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文檔簡介
1第2章
插值法22.1引言
2.2Lagrange插值2.3均差與Newton插值多項式2.4Hermite插值2.5分段低次插值2.6三次樣條插值3§2.0為什么要研究插值法
插值法是廣泛應用于理論和實踐的重要數(shù)值方法,它是用簡單函數(shù)(特別是多項式或分段多項式)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型;為非有理函數(shù)提供好的逼近方法。眾所周知,反映自然規(guī)律數(shù)量關系的函數(shù)大致有三種表示方法:
解析表達式
圖象法
表格法2023/2/534§2.0為什么要研究插值法
許多函數(shù)關系數(shù)據(jù)是用表格法給出(如觀測和實驗得到的數(shù)據(jù))。但用離散的函數(shù)值進行理論分析和設計,是不方便或是不可能的。因此需要尋找與已知函數(shù)值相符,并且形式簡單的插值函數(shù)(或近似函數(shù))。另外一情況是,函數(shù)表達式給定,但其形式不適宜計算機使用,一些涉及連續(xù)變量問題的計算需經(jīng)過離散化后才能進行。如數(shù)值積分方法、數(shù)值微分方法、差分方程以及有限元法等,都必須直接或間接地應用到插值理論和方法。2023/2/5452.1引言
設函數(shù)在區(qū)間上有定義,且已知在點
上的值,函數(shù),(1.1)成立,就稱為的插值函數(shù),點稱為插值節(jié)點,包含節(jié)點的區(qū)間稱為插值區(qū)間,求插值函數(shù)若存在一簡單使的方法稱為插值法.2.1.1插值問題的提出6
插值函數(shù)p(x)作為f(x)的近似,可以選自不同類型的函數(shù),如p(x)為代數(shù)多項式、三角多項式、有理分式;其函數(shù)性態(tài)可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其中,代數(shù)多項式類的插值函數(shù)占有重要地位:
(a)
結(jié)構簡單、計算機容易處理、任何多項式的導數(shù)和積分也易確定。(b)
著名的Weierstrass逼近定理(定義在閉區(qū)間上的任何連續(xù)函數(shù)f(x),存在代數(shù)多項式p(x)一致逼近f(x),并達到所要求的精度)。因此,我們主要考慮代數(shù)多項式的插值問題。2023/2/567(1.2)
若是次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式,即其中為實數(shù),就稱為插值多項式,本章只討論多項式插值與分段插值.
若為分段的多項式,就稱為分段插值.
若為三角多項式,就稱為三角插值.相應的插值法稱為多項式插值.8x0
,
x1,…,xn插值節(jié)點,
函數(shù)P(x)稱為函數(shù)y=f(x)的插值函數(shù),區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間。
2023/2/589
插值的幾何意義
從幾何上看,插值就是求一條曲線使其通過給定的個點,并且與已知曲線有一定的近似度。從幾何上看x
0y
y=p(x)a=x0x1x2x3xn=b
?(xi,yi)y=f(x)曲線P
(
x)
近似f
(
x)910插值問題是否可解.若有解,是否唯一.如何求插值函數(shù)P(x).P(x)與f(x)的誤差如何估計.當插值節(jié)點無限加密時,P(x)是否收斂于f(x).插值法的研究內(nèi)容11【問題】設函數(shù)在區(qū)間上有定義,且已知在點
上的值,的多項式,使得(1.3)求次數(shù)不超過n2.1.2插值多項式的存在唯一性12
在次數(shù)不超過的多項式集合中,滿足條件(1.3)的插值多項式是存在唯一的.由(1.3)式得到關于系數(shù)的線性方程組因此,線性方程組(1.3)的解存在唯一,證畢.定理1證明其系數(shù)矩陣的行列式(是Vandermande行列式)(1.4)(1.5)13插值余項與誤差估計
若在上用近似,
設在上連續(xù),在內(nèi)存在,節(jié)點是滿足條件(2.6)的插值多項式,則對任何,插值余項這里且依賴于,則其截斷誤差為也稱為插值多項式的余項.定理214
余項表達式只有在的高階導數(shù)存在時才能應用.
但在內(nèi)的具體位置通常不可能給出,如果可以求出那么插值多項式逼近的截斷誤差限是15
2.2.1線性插值與拋物插值
對給定的插值點,可以用多種不同的方法求得形如(1.2)的插值多項式.
先討論的簡單情形.【問題】給定區(qū)間及端點函數(shù)值,要求線性插值多項式,2.2Lagrange插值使它滿足16
其幾何意義就是通過兩點的直線.圖2-2如圖2-2.17由的幾何意義可得到表達式(點斜式),(兩點式),(2.1)
由兩點式看出,是由兩個線性函數(shù)(2.2)的線性組合得到,其系數(shù)分別為及,即(2.3)18顯然,及也是線性插值多項式,在節(jié)點及稱及為線性插值基函數(shù),上滿足條件圖形見圖2-3.19圖2-320下面討論的情形.
假定插值節(jié)點為,,,要求二次插值多項式
幾何上是通過三點的拋物線.
可以用基函數(shù)的方法求的表達式,此時基函數(shù)(2.4)使它滿足是二次函數(shù),且在節(jié)點上滿足條件21
接下來討論滿足(2.4)的插值基函數(shù)的求法,以求為例,由插值條件,它應有兩個零點及,可由插值條件定出其中為待定系數(shù),于是可表示為22同理
二次插值基函數(shù),,在區(qū)間上的圖形見圖2-4.23圖2-424
利用,,,(2.5)顯然,將,,代入(2.5),立即得到二次插值多項式它滿足條件得252.2.2拉格朗日插值多項式
將前面的方法推廣到一般情形,討論如何構造通過個節(jié)點的次插值多項式.(2.6)
根據(jù)插值的定義應滿足先定義次插值基函數(shù).
為構造,26
定義1
若次多項式在個節(jié)點(2.7)就稱這個次多項式為節(jié)點上的次插值基函數(shù).上滿足條件27顯然它滿足條件(2.7).
于是,滿足條件(2.6)的插值多項式可表示為(2.9)(2.8)
與前面的推導類似,次插值基函數(shù)為28由的定義,知形如(2.9)的插值多項式稱為拉格朗日插值多項式,而(2.3)與(2.5)是和的特殊情形.容易求得(2.10)
若引入記號29于是公式(2.9)可改寫成(2.11)
注意:
次插值多項式通常是次數(shù)為的多項式,特殊情況下次數(shù)可能小于.30若取,則(2.18)(2.17)可得若令它可用來檢驗函數(shù)組的正確性.31當時,線性插值余項為(2.17)當時,拋物插值余項為(2.18)32由題意,?。?)用線性插值計算,的值并估計截斷誤差.例1已知用線性插值及拋物插值計算解取由公式(2.1)3334
由(2.17),其截斷誤差其中于是35(2)
用拋物插值計算,由公式(2.5)得36
由(2.18),截斷誤差限其中于是這個結(jié)果與6位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣,這說明查表時用二次插值精度已相當高了.37382.3均差與牛頓插值公式
2.3.1插值多項式的逐次生成
利用插值基函數(shù)很容易得到Lagrange插值多項式,公式結(jié)構緊湊,在理論分析中甚為方便,但當插值節(jié)點增減時全部插值基函數(shù)均要重新計算.【Lagrange插值多項式的缺陷】39利用點斜式直線方程得
為了克服這一缺點,我們設計一種逐次生成插值多項式的方法:對n=1,插值多項式滿足它可看成零次插值的修正:其中是函數(shù)的差商.40其中
對n=2,插值多項式可表示為這里是函數(shù)的“差分的差分”,稱為“二階差分”,也稱“均差”.
41(3.1)其中為待定系數(shù),確定.
一般地,插值多項式表示為如下便于計算的形式可由個插值條件(3.2)42
稱為函數(shù)關于點的一階均差.稱為的二階均差.定義2
2.3.2均差及其性質(zhì)43(3.3)
一般地,稱為的階均差(均差也稱為差商).44
均差有如下的基本性質(zhì):(3.4)這個性質(zhì)可用歸納法證明.1°階均差可表為函數(shù)值的線性組合,
這性質(zhì)也表明均差與節(jié)點的排列次序無關,稱為均差的對稱性.即453°若在上存在階導數(shù),且節(jié)點(3.5)這公式可直接用羅爾定理證明.(3.3’)2°由性質(zhì)1°及(3.3)可得即則階均差與導數(shù)關系如下:46
均差計算可列均差表如下(表2-1).472.3.3Newton插值多項式
根據(jù)均差定義,把看成上一點,可得48只要把后一式代入前一式,就得到其中(3.6)49(3.7)
是由(2.10)定義的.
顯然,由(3.6)確定的多項式滿足插值條件,且次數(shù)不超過,稱為牛頓(Newton)均差插值多項式.
系數(shù)就是均差表2-1中加橫線的各階均差,它比拉格朗日插值計算量省,且便于程序設計.其系數(shù)為它就是形如(3.1)的多項式,50
但(3.7)更有一般性,它在是由離散點給出的情形或?qū)?shù)不存在時也是適用的.
(3.7)為插值余項,由插值多項式唯一性知,它與拉格朗日插值多項式的余項應該是等價的.
事實上,利用均差與導數(shù)關系式就可以證明這一點.
牛頓插值多項式的優(yōu)點還在于它的遞進性,當增加插值節(jié)點時,只要在原來插值多項式的基礎上增加一項即可.51
首先根據(jù)給定函數(shù)表造出均差表.
給出的函數(shù)表(見表2-2),求4次牛頓插值多項式,并由此計算的近似值.例452
從均差表看到4階均差近似常數(shù),5階均差近似為0.
故取4次插值多項式做近似即可.于是
按牛頓插值公式,將數(shù)據(jù)代入53截斷誤差這說明截斷誤差很小,可忽略不計.542.3.4差分與等距節(jié)點的Newton插值
實際應用時經(jīng)常遇到等距節(jié)點的情形,這時插值公式可以進一步簡化,計算也簡單得多.
2.3.4.1差分及其性質(zhì)
設函數(shù)在等距節(jié)點上的值為已知,這里為常數(shù),稱為步長.
為了得到等距節(jié)點的插值公式,先介紹差分的概念.55記號(4.1)(4.2)(4.3)分別稱為在處以為步長的向前差分,向后差分
符號,,分別稱為向前差分算子,向后差分算子定義3及中心差分.及中心差分算子.56
利用一階差分可定義二階差分為一般地可定義階差分為
中心差分用到了及這兩個值,但它們并不是函數(shù)表上的值.
如果用函數(shù)表上的值,一階中心差分應寫成57這樣,二階中心差分為
除了已引入的差分算子外,常用算子符號還有不變算子及移位算子,于是,由定義如下:可得58同理可得59
差分基本性質(zhì).
性質(zhì)1其中為二項式展開系數(shù).例如各階差分均可用函數(shù)值表示.(3.9a)(3.9b)60
性質(zhì)2
例如,可用向前差分表示,所以(3.10)可用各階差分表示函數(shù)值.因為61
性質(zhì)3
例如,對向前差分,均差與差分有密切關系.由定義62同理,對向后差分有
利用(4.7)及均差與導數(shù)的關系又可得到(3.12)其中,
一般地有這就是差分與導數(shù)的關系.(3.11a)(3.11b)63
計算差分可列差分表(見表2-3),表中為向前差分,為向后差分.642.3.4.2等距節(jié)點的Newton插值公式
將牛頓均差插值多項式(3.6)中各階均差用相應差分代替,就可得到各種形式的等距節(jié)點插值公式.
如果節(jié)點,要計算附近點的函數(shù)的值,
這里
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