第四章 持續(xù)期與凸性

第四章持續(xù)期與凸性債券風(fēng)險中，價格風(fēng)險是非常重要的內(nèi)容。衡量價格風(fēng)險的主要指標(biāo)是持續(xù)期和凸性持續(xù)期可以衡量收益率曲線水平與非水平變動下，債券價格的變化。凸性可以彌被持續(xù)期不足，更精確地衡量債券價格風(fēng)險。這兩個指標(biāo)可以廣泛地應(yīng)用在組合免疫和避險上。第一節(jié)影響債券價格—利率敏感性的因素一、利率與債券價格關(guān)系債券價格與市場利率相反關(guān)系，利率越高，債券價格越低，利率越低，債券價格越高。如下圖所示：到期收益率價格P2P1y2y1二、基點(diǎn)價值與價格波動的收益率價值為分析債券價格與到期收益率之間的關(guān)系，人們建立了基點(diǎn)價值與價格波動收益率價值兩個概念。1.基點(diǎn)價值。指到期收益率變動一個基點(diǎn)所對應(yīng)的債券價格變化額。一個基點(diǎn)是0.01%例：一個債券期限為5年，票面利率為9%，半年支付一次息，價格為100元，求該債券的基點(diǎn)價值。2.價格波動收益率。指債券價格發(fā)生一定金額變化（在美國一般指一美元的1/32）所對應(yīng)的到收期收益率變化幅度。例：一個債券期限為5年，票面利率為9%，半年支付一次息，價格為100元，求該債券價格波動的收益率價值。三、影響價格—利率敏感性的主要因素1.償還期：假定其它因素不變，償還期越長，價格—利率敏感性越大，但隨著償還期的延長，敏感性增大的速度下降。2.票面利率：假定其它因素不變，票面利率越低，價格—利率敏感性越大。3.市場利率。假定其它因素不變，市場利率越低，價格—利率敏感性越大。但市場利率同樣幅度的上升與下降，引起債券價格波動幅度卻是不相同的。利率下降引起債券價格上升的幅度，要高于同樣幅度的利率上升引起的債券價格下降的幅度。第二節(jié)持續(xù)期duration一、金額持續(xù)期（一）定義與數(shù)學(xué)解釋、金額持續(xù)期是指市場利率發(fā)生1個百分?jǐn)?shù)的變化，債券價格變化的金額。下面是持續(xù)期公式的推導(dǎo)過程：1.如果到期收益率曲線呈水平狀，那么債券價格如果到期收益率發(fā)生微小變化，債券價格變化為：2.如果到期收益率曲線不是水平狀，債券價格為：如果到期收益率有一個微小的變化，債券價格的變化應(yīng)該是債券價格的全導(dǎo)數(shù)：如果到期收益率曲線是水平移動的，即各期收益率都波動dy，那么：3.把1/(1+y)當(dāng)作一個共同因子，從上式提取出來。這不是一個嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，而是求取債券價格變化的近似等式。4.我們可以用金額持續(xù)期來反映市場利率變化一個百分點(diǎn)引起的債券價格變化數(shù)額：5.由得：PS：為了與債券價格計算公式相匹配，債券的金額持續(xù)期的計算更應(yīng)該為：注意：上式中的dt不是積分，而是折現(xiàn)因子。二、持續(xù)期幾何解釋對于價格-到期收益率曲線，當(dāng)利率由y1下降到y(tǒng)2時，債券價格由P1升到P2，用持續(xù)到期收益率價格y1y2P1P2P’2期計算，則為P‘2。當(dāng)市場利率變化不大時，兩者相差不大，當(dāng)市場利率變化較大時，兩者相差會較大。例：計算金額持續(xù)期：8年債券,面值100,票面利率10%,1年支付一次。期限(年)到期收益率折現(xiàn)因子現(xiàn)金流現(xiàn)值t倍現(xiàn)值14.5056%0.9569109.579.5724.6753%0.9127109.1318.2534.8377%0.8679108.6826.0444.9927%0.8229108.2332.9255.1404%0.7783107.7838.9265.2807%0.7344107.3444.0675.4136%0.6914106.9148.4085.5391%0.649711071.47571.74價值129.11789.89金額持續(xù)期7.9如果半年付款一次，注意利率的變化。例：一個期限2面值100利率6%債券，一年付息兩次，到期收益率如表所示。計算金額持續(xù)期。期限(年)到期收益率折現(xiàn)因子現(xiàn)金流現(xiàn)值t倍現(xiàn)值14.4181%0.978432.942.9424.5056%0.956432.875.7434.5914%0.934232.80804144.6753%0.911710393.91375.62價值102.51392.70金額持續(xù)期3.92注意：第一期和第二期折現(xiàn)因子是這樣得來的一年支付兩次的金額持續(xù)期二、比率持續(xù)期利率波動一個百分點(diǎn)對債券價格波動幅度所造成的影響，需要建立債券價格波動率這一指標(biāo)，這一指標(biāo)可用比率持續(xù)期來Ω表示。由于：定義例：上例中，債券的金額持續(xù)期為3.92，債券的價格為102.51，則其比率持續(xù)期為：3.92/102.51=3.82%即到期收益率曲線移動一個百分點(diǎn)，債券價格將發(fā)生3.82%的波動。三、修正持續(xù)期修正持續(xù)期是在比率持續(xù)期的基礎(chǔ)上考慮短期利率的影響。定義為：如果半年支付一次利息，則例：一個債券的金額持續(xù)期為15.5，債券的價格為144.46，1年期利率為4.5056%，其修正持續(xù)期為：先計算比率持續(xù)期：然后計算修正持續(xù)期：四、有效持續(xù)期有效持續(xù)期的定義為：其中，P-為到期收益率下降Δy時債券價格P+為到期收益率上升Δy時債券價格P為債券目前價格Δy為到期收益率波動的基點(diǎn)。例：一個20年期債券，票面利率9%，一年支付一次利息，債券非含權(quán)。債券價格為150，到期收益率為6%。到期收益率分別上升和下降20基點(diǎn)時，債券價格分別為145和156。該債券的有效持續(xù)期。五、組合的持續(xù)期（一）組合的金額持續(xù)期當(dāng)?shù)玫礁鞣N債券金額的持續(xù)期后，可以用下面的方法求得一個組合的金額持續(xù)期Ni為第i種證券投資數(shù)量，Δi持續(xù)期為第i種證券金額持續(xù)期（二）組合的比率持續(xù)期當(dāng)?shù)玫礁鞣N債券比率持續(xù)期后，可以用下面的方法求得一個組合的比率持續(xù)期ωi為第i種證券投資比重，Ωi為第i種證券比率持續(xù)期當(dāng)堂作業(yè)11.有一個10年期付息票債券，面值1000元，票面利率為10%，一年付息一次，到到期收益率如下：求其金額持續(xù)期。期限12345利率%4.54.64.84.95.1期限678910利率%5.25.45.55.65.7期限到期收益率折現(xiàn)因子現(xiàn)金折現(xiàn)t倍折現(xiàn)10.0450.95693810095.6937895.6937820.0460.9139810091.39799182.79630.0480.86879310086.87927260.637840.0490.82584410082.58441330.337650.0510.77980610077.98057389.902960.0520.73774410073.77438442.646370.0540.69201510069.20153484.410780.0550.65159910065.15989521.279190.0560.61238510061.23853551.1467100.0570.5744471100631.89196318.919合計

1335.8029577.77金額持續(xù)期

95.78當(dāng)堂作業(yè)計算題：2，32題計算：利用有效持續(xù)期來計算利用有效持續(xù)期，構(gòu)建下式：書中答案為：1083.先計算金額持續(xù)期：債券的價格第三節(jié)凸性一、金額凸性（一）定義與由來凸性是債券價格變化曲線的曲度。即利率一個微小變化引起的債券持續(xù)期的變化比率。凸性直接來自泰勒展開式：如果只取等式前兩項，那么債券價格變化近似為：1.當(dāng)?shù)狡谑找媛是€是水平時，債券價格為所以：定義金額凸性因此因此1.當(dāng)?shù)狡谑找媛是€是水平時，債券價格為如果定義y為短期利率,可以有：定義金額凸性因此因此（二）金額凸性的經(jīng)濟(jì)意義金額凸性的經(jīng)濟(jì)含義是由于凸性特征的存在，引起債券價格的額外變化。對下例所做經(jīng)濟(jì)解讀為：該債券的金額持續(xù)期為7.9。經(jīng)濟(jì)含義是如果收益率曲線水平移動一個百分點(diǎn)，債券價格將波動7.9。該債券的金額凸性為0.6417，說明如果收益率曲線變動1個百分點(diǎn)，則除變動7.9外，債券價格還要變動0.32例：計算金額凸性：8年債券,面值100,票面利率10%,1年支付一次。期限到期收益率折現(xiàn)因子現(xiàn)金流現(xiàn)值t倍現(xiàn)值t(t+1)倍現(xiàn)值14.5056%0.9569109.579.5719.1424.6753%0.9127109.1318.2554.7534.8377%0.8679108.6826.04104.1644.9927%0.8229108.2332.92164.655.1404%0.7783107.7838.92233.5265.2807%0.7344107.3444.06308.4275.4136%0.6914106.9148.40387.285.5391%0.649711071.47571.745145.66價值129.11789.896417.45金額持續(xù)期7.90.6417（三）一年兩次或多次付息的情況如果一年付息兩次的付息票債券，其金額凸性計算為：定義金額凸性為：如果一年付息多次的付息票債券，其金額凸性計算為：定義金額凸性為：（四）凸性的作用使得價格波動計算更精確。二、比率凸性指由于凸性的作用，在市場利率波動一個百分點(diǎn)時債券價格發(fā)生多少個百分點(diǎn)的波動。計算公式有：其中n表示一年付息的次數(shù)。三、修正凸性考慮了短期利率大小對比率凸性的影響。其中n表示一年付息的次數(shù)。四、有效凸性有效凸性的定義為：其中，P-為到期收益率下降Δy時債券價格P+為到期收益率上升Δy時債券價格P0為債券目前價格Δy為到期收益率波動的基點(diǎn)。五、組合的凸性（一）組合的金額凸性當(dāng)?shù)玫礁鞣N債券金額凸性后，可以用下面的方法求得一個組合的金額凸性Ni為第i種證券投資數(shù)量，

Γi為第i種證券金額凸性（二）組合的比率凸性當(dāng)?shù)玫礁鞣N債券比率凸性后，可以用下面的方法求得一個組合的比率凸性ωi為第i種證券投資比重，Γi.Ratio為第i種證券比率凸性當(dāng)堂作用計算金額凸性：4年債券,面值100,票面利率6%,1年支付一次。到期收益率如下表所示期限1234利率4.5%4.6%4.8%5%例：計算金額凸性：8年債券,面值100,票面利率10%,1年支付一次。期限到期收益率折現(xiàn)因子現(xiàn)金流現(xiàn)值t倍現(xiàn)值t(t+1)倍現(xiàn)值14.5%0.956965.74165.741611.483324.6%0.914065.483910.967832.903334.8%0.868865.212815.638362.553145%0.822710687.2165348.82581744.1292合計103.6447381.17351851.0688金額持續(xù)期3.81金額凸性0.19第四節(jié)持續(xù)期免疫與避險一、平衡點(diǎn)-持續(xù)期平衡點(diǎn)指債券投資者面臨的價格風(fēng)險與再投資收益率風(fēng)險剛好相等，因而投資者所獲得的收益基本穩(wěn)定，而不管利率如何發(fā)生變化。也就是說，債券在其期限內(nèi)，存在一個時間點(diǎn)，不論再投資收益率如何變化，在此時間點(diǎn)所獲收益基本穩(wěn)定。持續(xù)期即是平衡點(diǎn)？例4-19：在0時點(diǎn)上購買票面利率7%的債券，價值1000元。該債券期限10年，一年支付利息一次。該債券比率持續(xù)期為7.5年。你的投資期為7.5年。在時點(diǎn)7.5，你累積的財富將大致相等，而不管在0時點(diǎn)市場利率發(fā)生了怎樣的變化。1.如果在零時點(diǎn)利率為7%:2.如果在債券購買(零時點(diǎn))后利率立即降到4%3.如果在債券購買(零時點(diǎn))后利率立即上升到10%為什么?價格風(fēng)險被再投資風(fēng)險抵銷二、債券免疫（一）定義債券免疫是指資產(chǎn)和負(fù)債的現(xiàn)金流量相吻合。在不特別限制投資選擇的情況下，免疫目標(biāo)比較容易實現(xiàn)。通常情況下，免疫的主體包括退休基金、壽險公司、商業(yè)銀行等。（二）步驟免疫通常有以下四個步驟1.找到負(fù)債的持續(xù)期2.選擇一個組合，該持續(xù)期等于前面負(fù)債的持續(xù)期。3.選擇每個證券投資的數(shù)量，使得組合的現(xiàn)值等于負(fù)債的現(xiàn)值。4.當(dāng)市場利率發(fā)生變化，或者負(fù)債償還，組合中短期債券到期等情況發(fā)生后，要調(diào)整投資組合。投資者可以從修正持續(xù)期、比率持續(xù)期、金額持續(xù)期出發(fā)，來尋找免疫的策略。但無論利用哪種持續(xù)期，資產(chǎn)與負(fù)債持續(xù)期的定義要保持一致。例4-13:單一負(fù)債的免疫。假定你10年后必須償還1931元，到期收益率是水平的，為10%。負(fù)債的現(xiàn)值。負(fù)債的持續(xù)期=10。有一20年期債券，面值1000，票面利率7%(一年支付)，價格745，持續(xù)期大約為10年。投資者可以選擇它實現(xiàn)免疫。因為當(dāng)利率變化后，這一債券價值可以足夠滿足負(fù)債價值。即投資者可以隨時賣掉手里債券，償還負(fù)債。見下表收益率發(fā)生變化后情況收益率債券價值負(fù)債價值414091305611151078890289510745745126276221453652116466438例：4-21：用債券組合免疫一組負(fù)債。找到最高到期收益率的債券組合來免疫一組已知負(fù)債一組負(fù)債：第1年年底100；第2年年底200；第3年年底50。第一步:根據(jù)到期收益率曲線計算出負(fù)債的現(xiàn)值和持續(xù)期，從而得到免疫曲線（immunizationcurve）計算負(fù)債現(xiàn)值與持續(xù)期IRRPV(比率)持續(xù)期修正持續(xù)期6%$314.321.8331.7297%$308.961.8301.7108%$303.751.8261.6919%$298.691.8221.67210%$293.761.8181.653第二步:分析哪些債券可以用來構(gòu)建組合,對于每一種債券,都計算出到期收益率和持續(xù)期

利率期限$100面值IRR持續(xù)期修正持續(xù)期

81101.416.5%1.9396.72100.736.3%1.9371.82295107.347.2%4.2683.9818.58102.878.0%6.14755.692第三步:將債券和免疫曲線畫出

(修正持續(xù)期vs.到期收益率).本圖可以告訴我們哪種債券組合可以產(chǎn)生最大的IRR.在本例中,1年期債券與8年期債券的組合或許會產(chǎn)生最高的到期收益率.也可以采用其他組合.你建議哪個組合?剩下的事情是決定每種債券投資的數(shù)量,使得:1)組合的現(xiàn)值等于負(fù)債的現(xiàn)值.2)持續(xù)期相等.根據(jù)已知的到期收益率,負(fù)債修正持續(xù)期大約為1.7年.1年期和8年期債券的組合權(quán)重為:X(0.939)+(1–X)(5.692)=1.7這意味著84%投資于1年期債券,而16%投資于8年期債券.三、避險（一）定義指利用一種證券給另一種證券的價格變化提供保護(hù)。（二）利用持續(xù)期避險例4-24。做市商的資產(chǎn)組合的避險一公司債券做市商在某交易日末尾擁有5年期公司債券面值100萬，票面利率6.9%（半年支付），價格為平價。該債券流動性很差，因此出售該債券會遭受很大的損失。而隔夜持有該債券也有很大風(fēng)險，因為如果市場利率上升，該債券價格會下降。替代出售該公司債券的做法有不少，其中之一是賣空流動性很強(qiáng)的國債。市場中有下面兩種債券:10年期，利率8%的國債，價格P=1,109.0（面值$1,000）3年期，利率6.3%的國債，價格P=1,008.1（面值$1,000）問題：a.為了避險，應(yīng)該賣空多少10年期國債？如果賣空3年期國債，賣空多少？b.如果所有債券到期收益率一夜之間上升1%，該做市商在了結(jié)自己的賣空頭寸之后，自己的交易結(jié)果如何？c.如果他要賣空這兩種國債，那么10年期和3年期國債各賣空多少？為了回答(a)，需要進(jìn)行如下操作：1.找到被避險債券的修正持續(xù)期2.找到賣空債券的修正持續(xù)期3.找到避險系數(shù)（hedgeratios）對于5年期公司債券而言，票面利率6.9%，平價交易，因此y=6.9%，修正久期Dm=4.1688對于10年期國債而言，票面利率8%，價格1109.0，y=6.5%，修正久期Dm=7.005對于3年期國債而言，票面利率6.3%，價格1008.1，y=6.00%，修正久期Dm=2.700設(shè)10年期國債賣空數(shù)量x：

x×7.005=100×4.1688；x=593,861.5設(shè)3年期國債賣空數(shù)量y：y×2.7=100×4.1688；y=1544000(b):如果全部債券的到期收益率一夜之間都上升了1%,看一看做市商了結(jié)賣空頭寸后的交易結(jié)果5年期公司債券收益率y=7.9%，價格下降到959.344。投資者損失：100×(1-0.959344)=$40,65610年期國債y=7.5%，價格下降到1034.74，為原來的93.3%(1034.74/1109=.933)。賣空盈利為：

(1-.933)(593,861.5)=$39,765.73年期債券y=7%，價格下降到981.35，為原來97.35%(981.35/1,008.1=.97346)，賣空盈利為：

(1-.97346)(1,540,720)=$40,891c.如果他要賣空這兩種國債，那么10年期和3年期國債各賣空多少？為了避險,被避險公司債券的價值應(yīng)該等于避險債券價值,而且資產(chǎn)和負(fù)債的持續(xù)期應(yīng)該相等:x(7.005)+(1-x)(2.7)=4.1688X=34.12%1-x=65.78%x為10年期國債賣空的比重四、持續(xù)期與凸性在投資組合風(fēng)險管理中的應(yīng)用（一）其他因素都一樣，凸性被認(rèn)為可以作為一個有益因素，對投資者是有價值的。固定收益證券管理中存在著努力實現(xiàn)組合凸性最大化動機(jī)。那么如何獲得？（二）Barbellsvs.Bullets策略通常認(rèn)為，在其他因素不變的情況下，一次性支付（Bulletpayment）的凸性要小于杠鈴式—現(xiàn)金流量兩頭分布（Barbellpayments）。因此Barbell會給投資者帶來收益。（三）給定到期收益率和修正持續(xù)期，票面利率越低，凸性越小。例4-25:Bulletvs.Barbell策略有以下國債，均為平價交易:BondCoupon(%)Maturity(yrs)YieldsDmΓmA8.558.54.0019.81B9.5209.58.88124.2C9.25109.256.4355.451.兩種國債組合策略:（1）只投資于C(bulletstrategy)（2）投資于A和B，組合的金額持續(xù)期等于C.也就是A投資50.2%，B投資49.8%。因為：50.2%×

4.00+49.8%×

8.88=6.432.組合中存在收益與凸性的均衡組合經(jīng)理期望在市場利率變化后，barbell表現(xiàn)得好一些，所以該經(jīng)理或許愿意舍棄一點(diǎn)收益率，而獲得較高的凸性。

bullet的到期收益率為9.25%；假定barbell的到期收益率是兩個債券的加權(quán)平均，barbell的到期收益率為:0.502×8.5%+0.498×9.5%=8.998%在本例中，該經(jīng)理為獲得凸性已經(jīng)舍棄了一些收益率。Bulletvs.Barbell比較利率波動.水平移動變平緩變陡

-5.0-7.19-10.69-3.89-4.0-4.00-6.88-1.27-3.5-2.82-5.44-0.35-2.0-0.59-2.551.25-1.00.06-1.541.570.00.25-1.061.482.0-0.31-1.180.492.75-0.73-1.46-0.053.00-0.88-1.58-0.243.75-1.39-1.98-0.85變陡：意思是5年期到期收益率比水平移動少漲25個基點(diǎn),而20年期到期收益率比水平移動多漲25個基點(diǎn)。上表說明的是在6個月的持有期間，bullet收益金額減去barbell收益金額后的結(jié)果。barbell策略不是永遠(yuǎn)好于bullet,為什么?到期收益率曲線水平、變陡、變緩三種情況下，bullet相對于barbell的優(yōu)劣。變緩：意思是5年期到期收益率比水平移動多