說明分析中學(xué)

(省懷寧縣江學(xué)sinγin則sinθ2 一般符合某種條件的定點都具有兩個性質(zhì)

又AB=S△PAB=sinγ 一是存在性;二是唯一性.也就是說,它既 S AR=S△GAR=sin S 通過研究定值,尋找定點的位 定點問題與定值問題關(guān)系密切,前者 BC=RC2,即RC BC究定值來尋找定點的位置,無疑是一種有 由于ABBC皆為定長線段,

的方法例 已知直線上的三個定點依次ABC,Γ為過AC且圓心不在AC

由于QPAC內(nèi)部,由塞瓦定理的三sinγsinβsinβ圓.AC兩點作與圓Γ

=于點P,PB交圓Γ于點Q.證明∠AQC的平分AC的交點是定點.講解:如圖1∠AQC的平分線交AC于點R,延長QR交圓Γ于點G,聯(lián)結(jié)AG、CG易知AG=CGPA=APQ 其余相等的角用αβ表示

收稿日期:2005-12-定值,AR為定值因此,點R的位置固定不變,即不論圓Γ的大小怎樣變化,∠AQC的平分線與AC的交點R恒為定點.思考:若點Q在優(yōu)弧AC,仍然作∠AQC的平分線交AC于點R.此時,?2ABOQ是OBPQ⊥AB,PO上,MNO上,

=∠PQNMN∩AB=S.證明O⊙O延長NQM,OMOM.因為∠=∠PQNPQ⊥AB,QM.ABO∠MQM的公共對稱軸,從而,AM,AOM.1

EO·BD·AC=OBDA∠AOM

DA2 ·2 A=∠MNM=∠MNQMOQN四點共圓.,∠BQN=∠OMN.OROQ=aRa均為OQM=∠BQN=∠OMN=∠OMS

△DB △CAQEOBQ AD AB∠QOM=∠MOS

··

·OBQF

BDAC AD △OQM△OMSOQ=OM OS=OM2 OSAB,O為定點,故S是一個定點.思考:PO的切線是否通過定線與直線MN的交點是定點”,你看如何?通過研究動點的規(guī)律,不離.研究動點的活動規(guī)律,對于尋找定點的例3已知銳角△ABC是一個定三角,兩個動點DE分別在邊ABAC又DF⊥BC,EG⊥BC,FG是垂足.設(shè)BE∩CD=OFE∩GD=P證明:OP

=ABDFCE=ABAQAC=· ·ACBD· ·OP注:OPBC點Q,然后設(shè)法證明AQ⊥BC.感的讀者例 已知定直線l與定⊙O相離,⊥lD.過l上的動點PPA、PB⊙OAB,DMPAMDNN證明:MN恒過某一個定點.(1994塞浦路斯數(shù)學(xué)競賽)講解:如圖4OPOAOB、DB,ABODQ,DL⊥AB于L=∠OB一定點

= = 高AQ,則垂足Q是一個定點下面證明:OPQ,OPQ三點共線 圖

所以,PAOBD五點共圓即點D△PAB的外接圓上MNL三點共線MNODGOP⊥AB∠GLD=∠NLD==∠PBD=∠POD故GL=GD.由于QDRt△QDL的斜邊,易得下面只須證明QD的長度為定值.O半徑為ROD=d,Rd均為定長PAOBDAOBDODB=∠OAB=∠OBA=∠OBQ所以, OQ=OD=d

定點(46講解:這是一個饒有趣味且頗費思考的競賽題ACBD中垂線的交點S.5,BX∥AC∥DY,XY都在直線EF上.聯(lián)結(jié)SASBSCSDSQSR.易得 △EXBQD=d

d2-d

DF=BEAF=CE,QB=BX,AR=AF=CE=CRQD,MNOD的交點即QD中點G當然是定點.

DYRC=BX

B 注:OPD,∠OPAβ,=α+∠NDGαβ.可利用三角法本文所涉及的定點問題可分為兩條直線的交點

,QB=RC QB= 1故RC=AC=2 =CN 1 2一條直線與一條圓弧的交點兩條圓弧的交點無論屬于哪一種情況應(yīng)該說難度都很大難就難在:定點到底在哪里?從何下手?5ABCDBC=AD,且BC不平行于ADEF分別在邊BC、AD,BE=DFACBD相交于點P,直線BDEFQ,直線

EFACR.證明:當點EF△PQRP外=CN-RC=NRBM- ,NR=AC SA=SCSD=SBAD=BC, △SCBASD=

=因此, △BSD SN=AC 所以,Rt SRN=∠SQM=外接圓通過定點S.

=∠L=∠MLNE=BN+BE=AM+AC+=AM+AC+CL=ML 注:本例中的BC=AD和BC不平行 sin∠N sin∠NAD是十分必要的.否則,若BC∥AD,則四 形ABCD為平行四邊形.這時,ACBD的 sin∠ML sin∠MP分別ACBD的中而符合條件的EFP.,△PQR就蛻化為一個例 在△ABC中,D是AB的中點,EBCAC=BE-ECCACBMNAMBN,ED交MNF求證:過FMN的直線講解:這又是一個頗費思考且饒有趣味的幾何題.其定點是AB的中垂線與△外接圓的交點G,它是優(yōu)弧ACB的中點 △GBNGM=GN△GMN為等腰三角形.欲證過點F且垂直于MNG,FMN的中點即可,延長BCK使CK=AC.AK,再延長FEAC得交點LBE-EC=AC,BE=EC+AC=EC+CK=故DEBAK的中位線.

∠NEF∠K=∠CA,得NF1NF=FGMNMN的中,GF必是底MN的中垂,即過F作MN的垂線通過定點G.注:本題的關(guān)鍵是證明FMN的中點,這得益于一道早先就流傳過的幾何題:“凸四邊形的一組對邊相等且不平行,則另一組對邊中點的連線與相等的那一組對邊延長線夾等角”77,△ABC是一個定三角形,動點P在邊BC上,PM∥AC,∥AB,點MN分別在邊ABAC上今有一定點Q,滿AMQN四點共圓Q的幾

探索這個定點Q是這樣確定的:AB⊙O1使AC⊙O1相切(作?想想看),ACO2ABO2相切.此時AQBQCQMQNQ∠ABQ=∠CAQ,∠BAQ=∠ACQ所以, △CAQBQ=AB (省高級中學(xué),解題又離不開閱讀已有的解答.

na1

≤a1+a2+?+ann掘和吸收問題解決所蘊含的營養(yǎng),取得長足平均值不等式的證明這一側(cè)面,來談?wù)剛€人a1a2?an∈R+,n∈N收稿日期:2006-01-BM=BM=AB, BQ=BM △ANQ=AMQN四點共圓思考⊙O1O2為什么一定相交?擔心是多余的O1、⊙O2外切于點A,A作兩圓的公切線XY,易證XYAC在了.這就是說,⊙O1、⊙O2非相交不可.ABO,⊙C是一個動圓它⊙O內(nèi)切于P且與ABQ求證:恒通過某定點(提示:PQOROCP三點共線.聯(lián)結(jié)ORCQ.設(shè)法證OR∥CQ.)ABCAB=AC,⊙OABAC皆相XAB上的切點CYOY(Y在

當且僅當a1=a2=?=an,立此不等式通常稱為平均值不等式,是應(yīng)證法1是最常見的一種.形內(nèi)求證:O的大小怎樣變,XY恒(提示:OBX△OCY.XYBC于點M,進而可證OXBM四點共圓.)AB上有一定DAD>DB⊥ABD為垂足動點Cl,AE⊥CBE、BF⊥CA于F.證明:直線FE恒過一定點.(提示:AB的中M,AD=aDB=babFE∩AB=PBP=xMDEF四點共九點圓定義)已知正方ABCD,動點EF分別AB,滿足EF=BE+DF.作EG⊥CDGFHH證明:直線