)和平均數(shù)又稱“倒數(shù)平均數(shù)”，它是各個(gè)變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)二、調(diào)和平均數(shù)【例】1、簡單調(diào)和平均數(shù)應(yīng)用條件：資料未分組，各變量值次數(shù)都是1。計(jì)算公式:舉例:一個(gè)人步行兩里，走第一里時(shí)速度為每小時(shí)候10里，走第二里時(shí)為每小時(shí)20里，則平均速度為：2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。計(jì)算公式：3、調(diào)和平均數(shù)特點(diǎn)：①如果數(shù)列中有一標(biāo)志值等于零，則無法計(jì)算；②它作為一種數(shù)值平均數(shù)，受所有標(biāo)志值的影響，它受極小值的影響大于受極大值的影響，但較之算術(shù)平均數(shù)，受極端值的影響要小。三、幾何平均數(shù)概念：幾何平均數(shù)又稱“對數(shù)平均數(shù)”，它是若干項(xiàng)變量值連乘積開其項(xiàng)數(shù)次方的算術(shù)根。（一）簡單幾何平均數(shù)在實(shí)際工作中，常用即幾何平均數(shù)是各個(gè)變量值對數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的反對數(shù)。

表6某工業(yè)產(chǎn)品產(chǎn)量平均發(fā)展速度計(jì)算表（二）加權(quán)幾何平均數(shù)當(dāng)各個(gè)變量值的次數(shù)（權(quán)數(shù)）不相同時(shí)，應(yīng)采用加權(quán)幾何平均數(shù)，其計(jì)算公式為：將公式兩邊取對數(shù)，則為表7某投資銀行年平均利率計(jì)算表幾何平均數(shù)特點(diǎn)：①如果數(shù)列中有一個(gè)標(biāo)志值等于零或負(fù)值，就無法計(jì)算；②受極端值影響較算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)小，故較穩(wěn)健。四、中位數(shù)和其他分位數(shù)（一）中位數(shù)1、概念：現(xiàn)象總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列，居于中間位置的那個(gè)標(biāo)志值就是中位數(shù)。Me50%50%2、特點(diǎn)：①集中趨勢的測度值之一；②排序后處于中間位置上的值；③不受極端值的影響；④主要用于定序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于定類數(shù)據(jù)；⑤各變量值與中位數(shù)的離差絕對值之和最小。3、中位數(shù)位置的確定未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：①未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(計(jì)算公式)4、中位數(shù)的計(jì)算數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(5個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù): 2422212620中位數(shù)Me=

22

排序:

2021222426

位置:

123

45數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(6個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):105 91268排序:56891012位置: 123456②由分組資料確定中位數(shù)（例）方法：計(jì)算各組的累計(jì)次數(shù)(向上累計(jì)次數(shù)或向下累計(jì)次數(shù))根據(jù)中位數(shù)位置找出中位數(shù)。結(jié)果：中位數(shù)為第40名的日產(chǎn)量[24件]根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組采用下列近似公式計(jì)算該公式假定中位數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)均勻分布③由組距式分組計(jì)算中位數(shù)L:中位數(shù)所在組下限；Sm-1前一組累計(jì)頻數(shù)；fm本組頻數(shù)；h組距數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(例)【例】根據(jù)表3-5中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)中位數(shù)的特點(diǎn)：①是一種位置平均數(shù)，不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。②難獲得數(shù)據(jù)資料時(shí)，某些不具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可以使用中位數(shù)作為這種數(shù)據(jù)的平均值。③各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對值之和為最小值。④不能進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，很少用于高級統(tǒng)計(jì)分析。。（二）其他分位數(shù)中位數(shù)是從中間點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)等分為兩部分。與中位數(shù)類似的還有：四分位數(shù)（quartile）十分位數(shù)（decile）百分位數(shù)（percentile）等。它們分別是用3個(gè)點(diǎn)、9個(gè)點(diǎn)和99個(gè)點(diǎn)將數(shù)據(jù)四等分、10等分和100等分后各分位點(diǎn)上的值。四分位數(shù)①排序后處于25%和75%位置上的值。②不受極端值的影響③主要用于定序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于定類數(shù)據(jù)QLQMQU25%25%25%25%QLQMQU25%25%25%25%四分位數(shù)(位置的確定)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)原始數(shù)據(jù):

2321 3032 282526QL=23QU=30

排序:

21232526283032

位置:

1 234567數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(計(jì)算公式)上四分位數(shù):

下四分位數(shù):

數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(6個(gè)（N+1不能被4整除）數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):

2321 30 282526排序:

212325262830位置:

1

2

3

4 56QL=21+0.75(23-21)=

22.5QU=28+0.25(30-28)

=28.5數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(計(jì)算示例)QL位置＝50/4＝12.5QU位置＝3×50/4＝37.5【例】根據(jù)表3-5中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的四分位數(shù)