概率論第一章 隨機(jī)事件及其概率

課程：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

主講教師:李春華e-mail:1530405308@電話：563216辦公室:西2(110)教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（第三版）韓明等編同濟(jì)大學(xué)出版社參考書：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教材及習(xí)題解答（第四版）盛驟等編高等教育出版社在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象向空中拋一物體必然落向地面；水加熱到100℃必然沸騰；異性電荷相吸引；放射性元素發(fā)生蛻變；確定現(xiàn)象在試驗(yàn)或觀察前無(wú)法預(yù)知出現(xiàn)什么結(jié)果隨機(jī)現(xiàn)象拋一枚硬幣,結(jié)果可能正面(或反面)朝上；向同一目標(biāo)射擊,各次彈著點(diǎn)都不相同；某地區(qū)的日平均氣溫；擲一顆骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；自然界現(xiàn)象概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科。學(xué)科簡(jiǎn)介概率統(tǒng)計(jì)是研究什么的？隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性一.確定性數(shù)學(xué)---初等數(shù)學(xué)、微積分、線性代數(shù)等二.隨機(jī)數(shù)學(xué)---以概率統(tǒng)計(jì)為代表

1.賭博人口統(tǒng)計(jì)出生率性別等

2.非確定性現(xiàn)象:拋硬幣擲骰子發(fā)大水等

3.研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性---概率論

4.研究怎樣有效地收集整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，對(duì)所考察的問(wèn)題作出推斷或預(yù)測(cè)，為決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議---數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)是一門“將不定性數(shù)量化”的課程.1．兩人各出100元賭博，擲一枚硬幣若干次，（正面朝上甲贏，背面朝上乙贏）先贏五次者勝.若目前四比一，因故停止，問(wèn)如何分配200元？2．某商場(chǎng)計(jì)劃“五一”在戶外搞一次促銷活動(dòng)，統(tǒng)計(jì)資料表明，如果在商場(chǎng)內(nèi)搞促銷活動(dòng)，可獲經(jīng)濟(jì)效益3萬(wàn)元；在商場(chǎng)外搞促銷活動(dòng)，如果不遇雨天可獲經(jīng)濟(jì)效益12萬(wàn)元，遇到雨天則帶來(lái)經(jīng)濟(jì)損失5萬(wàn)元；若前一天的天氣預(yù)報(bào)稱當(dāng)日有雨的概率為40%，商場(chǎng)應(yīng)如何選擇促銷方式？研究方法：

觀察、試驗(yàn)、調(diào)查；收集、整理、處理數(shù)據(jù)并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。調(diào)查是概率統(tǒng)計(jì)研究方法的基石。3．某食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)凈重為345克的午餐肉罐頭，由于隨機(jī)性每個(gè)罐頭的凈重都有差別，現(xiàn)在從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10個(gè)，稱其凈重?cái)?shù)據(jù)如下：344，346，345，342，340，338，344，343，344，343，通過(guò)樣本推斷生產(chǎn)是否正常？17世紀(jì)—博弈、機(jī)會(huì)游戲引發(fā)概率啟蒙研究18世紀(jì)—注意到天文觀測(cè)、誤差理論、產(chǎn)品檢查等問(wèn)題與機(jī)會(huì)游戲相似之處，導(dǎo)致用頻率（統(tǒng)計(jì)）研究概率19世紀(jì)—引入數(shù)學(xué)分析方法推動(dòng)概率深入研究20世紀(jì)—用集合論（測(cè)度論）創(chuàng)建概率公理化，開創(chuàng)統(tǒng)計(jì)學(xué)21世紀(jì)—統(tǒng)計(jì)方法成為隨機(jī)建模的基本工具應(yīng)用遍及所有科技領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門

和專業(yè)聯(lián)系：國(guó)貿(mào)專業(yè)屬于經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)科范疇

1.核心必修課，考研必修課2.作為后續(xù)課程的基礎(chǔ)（如統(tǒng)計(jì)學(xué)、證券投資、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等）3.貿(mào)易工作中有大量的數(shù)據(jù)需要分析，指導(dǎo)決策寫在前面生活中最重要的問(wèn)題,其中占大多數(shù)實(shí)際上只是概率的問(wèn)題。

——拉普拉斯“概率論是生活真正的領(lǐng)路人,如果沒(méi)有對(duì)概率的某種估計(jì),那么我們就寸步難行,無(wú)所作為.

——英國(guó)的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯在終極的分析中，一切知識(shí)都是歷史。在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)。在理性的世界里，所有的判斷都是統(tǒng)計(jì)學(xué)。

——C.R勞

1、課堂主講----構(gòu)建知識(shí)框架2、課程自主學(xué)習(xí)(自修)----理解鞏固3、課程研討項(xiàng)目----“學(xué)以致用”注：①期中、期末考試②課程項(xiàng)目研討③作業(yè)出勤--抽查

課程教學(xué)組織及考核第一講一、隨機(jī)事件二、頻率及概率第一章隨機(jī)事件與概率

有如下特點(diǎn):（可重復(fù)性）可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（可觀察性）試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但能明確所有的結(jié)果；3.（不確定性）試驗(yàn)前不能確定出現(xiàn)哪種結(jié)果。

隨機(jī)試驗(yàn)（Experiment）如何研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性？

E1：拋一枚硬幣，觀察正面H（Heads）、反面T

（Tails）出現(xiàn)的情況。

E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況。

E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。

E4：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。

E5：觀察一個(gè)網(wǎng)站一天內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)。

E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命。

E7：記錄某地一晝夜的最低溫度和最高溫度。S1:{H,T}S2:{HHH,HHT,HTH,HTT, THH,THT,TTH,TTT}S3:{0,1,2,3}S4:{1,2,3,4,5,6}S5:{0,1,2,3……}S6:{t|t0}S7:{(x,y)|T0xyT1}樣本空間（S）隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合；樣本點(diǎn)：樣本空間的元素，即E的每個(gè)結(jié)果；隨機(jī)事件:

樣本空間

S的子集稱為

E的隨機(jī)事件；基本事件:

有一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集；必然事件:

樣本空間S本身；不可能事件:空集。樣本空間(Space)和隨機(jī)事件我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)．對(duì)應(yīng)于集合例如：S2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}

表示“第一次出現(xiàn)的是正面”

S6中事件B1={t|t1000}

表示“燈泡是次品”

事件B2={t|t1000}

表示“燈泡是合格品”

事件B3={t|t1500}

表示“燈泡是一級(jí)品”10

包含關(guān)系

事件間的關(guān)系與運(yùn)算（對(duì)應(yīng)于集合）20

和事件

30積事件

40

差事件50

互不相容60

對(duì)立事件SAB用事件發(fā)生觀點(diǎn)解釋

記號(hào)

概率論

集合論

S樣本空間,必然事件空間（全集）

φ不可能事件空集

樣本點(diǎn)（基本事件）元素

AB

A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生A是B的子集

AB=φA與B不能同時(shí)發(fā)生A與B無(wú)相同元素

AB

A與B至少有一發(fā)生A與B的并集

AB

A與B同時(shí)發(fā)生

A與B的交集

AB

A發(fā)生且B不發(fā)生A與B的差集

A不發(fā)生、對(duì)立事件發(fā)生A的余集

差化積隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律交換律:結(jié)合律:分配律:

DeMorgan定律:A,B,C

都不發(fā)生—

A,B,C

不都發(fā)生—（1）第三次未中獎(jiǎng)（2）第三次才中獎(jiǎng)（3）恰有一次中獎(jiǎng)（4）至少有一次中獎(jiǎng)（5）不止一次中獎(jiǎng)（6）至多中獎(jiǎng)二次§1.2隨機(jī)事件的概率在生活當(dāng)中，經(jīng)常接觸到事件的概率，比如：

明天降水

概率為30%

，某強(qiáng)隊(duì)對(duì)弱隊(duì)贏球

的概率為80%

概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量1、了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險(xiǎn)金額2、了解顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員3、了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.性質(zhì):定義：在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA（頻數(shù)），比值稱為事件A發(fā)生的頻率，記成fn(A)

。一:頻率的定義和性質(zhì)

3.若事件A1,A2互不相容，則頻率的穩(wěn)定性:當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)，事件的頻率常在某個(gè)確定的數(shù)字附近擺動(dòng)試驗(yàn)者n

nA

fn(A)德·莫根蒲

豐K·皮爾遜K·皮爾遜204840401200024000106120486019120120.51810.50690.50160.5005歷史上不少著名學(xué)者做過(guò)拋擲硬幣試驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：實(shí)踐證明：在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性．頻率的穩(wěn)定性概率的公理化定義定義

設(shè)

E是隨機(jī)試驗(yàn)，S

是它的樣本空間，對(duì)于

E

的每一個(gè)事件A

賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為稱為事件A

的概率，要求滿足下列條件：

概率的性質(zhì)與推廣SABSBASABSA練習(xí):甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件第二講一、古典概型二、條件概率及乘法公式三、事件的獨(dú)立性

生活中有這樣一類試驗(yàn)，它們的共同特點(diǎn)是：

樣本空間的元素只有有限個(gè)；

每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。

一.

等可能概型（古典概型）

設(shè)S={e1,e2,…en},由古典概型的等可能性，若事件A包含k個(gè)基本事件，即A={e1,e2,…ek},

則有：

例1將一枚硬幣拋擲三次。事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”事件A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”，求解：屬于古典概型，

樣本空間S2={HHH,

HHT,HTH,THH,

HTT,THT,TTH,TTT}

A1={HTT,THT,TTH}練習(xí)：一部10卷文集，將其按任意順序排放在書架上,試求其恰好按先后順序排放的概率．

例如：若一個(gè)男人有三頂帽子和兩件背心，問(wèn)他可以有多少種打扮？可以有種打扮乘法原理加法原理排列組合知識(shí)例2：一口袋裝有

6只球，其中

4只白球、2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)的取一只?？紤]兩種取球方式（放回抽樣和不放回抽樣）。分別就兩種方式求：

1）取到的兩只都是白球的概率；

2）取到的兩只球顏色相同的概率；

3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。

解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個(gè)基本事件。設(shè)A=“

取到的兩只都是白球”

B=“

取到的兩只球顏色相同”，C=“

取到的兩只球中至少有一只是白球”。有放回抽取:

無(wú)放回抽取:例3：在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)的取一個(gè)數(shù)，問(wèn)取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解：設(shè)A為事件“取到的整數(shù)能被6整除”B為“取到的整數(shù)能被8整除”AB

為“既被6整除又被8整除”=“能被24整除”

例4：（分球入盒問(wèn)題）

將

n

只球隨機(jī)的放入N(Nn)

個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）。解：將

n

只球放入

N個(gè)盒子中去,共有而每個(gè)盒子中至多放一只球, 共有練習(xí)：

求國(guó)貿(mào)13-1班40人至少有2人生日相同的概率.解：所求概率為考慮其對(duì)立事件：即生日全不相同總的可能分布數(shù)：36540“生日全不相同”的可能分布數(shù)：365！/（365-40）！“在一個(gè)有64人的班級(jí)里，至少有兩人生日相同”的概率為99.7%。2、確定概率的幾何方法---幾何概型若①樣本空間充滿某個(gè)區(qū)域，其度量(長(zhǎng)度、面積、體積)為S；

②落在中的任一子區(qū)域A的概率，只與子區(qū)域的度量SA有關(guān)，而與子區(qū)域的位置無(wú)關(guān)(等可能的).

則事件A的概率為:說(shuō)明：當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概率.共同點(diǎn)是等可能例2

用隨機(jī)試驗(yàn)的方法求任何一個(gè)復(fù)雜圖形的面積

例1（會(huì)面問(wèn)題）甲、乙兩人約定在8時(shí)到9時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者等候另一個(gè)人20分鐘，過(guò)時(shí)即可離去。求兩人能會(huì)面的概率。

幾何方法的例子在解決許多概率問(wèn)題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.引例：某廠有甲，乙兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種型號(hào)的產(chǎn)品，結(jié)果如下表，從這100件產(chǎn)品任取一件，設(shè)A表示取到合格品，B表示取到甲車間產(chǎn)品，求P（A），P（B），P（AB），P(A|B).二:條件概率解條件概率的計(jì)算方法（1）可用縮減樣本空間法（2）用定義與有關(guān)公式分析發(fā)現(xiàn)

2.性質(zhì)：（條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件）即(1)對(duì)于任一事件B,有P(B|A)≥0;(2)P(S|A)=1;因此,概率中的一些重要結(jié)果都適用于條件概率.1.定義:設(shè)事件A,B,且P(A)>0,稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.例5:設(shè)100件產(chǎn)品中有5件次品,從中任取兩次,每次取一件,作不放回抽樣.設(shè)A={第一次抽到合格品},B={第二次抽到次品},求P(B|A).解法1:P(B|A)=5/99解法2:P(AB)=(95×5)/(100×99),P(A)=95/100，

P(B|A)=5/99練習(xí)1:某動(dòng)物活到20歲以上的概率是0.8,活到25歲以上的概率是0.4,現(xiàn)已有一只活到20歲,求它能活到25歲的概率（1）縮減樣本空間法（2）用定義公式

3.乘法公式

由條件概率的定義可得：

P(AB)=P(A|B)P(B)或P(AB)=P(B|A)P(A)注：當(dāng)P(AB)不易直接求得時(shí)，可考慮用乘法公式推廣例6:

一個(gè)盒子中有6只白球，4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取3次，求第三次才取得白球的概率.4.全概率公式

若事件B1,B2,······,Bn是樣本空間的一組分割，則全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率.使用關(guān)鍵在于尋找另一組事件來(lái)“分割”樣本空間.全概率公式最簡(jiǎn)單的形式：例7：設(shè)10件產(chǎn)品中有3件不合格品，從中不放回地取兩次，每次一件，求取出的第二件為不合格品的概率。解：設(shè)A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10乘法公式是求“幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率；貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果”，求“原因”的概率.貝葉斯公式

例8：某人從甲地到乙地，乘飛機(jī)、火車、汽車遲到的概率分別為0.1、0.2、0.3，他等可能地選擇這三種交通工具。若已知他最后遲到了，求他分別是乘飛機(jī)、火車、汽車的概率.即追究事情根源----（1/6，2/6，3/6）P(飛機(jī)|遲到)=(1/3)×0.1/[(1/3)×0.1+(1/3)×0.2+(1/3)×0.3]若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，則貝葉斯（Bayes）公式

注：1)B1,B2,...,Bn可以看作是導(dǎo)致A發(fā)生的原因;

2)稱P(Bj)為“先驗(yàn)概率”，稱P(Bj|A)為“后驗(yàn)概率”

三、事件的獨(dú)立性引例:分別擲兩枚硬幣設(shè)事件A={甲幣出現(xiàn)正面H},B={乙?guī)懦霈F(xiàn)正面H}顯然甲幣是否出現(xiàn)正面與乙?guī)攀欠癯霈F(xiàn)正面互不影響定義:設(shè)A,B是兩事件,如果P(AB)=P(A)P(B)

則稱事件A,B為相互獨(dú)立.定義:

設(shè)A，B為兩事件，如果P(B|A）=P（B）即事件B發(fā)生的可能性不受事件A的影響，則稱事件A,B相互獨(dú)立.練習(xí)題:發(fā)電廠有兩臺(tái)發(fā)電機(jī)組,每臺(tái)正常運(yùn)轉(zhuǎn)的概率是0.9,求電廠能發(fā)電的概率.定理2:若P(A)>0,P(B)>0,則A,B相互獨(dú)立與A,B互不相容不能同時(shí)成立.獨(dú)立性的判定:(1)定義(2)背景(3)從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)推斷例9:甲、乙兩個(gè)戰(zhàn)士打靶,甲的命中率為0.9,乙的命中率為0.85,兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo),各打一槍.求目標(biāo)被擊中的概率.解:設(shè)A={甲擊中目標(biāo)},B={乙擊中目標(biāo)},C={目標(biāo)被擊中},=0.9+0.85-0.9×0.85=0.985思考：若目標(biāo)已被擊中，試求是甲擊中的概率。定義:設(shè)A,B,C是三事件,如果具有等式

P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)P(ABC