R語言相關(guān)應用

概率論復習及R相關(guān)引言

在我們所生活的世界上，

充滿了不確定性

扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單游戲

將不確定性數(shù)量化，20世紀初葉才開始的.

世間萬物的繁衍生息；大自然的千變?nèi)f化……，面臨著不確定性和隨機性.

已經(jīng)給人類活動的一切領(lǐng)域帶來了一場革命.隨機現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言?

多次重復拋一枚硬幣，正面朝上的次數(shù)大致一半；

測量一物體的長度，由于儀器及觀察受到的環(huán)境的影響，每次測量的結(jié)果可能是有差異的.但多次測量結(jié)果的平均值隨著測量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一常數(shù).在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性.數(shù)理統(tǒng)計研究怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機性質(zhì)的數(shù)據(jù)，以對所觀測的問題作出推斷和預測概率論研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性

概率論的起源賭博

概率論的發(fā)展測度概率論與數(shù)理統(tǒng)計的應用和滲透本學科的應用幾乎遍及所有科學技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟的各個部門中.1.氣象、水文、地震預報、人口控制及預測產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能否應用3.尋求最佳生產(chǎn)方案購物排隊、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知識就是排隊論.目前，概率統(tǒng)計理論進入其他自然科學領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展.在社會科學領(lǐng)域，特別是經(jīng)濟學中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長等問題，都大量采用概率統(tǒng)計方法.正如法國數(shù)學家拉普拉斯所說:“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題.”機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調(diào)度、第一章

隨機事件與概率§1.1樣本空間與隨機事件一.隨機試驗:對隨機現(xiàn)象進行一次觀察和實驗，統(tǒng)稱為隨機試驗。隨機實驗簡稱為實驗，用E表示實驗E的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合，稱為E的樣本空間，用S表示定義

滿足某些條件的可能結(jié)果所組成的集合,稱為隨機事件。隨機事件用大寫字母A，B，C表示.在一次試驗中，事件A發(fā)生的含義是，當且僅當A中一個樣本點(或基本事件)發(fā)生（或出現(xiàn)）。事件A發(fā)生也稱為事件A出現(xiàn)事件的發(fā)生2.隨機事件其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度觀察總機每天9:00~10:00接到的電話次數(shù)有限樣本空間無限樣本空間投一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)例

給出一組隨機試驗及相應的樣本空間一.古典概率

§1-2事件的概率（Probability）

1．古典概型定義1

若隨機試驗滿足下述兩個條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點；

(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.

稱這種試驗為有窮等可能隨機試驗或古典概型.

這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題.定義2設(shè)試驗E是古典概型,其樣本空間S由n個樣本點組成,事件A由k個樣本點組成.則定義事件A的概率為：稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法.

A包含的樣本點數(shù)

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點總數(shù)排列組合是計算古典概率的重要工具

.二.幾何概率1.定義

向任一可度量區(qū)域G內(nèi)投一點，如果所投的點落在G中任意可度量區(qū)域g內(nèi)的可能性與g的度量成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)，則稱這個隨機試驗為幾何型隨機試驗?；蚝喎Q為幾何概型。2.概率計算

1.

P(A)=[A的度量]/[S的度量]兩人約定于12點到1點到某地會面，先到者等20分鐘后離去，試求兩人能會面的概率？

例1:解：設(shè)x,y分別為甲、乙到達時刻(分鐘)令A={兩人能會面}={(x,y)||x-y|≤20，x≤60,y≤60}P(A)=A的面積/S的面積=（602-402）/602=5/9三.概率的頻率定義例2：從同一型號同一批次的反坦克彈中任抽一發(fā)反坦克彈射擊目標，觀測命中情況。設(shè)A代表“命中”這一事件，求P(A)?1事件的頻率

在一組不變的條件下，重復作n次試驗，記m是n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)。頻率f=m/n2.頻率的穩(wěn)定性擲一枚均勻硬幣，記錄前400次擲硬幣試驗中頻率P*的波動情況。

（正面出現(xiàn)頻率的趨勢，橫軸為對數(shù)尺度）3．概率的頻率定義

在一組不變的條件下，重復作n次試驗，記m是n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)。當試驗次數(shù)n很大時，如果頻率m/n穩(wěn)定地在某數(shù)值p附近擺動，而且一般地說，隨著試驗次數(shù)的增加，這種擺動的幅度越來越小，稱數(shù)值p為事件A在這一組不變的條件下發(fā)生的概率，記作P(A)=p.意義:(1)

提供了估計概率的方法;(2)提供了一種檢驗理論正確與否的準則.

設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則稱

為事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率，記為定義

設(shè)試驗的基本事件總數(shù)為n，事件A所包含的基本事件總數(shù)為m，事件AB所包含的基本事件總數(shù)為k?！?.3條件概率

利用條件概率求積事件的概率即乘法公式推廣乘法公式

某廠生產(chǎn)的燈泡能用1000小時的概率為0.8,能用1500小時的概率為0.4,求已用1000小時的燈泡能用到1500小時的概率解

令A

燈泡能用到1000小時

B

燈泡能用到1500小時所求概率為例3

三．全概率公式

定義

若事件組B1,…Bn,滿足：

（1）B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n

（2）事件B1,…Bn,為樣本空間的一個劃分則對任何事件A，均有上式稱為全概率公式

則稱事件B1,…Bn,為樣本空間的一個劃分定理Bayes公式全概率公式§1.4事件的獨立性例已知袋中有5只紅球,3只白球.從袋中有放回地取球兩次，設(shè)第i次取得白球為求事件Ai(i=1,2).解一．事件的獨立性事件

A1

發(fā)生與否對A2

發(fā)生的概率沒有影響定義設(shè)A,B為兩事件，若則稱事件A

與事件B

相互獨立

可視為事件A1與A2相互獨立

四對事件任何一對相互獨立,則其它三對也相互獨立試證其一事實上第一章復習要點隨機試驗樣本空間隨機事件基本事件頻率概率古典概型A的對立事件及其概率互不相容事件的和事件的概率加法公式條件概率概率的乘法公式全概率公式貝葉斯公式事件的獨立性n重貝努利試驗隨機變量離散型連續(xù)型分布函數(shù)性質(zhì)分布率表示方法兩者聯(lián)系兩點二項兩者聯(lián)系泊松密度函數(shù)兩者聯(lián)系均勻指數(shù)正態(tài)密度圖形N(,2)參數(shù)意義N(0,1)隨機變量的函數(shù)公式方法一般方法正態(tài)標準化第二章復習提綱第二章隨機變量及其分布

為了更好的揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學工具描述其規(guī)律，引入隨機變量來描述隨機試驗的不同結(jié)果例電話總機某段時間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個變量X

來描述例

拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果，也可以用一個變量來描述

有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來.

二、引入隨機變量的意義

如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.

事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{沒有收到呼叫}{X=0}§2.1隨機變量的概念定義設(shè)E是一隨機試驗，S

是它的樣本空間，則稱S

上的單值實值函數(shù)X()為隨機變量隨機變量一般用X,Y,Z,或小寫希臘字母,,表示若

隨機變量的概念如，若用X

表示電話總機在9:00~10:00接到的電話次數(shù)，或——表示“某天9:00~10:00接到的電話次數(shù)超過100次”這一事件則例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往需要多個指標，例如，身高、體重、頭圍等S={兒童的發(fā)育情況}X()—身高Y()—體重Z()—頭圍各隨機變量之間可能有一定的關(guān)系，也可能沒有關(guān)系——即相互獨立隨機變量的分類離散型隨機變量非離散型隨機變量—其中一種重要的類型為

連續(xù)性隨機變量定義了一個x的實值函數(shù)，稱為隨機變量X

的分布函數(shù)，記為F(x),即定義設(shè)X為隨機變量,對每個實數(shù)x,隨機事件的概率隨機變量的分布函數(shù)§2.2離散型隨機變量及其概率分布定義若隨機變量X

的可能取值是有限多個或無窮可列多個，則稱X

為離散型隨機變量描述離散型隨機變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即概率分布的性質(zhì)離散型隨機變量的概念

非負性

規(guī)范性

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X

的可能取值

xk處發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點，在間斷點處有躍度

pk離散型隨機變量的分布函數(shù)(1)0–1分布X=xk

10Pkp1-p0<p<

1注其分布律可寫成

常見的離散型隨機變量的分布

凡是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果，應用場合常用0–1分布描述，如產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負荷等等.(2)二項分布背景：n

重Bernoulli試驗中，每次試驗感興趣的事件A

在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)——X是一離散型隨機變量若P(A)=p,則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項分布，記作0–1分布是n=1的二項分布二項分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見,當時，分布取得最大值此時的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8R軟件中的統(tǒng)計計算

一、統(tǒng)計分布

每一種分布有四個函數(shù)：

d―density（密度函數(shù)），p―分布函數(shù)，

q―分位數(shù)函數(shù)，r―隨機數(shù)函數(shù)。比如，正態(tài)分布dnorm，pnorm，qnorm，rnorm下列各分布前面加前綴d、p、q或r就構(gòu)成函數(shù)名：

norm：正態(tài)，t：t分布，f：F分布，chisq：卡方（包括非中心）unif：均勻，

binom：二項分布，統(tǒng)計計算一、統(tǒng)計分布

下列各分布前面加前綴d、p、q或r就構(gòu)成函數(shù)名：exp：指數(shù)，weibull：威布爾，gamma：伽瑪，beta：貝塔lnorm：對數(shù)正態(tài)，logis：邏輯分布，cauchy：柯西，binom：二項分布，geom：幾何分布，hyper：超幾何，nbinom：負二項，pois：泊松signrank：符號秩，wilcox：秩和，tukey：學生化極差Binomialpackage:statsRDocumentationTheBinomialDistributionDescription:Density,distributionfunction,quantilefunctionandrandomgenerationforthebinomialdistributionwithparameters'size'and'prob'.查詢的函數(shù)dbinom、pbinom、qbinom、rbinom幫助信息，并用幫助文件中的案例進一步學習.Usage:

dbinom(x,size,prob,log=FALSE)pbinom(q,size,prob,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qbinom(p,size,prob,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rbinom(n,size,prob)Arguments:

x,q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofobservations.If'length(n)>1',thelengthistakentobethenumberrequired.size:b:probabilityofsuccessoneachtrial.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].Details:

Thebinomialdistributionwith'size'=nand'prob'=phasdensityp(x)=choose(n,x)p^x(1-p)^(n-x)forx=0,...,n.Ifanelementof'x'isnotinteger,theresultof'dbinom'iszero,withawarning.p(x)iscomputedusingLoader'salgorithm,seethereferencebelow.ThequantileisdefinedasthesmallestvaluexsuchthatF(x)>=p,whereFisthedistributionfunction.Value:'dbinom'givesthedensity,'pbinom'givesthedistributionfunction,'qbinom'givesthequantilefunctionand'rbinom'generatesrandomdeviates.If'size'isnotaninteger,'NaN'isreturned.結(jié)果：ans=0.0020y=0.01150.05760.13690.20540.21820.17460.10910.05450.02220.00740.00200.00050.00010.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000輸入以下命令：dbinom(k，n，p)例4：

求服從二項分布的隨機變量Y分布率的值輸入以下命令：>dbinom(10,20,0.2)>x=0:20;>y=dbinom(x,20,0.2)>y設(shè).01.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見,當時，分布取得最大值0.22?輸入以下命令：dbinom(0,8,1/3)dbinom(1,8,1/3)x=0:8;y=dbinom(x,8,1/3)y例5：

求服從二項分布的隨機變量X分布率的值

結(jié)果：ans=0.0390ans=0.1561y=0.03900.15610.27310.27310.17070.06830.01710.00240.0002設(shè)命令：p=dbinom(x,n,p)解

(1)設(shè)需要配備N

個維修工人,設(shè)X

為90臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)，則X~B(90,0.01)

設(shè)有同類型設(shè)備90臺，每臺工作相互獨立，每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01.

在通常情況下，一臺設(shè)備發(fā)生故障可由一個人獨立維修，每人同時也只能維修一臺設(shè)備.

問至少要配備多少維修工人，才能保證當設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?(2)問3個人共同負責90臺還是3個人各自獨立負責30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率低？例6令則查表2可得N=4dbinom(0,90,0.01)=0.4047dbinom(1,90,0.01)=0.3679dbinom(2,90,0.01)=0.1654dbinom(3,90,0.01)=0.0490dbinom(4,90,0.01)=0.0108三個人共同負責90臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率為設(shè)30臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)為

Y~B(30,0.01)設(shè)每個人獨立負責30臺設(shè)備，第i個人負責的

30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件Ai

則三個人各獨立負責30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件故

三個人共同負責90臺設(shè)備比各自負責好！(3)Poisson分布或或若其中是常數(shù)，則稱

X服從參數(shù)為的Poisson分布，記作在一定時間間隔內(nèi)：一匹布上的疵點個數(shù)；大賣場的顧客數(shù)；應用場合電話總機接到的電話次數(shù)；一個容器中的細菌數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)；某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)

都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機質(zhì)點流,

若它們滿足一定的條件，則稱為Poisson流,在長為

t

的時間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)Xt~P(t)市級醫(yī)院急診病人數(shù)；等等命令：p=dpois(k,)Usage:dpois(x,lambda,log=FALSE)ppois(q,lambda,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qpois(p,lambda,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rpois(n,lambda)Arguments:x:vectorof(non-negativeinteger)quantiles.q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofrandomvaluestoreturn.lambda:vectorofpositivemeans.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].例7三個人共同負責90臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率為dpois(0,0.9)+dpois(1,0.9)+dpois(2,0.9)+dpois(3,0.9)=0.9865

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X

的可能取值

xk處發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點，在間斷點處有躍度

pk離散型隨機變量的分布函數(shù)輸入以下命令：pbinom(10,20,0.2)x=0:20;y=pbinom(x,20,0.2)yz=qbinom(y,20,0.2)z結(jié)果：ans=0.9994y=0.01150.06920.20610.41140.62960.80420.91330.96790.99000.99740.99940.99991.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000例8：

求服從二項分布的隨機變量X分布函數(shù)的值例9

離散均勻分布的分布函數(shù)和累積函數(shù)的值x=1:10;y=1/10y結(jié)果：y=0.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.10000.1000x=0:10y=x/10y結(jié)果：y=00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.80000.90001.0000

對于離散型隨機變量，如果知道了它的概率函數(shù),也就知道了該隨機變量取值的概率規(guī)律.在這個意義上，我們說

我們介紹了離散型隨機變量及其概率分布.離散型隨機變量由它的概率函數(shù)唯一確定.§2.3連續(xù)型隨機變量定義設(shè)

X

是一隨機變量，若存在一個非負可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X

是連續(xù)型隨機變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)(p.d.f.

)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度連續(xù)型隨機變量的概念xf(x)xF(x)分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)的幾何意義p.d.f.f(x)的性質(zhì)

常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)

在f(x)

的連續(xù)點處，f(x)描述了X在

x

附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率注意:對于連續(xù)型隨機變量X,P(X=a)=0這里a

可以是隨機變量

X

的一個可能的取值命題連續(xù)型隨機變量取任一常數(shù)的概率為零對于連續(xù)型隨機變量Xbxf(x)axf(x)a概率分布的上側(cè)分位數(shù)設(shè)隨機變量x的密度函數(shù)為f(x),對給定的定義xf(x)o概率分布的下側(cè)分位數(shù)設(shè)隨機變量x的密度函數(shù)為f(x),對給定的定義xf(x)o(1)均勻分布(a,b)上的均勻分布記作常見的連續(xù)性隨機變量的分布若X

的密度函數(shù)為，則稱X

服從區(qū)間其中X

的分布函數(shù)為xf(x)abxF(x)ba即X

的取值在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān),只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.在進行大量數(shù)值計算時，如果在小數(shù)點后第

k

位進行四舍五入，則產(chǎn)生的誤差可以看作服從應用場合Uniform{stats}RDocumentationTheUniformDistributionDescriptionThesefunctionsprovideinformationabouttheuniformdistributionontheintervalfrommintomax.dunifgivesthedensity,punifgivesthedistributionfunctionqunifgivesthequantilefunctionandrunifgeneratesrandomdeviates.Usagedunif(x,min=0,max=1,log=FALSE)punif(q,min=0,max=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qunif(p,min=0,max=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)runif(n,min=0,max=1)Argumentsx,qvectorofquantiles.pvectorofprobabilities.nnumberofobservations.Iflength(n)>1,thelengthistakentobethenumberrequired.min,maxlowerandupperlimitsofthedistribution.log,log.plogical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.taillogical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].輸入以下命令：colors()x=seq(0,7,0.01)y=dunif(x,2,5)z=punif(x,2,5)plot(x,z,type='l',col='Blue')lines(x,y,type='l',col='Red')密度函數(shù)：f=dunif(x,a,b)分布函數(shù)：F=punif(x,a,b)(2)指數(shù)分布若X

的密度函數(shù)為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)1xF(x)0xf(x)0對于任意的0<a<b,應用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務系統(tǒng)中的服務時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似輸入以下命令：x=seq(0,5,0.5);y=dexp(x,2);z=pexp(x,2);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result=pexp(6,2)-pexp(1,2)密度函數(shù)：f=dexp(x,λ)分布函數(shù)：F=pexp(x,

λ)TheExponentialDistributionDescription:Density,distributionfunction,quantilefunctionandrandomgenerationfortheexponentialdistributionwithrate'rate'(i.e.,mean'1/rate').Usage:dexp(x,rate=1,log=FALSE)pexp(q,rate=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qexp(p,rate=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rexp(n,rate=1)Arguments:x,q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofobservations.If'length(n)>1',thelengthistakentobethenumberrequired.rate:vectorofrates.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].結(jié)果：Result=

0.1353291輸入以下命令：x=seq(0,5,0.1);y=dexp(x,2);z=pexp(x,2);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result1=pexp(5,1)-pexp(0,1);result2=pexp(20,1)-pexp(0,1);結(jié)果：result1=

0.993262result2=1.0000(3)正態(tài)分布若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，N(-3,1.2)f(x)的性質(zhì)：

圖形關(guān)于直線x=

對稱：f(+x)=f(-x)在x=

時,f(x)取得最大值在x=±

時,曲線

y=f(x)在對應的點處有拐點曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀f(x)的兩個參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對于不同的,對應的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.若1<2

則比x=2所對應的拐點更靠近直線x=附近值的概率更大.x=1所對應的拐點前者取大小應用場合

若隨機變量X受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則X服從正態(tài)分布.可用正態(tài)變量描述的實例非常之多：各種測量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強度；熱噪聲電流強度；學生們的考試成績；一種重要的正態(tài)分布：N(0,1)—標準正態(tài)分布它的分布函數(shù)記為(x)，其值有專門的表可查(x)

是偶函數(shù)，其圖形關(guān)于縱軸對稱-xx對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換例13

設(shè)X~N(1,4),求P(0X1.6)解查表可得Usage

dnorm(x,mean=0,sd=1,log=FALSE)pnorm(q,mean=0,sd=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qnorm(p,mean=0,sd=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)rnorm(n,mean=0,sd=1)Arguments

x,q:vectorofquantiles.p:vectorofprobabilities.n:numberofobservations.If'length(n)>1',thelengthistakentobethenumberrequired.mean:vectorofmeans.sd:vectorofstandarddeviations.log,log.p:logical;ifTRUE,probabilitiesparegivenaslog(p).lower.tail:logical;ifTRUE(default),probabilitiesareP[X<=x],otherwise,P[X>x].輸入以下命令：x=seq(-10,10,0.1);y=dnorm(x,1,2);z=pnorm(x,1,2);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result=pnorm(6,1,2)-pnorm(1,1,2)結(jié)果：Result=

0.4937903在R中輸入以下命令：x=seq(-5,5,0.1);y=dnorm(x,-1,1);z=pnorm(x,-1,1);plot(x,z,type='l',col='Blue');lines(x,y,type='l',col='Red');result=pnorm(3,-1,1)-pnorm(-2,-1,1)結(jié)果：Result=0.841313§2.4隨機變量函數(shù)的分布問題：已知隨機變量X的概率特性——分布函數(shù)或密度函數(shù)（分布律）Y=g(X)求

隨機因變量Y

的概率特性方法：將與Y

有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成X

的事件§2.4設(shè)隨機變量X

的分布律為由已知函數(shù)g(x)可求出隨機變量Y的所有可能取值，則Y

的概率分布為離散型隨機變量函數(shù)的分布已知隨機變量

X

的密度函數(shù)f(x)(或分布函數(shù))求Y=g(X)的密度函數(shù)或分布函數(shù)方法：（1）從分布函數(shù)出發(fā)（2）從密度函數(shù)出發(fā)

連續(xù)性隨機變量函數(shù)的分布例

已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明Y=F(X)服從[0,1]上的均勻分布.又由于X的分布函數(shù)F是嚴格遞增的連續(xù)函數(shù),其反函數(shù)F-1

存在且嚴格遞增.證明:設(shè)Y的分布函數(shù)是G(y),于是對y>1,G(y)=1;對y<0,G(y)=0;由于對0≤y≤1,G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤(y))=F((y))=y即Y的分布函數(shù)是求導得Y的密度函數(shù)可見,Y服從[0，1]上的均勻分布.本例的結(jié)論在計算機模擬中有重要的應用.即：已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),若U服從[0,1]上的均勻分布，則Y=F-1(U)服從分布函數(shù)F(x)的隨機變量.注意：連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)例如：X~U(0,2)令

Y=g(X)xy1FY(y)不是連續(xù)函數(shù)

對于連續(xù)型隨機變量，在求Y=g(X)的分布時，關(guān)鍵的一步是把事件{g(X)≤y}轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用X

的分布來求P{g(X)≤y}.這一講我們介紹了隨機變量函數(shù)的分布.作業(yè)：要求：需給出程序、結(jié)果，存成word文檔發(fā)送到52用戶名：r

密碼：123456莖葉圖

(stem-and-leafdisplay)用于顯示未分組的原始數(shù)據(jù)的分布由“莖”和“葉”兩部分構(gòu)成，其圖形是由數(shù)字組成的以該組數(shù)據(jù)的高位數(shù)值作樹莖，低位數(shù)字作樹葉樹葉上只保留一位數(shù)字對于n(20n300)個數(shù)據(jù)，莖葉圖最大行數(shù)不超過

L=[10×lgn]

6.

莖葉圖類似于橫置的直方圖，但又有區(qū)別直方圖可觀察一組數(shù)據(jù)的分布狀況，但沒有給出具體的數(shù)值莖葉圖既能給出數(shù)據(jù)的分布狀況，又能給出每一個原始數(shù)值，保留了原始數(shù)據(jù)的信息未分組數(shù)據(jù)—莖葉圖

(例題分析)未分組數(shù)據(jù)—莖葉圖

(擴展的莖